曲线的凸性与函数作图

x2 x
x2 x
x2 x1
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x)
x x1
x2 x1
x2 x
分别令x x1(即 0 )和x x2 ( 1 )，得到
f (x1)
f (x2 ) f (x1) x2 x1
证 下面只证明 f 为凸函数的情形。 必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。 由定理5.1'，任取（a,b）内的一点 x( x0 )， 它与x0一起有 f (x) f (x0 ) f '(x0 )( x x0 )
因为f '(x0 ) 0，故对任意的x(a,b),总有 f (x) f (x0 )
第四节
第三章
函数的凸性与函数作图
一、曲线的凸性 二、渐近线 三、函数作图
5.1 曲线的凸性
A
向上凸的
B
向下凸的
如何定义函数的这种特性呢？ 先看向上凸的。
设函数f (x)在区间I上有定义，
在曲线y f (x)上任取两点A, B. y
设为A(x1, f (x1))，B(x2, f (x2 )) A
例 讨论函数 f (x) arctanx 的凸(凹)性区间.
解
由于
f
( x)

(1
2x x2 )2
因而当 x 0 时，f (x) 0; 而当x 0时，f (x) 0;
从而在 (,0]上f为凸函数，在[0,)上f (x)是凹函数。
例 若函数f(x)为定义在开区间（a,b）内的可导的凸 （凹）函数，则 x0 (a,b) 为 f 的极小（大）值点的充 要条件是为的稳定点，即 f '(x0 )上f (x)是增函数。
充分性：设f (x)在区间I上是增函数，对I中任意x1, x2 (x1 x2 ),
以及任意的 （0，1）, x (1 )x1 x2 有Lagrange中值定理,存在(x1, x)和(x, x2 )，
f (x) f (x1) f () f () f (x2 ) f (x)
即x0为f(x)在(a,b)内的极小值点（而且为最小值点）。
例 (詹森（Jensen）不等式)若f(x)为[a,b]上凸函数，
n
则对任意 xi [a,b], i 0(i 1,2, , n), i 1,
有
i1
f n i xi n i f (xi ).
x1

x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2

x1
2
x2)
f
(2
2!
)(
x2

x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)

2
f
(x1
2
x2)

1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)

f (2 )]
当 f (x) 0时,
从而f为I上的凸函数，
定理5.2 设函数
在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凸的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凹的 .
利用一阶泰勒公式可得
f (x1)
f
(x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2
)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
则弦 AB在曲线的下方。 x (x1 x x2 )
o x1 x
f (x)
f (x1)
f
(
x2 ) x2

f( x1
x1
)
(
x

x1
)
即：f (x)
x2 x x2 x1
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )
记： x2 x ， 记： x2 x ，
f (x) f (x1) ( f (x2 ) f (x1))
f (x2 ) f (x) (1 )( f (x2 ) f (x1))
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x1
x x1
x2 x1
分别用λ和(1- λ)乘上列两式并相加，便得
f (x1) (1 ) f (x2 ) f (x3) f (x1 (1 )x2 )
从而f(x)为I上的凸函数。 注 论断3的几何意义是：
曲线y=f(x)总是在它的任 一切线的上方
对于凹函数，同样有类 似的结论。
定理5.1 设函数f在区间I上可导，则f在区间I上为凸
f
( x1
) 2
f
(
x2
)

f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例1. 判断曲线
的凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
上是下凸的. o x
例2. 判断曲线
解: y 3x2 ,
的凸性.
故曲线
在
在
上是上凸的. 上是下凸的.
一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是 凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数 的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹 凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两 侧异号的点——二阶导数为零的点、不连续的点和 一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分 段点,

f

故 f 为上的凸函数。
注 同理可证，
f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是： 对于I上任意三点 x1 x2 x3
f (x2 ) f (x1) f (x3 ) f (x1) f (x3 ) f (x2 )
x2 x1
x3 x1
x3 x2
定理5.1' 设f(x)为区间I上的可导函数，则下述论断 互相等价：
B
x2 x
定义 设函数f (x)在区间I上有定义，y A
若对于I上的任意两点 x1, x2, 和任意的实数 (0,1),总有 o x1 x
(1 ) f (x1) f (x2 ) f ((1 )x1 x2 )
则称函数f (x)为区间I上的上凸函数。
称曲线y f (x)在区间I上是向上凸的。
由3，并利用 x1 x3 (1 )(x1 x2 )和 x2 x3 (x2 x1)
f (x1) f (x3 ) f ' (x3 )( x1 x3 ) f (x3 ) (1 ) f ' (x3 )( x1 x2 )
f (x2 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x3 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x1)
1 f (x)为I上的凸函数；
2 f (x)为I上的增函数 ；
3 对于I上的任意两点 x1, x2有 f (x2 ) f (x1) f '(x1)( x2 x1)
证明：(1 2) 要证f'(x)为I上的递增函数, 只需任取 I上两点 x1, x2 (x1 x2 ) 及充分小的正数h，证明
(1) 若恒有 图形是凸的;
(2) 若恒有
y图形是凹的 .
y
则称 则称
o
x1 x1 x2 x2 x
2
o
x1 x1 x2 x2 x
2
引理 f 为I上的凸函数的充要条件是：
对于I上的任意三点 x1 x2 x3 ，总有
f (x2 ) f (x1) f (x3 ) f (x2 )
必要性 即证 x2 x1
x x1 x2 x1
f (x2 ) f (x) (1 )( f (x2 ) f (x1))
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x1
x x1
x2 x1
f (x2 ) f (x) (1 ) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
h
x2 x1
h
(2 3)设x1 x2，在[x1, x2 ]上 应用拉格朗日中值定理
和f (x)的递增条件，有
f (x2 ) f (x1) f '()(x2 x1) f '(x1)(x2 x1)
得到结论, 且当x1 x2时，也得到相同的结论 。
(3 1) 设x1, x2是I的任意两点，x3 x1 (1 )x2 ,0 1
若 (1 ) f (x1) f (x2 ) f ((1 )x1 x2 )
则称函数f (x)为区间I上的下凸函数。y
称曲线y f (x)在区间I上是向下凸的。
通常称下凸函数为凸函 数， 上凸函数为凹函数。
o x1
B
x2 x
x x2 x
函数凸性的等价定义
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
x2 x1
x2 x1
B
x2 x
f (x)
x2 x x2 x1
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )
y
A
记： x (1

xx)2x1 xx11，x2则xx22 (0x,x11)

1


o
x1 x
于是，(1 ) f (x1) f (x2 ) f ((1 )x1 x2 )
f (x1) f (x3 ) f ' (x3 )( x1 x3 ) f (x3 ) (1 ) f ' (x3 )( x1 x2 )
f (x2 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x3 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x1)
函数 （凹函数）的充分必要条件是：
f (x) 在区间I单调增加（单调减少）。
证明：对I中任意x1, x2以及任意的 （0，1）, x (1 )x1 x2
必要性： 设f为I上的凸函数，则
f (x) (1 ) f (x1) f (x2 )
x x1 x2 x1
k 1
现设x1, x2, , xk , xk1 [a,b] 及i 0(i 1,2, , k 1), i 1
令
i

i 1 k1
,i
1,2,
,k,则
k i 1
i
1
i 1
,由归纳法假设可推得
f (1x1 2 x2 k xk k1xk1)
则 x2 x1 (1 )x3
由的凸性易知上式成立
充分性 在I上任取两点 x1, x3 (x1 x3 ), 在[x1, x3]上任取一点
x2

x1

(1
)x3, (0,1),
即


x3 x3

x2 x1
由必要性的推导逆过程，可证得
f (x1 (1 )x3 ) f (x1) (1 ) f (x3 )
x3 x2
(x3 x2 ) f (x2 ) (x2 x1) f (x2 )
(x3 x2 ) f (x1) (x2 x1) f (x3)
即 (x3 x1) f (x2 ) (x3 x2 ) f (x1) (x2 x1) f (x3 ),
记 x3 x2 x3 x1
x x1
x2 x
从而，f (x2 ) f (x) f (x) f (x1)
x2 x
x x1
即，f
(x2 )

f
(x)

x2 x（f x x1
(x)

f
( x1 )）
1 （f
(x)

f
( x1 )）
f (x) (1 ) f (x1) f (x2 )
f (x1) f (x1 h) f (x2 h) f (x2 ) 成立,
h
h
由f(x)是可导函数，令 h 0 时便可得结论.
由于x1 h x1 x2 x2 h 根据f的凸性及引理有
f (x1 ) f (x1 h) f (x2 ) f (x1 ) f (x2 h) f (x2 )
i1
i1
证 用归纳法,当n=2时,由凸函数定义命题显然成立,
设n=k时命题成立,即 x1, x2, , xk [a,b],以及
k
i 0,i 1,2, , k, i 1 i1
都有
f k i xi k i f (xi ).
i1
i1