数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法(定稿)(1)

阜阳师范学院信息工程学院Fu yan g S h if an Xu eyu an Xin x i Go n g ch en g Xu eyu an

本科毕业论文

题目: 数学分析中求极限的几种常用方法

学生: 方常学号： 201002010312

学院：阜阳师范学院信息工程学院

专业：数学与应用数学

入学时间: 2010 年 09 月 13 日

指导教师：王海坤职称: 教授

完成日期： 2014 年 4 月 20 日

诚信承诺书

我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。

承诺人（签名）

年月日

目录

摘要、关键字 (1)

1 引言 (1)

2 极限的求法 (1)

2.1 利用两个准则求极限 (1)

2.2 利用导数的定义求极限 (2)

2.3 利用两个重要极限公式求极限 (3)

2.4 利用函数的连续性求极限 (3)

2.5 利用等价无穷小量代换求极限 (4)

2.6 利用泰勒展开式求极限 (4)

2.7 利用洛必达法则求极限 (5)

2.8 利用定积分求极限 (6)

3 结束语 (6)

参考文献 (7)

数学分析中求极限的几种常用方法 姓名：方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤

摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。对于一些简单的极限，直接用定义和相关的公式就可以求解，但是对于一些复杂的极限，直接按极限的定义来求就显得非常局限，不仅难以计算，而且最后也容易算错。为了能够更好地解决极限的求解问题，本文介绍了几种常用求极限的方法，并且每种方法后面都附以实例来说明方法中蕴涵的数学思想。 关键词：夹逼准则 单调有界准则 无穷小量的性质 洛必达法则 定积分 泰勒展开式

1. 引言

极限是数学分析中极其重要的概念，计算极限的方法有很多种，但是在实际应用中很难把握，本文试对数学分析中极限的几种重要求法作以总结，本文中介绍了8类典型极限问题的解法，介绍每种类型时，先把该种类型所要用到的知识点简单介绍，接着附以例题和解答，以便及时掌握和熟练应用。本文共有10道例题，希望能有一定的参考价值，同时也以期对极限问题有一个较为清晰的认识。

2.极限的求法

2.1利用两个准则求极限

2.1.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）.若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且

,lim lim a z x n x n x ==∞

→∞

→则有a y n x =∞

→lim .

例1：求极限lim n n x →∞

的值，其中()

1352124

62n n x

n

⋅⋅⋅⋅-=

⋅⋅⋅

⋅

解:

()()13

223542212122

n n n

+=>+=>-++=

>

由此可知： ()

1352102462n n x n

⋅⋅⋅⋅-<=

<

⋅⋅⋅⋅

而

0n =，00lim 0=→n ，所以由迫敛性知：lim 0n n x →∞=

2.1.2单调有界准则.单调有界数列必有极限，而且极限唯一.

例2：设()n n x x x n n ,,2,16,1911 =+==+。则{}n x 的极限是否存在, 若存在求此极限。

解: 由191=x 及52=x 知12x x ≥。

设1k k x x +≥， 则21166+++=+>+=k k k k x x x x

所以对一切自然数n , 都有1+>n n x x ， 即数列}{n x 单调下降, 由已知易见...)2,1(0=>n x n 即有下界。

则由上述准则知：{}n x 的极限存在。 令B x n n =∞

→lim 对n n x x +=+61两边取极限，

有B B +=6所以有062=--B B 解得3=B ,或2-=B 。 因为() ,2,10=>n x n ，所以0≥B ，舍去2-=B ,故3

lim =∞

→n n x

2.2利用导数的定义求极限

我们知道，函数()y f x =在点0x x =处的导数为()()

00

lim x x x f x f x x --→，利用这一点我们

可以某些极限。

例3：求()x ctg x x 22lim 2

⋅-→

π

的极限

解：原式=()212122lim 2222lim 122lim 122

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=-⎪

⎭⎫

⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-→→→ππππ

πππππf x f x f x tg x tg x x tg x x x

2.3利用两个重要极限公式求极限

1sin lim

)(0=→x x A x e x

B x x =+∞→)1

1(lim )(

它们的变形为：

()()()()1sin lim 0='→x x A x ϕϕϕ ()()()()

e x B x x =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+'∞→ϕϕϕ11lim

例4：求x a x x 1lim )1(0-→ bx

ax

x cos ln cos ln lim )2(0→ )

1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a

u x a a u x u a x x

+=

-+==-于是则）令解：（

a u a

u

u a u a u x a u x u

u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )

1ln(ln lim 1lim 0

10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当

（2）原式)]1(cos 1ln[)]

1(cos 1ln[(lim

0-+-+=→bx ax x 1

cos 1cos 1

cos )]

1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim 0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x

1cos 1cos lim

0--=→ax bx x 222

2

22220220)2

()2()2

(2sin )2(2

sin lim 2sin 22sin 2lim a

b x a x b

x b x b x a x

a x

b x x x =⋅=--=→→α

2.4利用函数的连续性求极限

对于某些连续函数，可利用其连续性求解。

例5： 求)1ln(15

cos lim

)1(20x x x e x x -+++→ ()x

x x )1ln(lim 20+→ 解：（1）由题意知：函数())

1ln(15

cos lim

20x x x e x f x x -+++=→ 在0=x 处连续，故有：