立体几何单元检测

立体几何单元检测（一）

一、填空题：

1.下列命题正确的是 .

①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行.

②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行. ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.

【答案】③

2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1

和a ，且长为a

的棱异面，则a 的取值范围是 .

【答案】

【解析】因为2

2

211)22(

12=

-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，

3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、

1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.

【答案】

2

π

4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】

π3

3 5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的

N A 1

体积为 cm 3

．

【答案】6。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中BD ，BD （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯。

三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．

课标理数12.G1[2011·福建卷] 【答案】 3

l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3

C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面

D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 大纲理数3.G3[2011·四川卷] B 【解析】 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.

图1－3

课标文数15.G4[2011·福建卷] 如图1－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．

课标文数15.G4[2011·福建卷] 2 【解析】 ∵ EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，

∴EF ∥AC ，

又∵E 是AD 的中点，

∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，

∴EF ＝12AC ＝1

2

×22＝ 2.

二、解答题：

【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；

（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B -PC -A 的正切值；

【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.

【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，

分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．

求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；

（2）直线1//A F 平面ADE ．

【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，

，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平

面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得。

（2）要证直线1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。 【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：B1E ⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B1AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）若二面角A-B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长.