求实系数一元三次方程根的实用定律
一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式(精华版)
一元三次方程的卡尔丹公式与盛金公式（使用MathType5.2软件公式编辑器编辑的精华版）一元三次方程的解法的历史人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。
古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。
在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。
在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。
那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。
由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。
后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。
经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。
这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。
但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。
他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。
可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。
虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。
后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。
冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。
整系数一元三次方程有理根求法
整系数一元三次方程320ax bx cx d +++=有理根的一般求法
1. 当1a =时，分解常数d 的因数i d (包含正负因数)在验根
2. 当1a ≠时，用a 的因数i a 作分母，d 的因数i d 作分子，写出所有可能的有理根i i
d a 在验根 3. 任何一个实系数一元三次方程一定有一个实根，如果有虚根，则成对出现且互为共轭复数。
4. 可以用卡尔丹公式、盛金公式求根
5. 卡尔丹公式
一元三次方程,03=++q pX X ),(R q p ∈ 判别式3
2)3()2(p q +=∆。
卡尔丹公式： 32311Y Y X +=；
ωω322312Y Y X +=；
232313ωωY Y X +=， 其中231i +-=
ω；322,1)3()2(2p q q Y +±-=。
一般式一元三次方程),,,(,023R d c b a d cX bX aX ∈=+++ 令a
b y X 3-
=代入上式，可化为二次项为零，适合卡尔丹公式直接求解的特殊型三次方程。
一元三次方方程公式
一元三次方方程公式一元三次方程呀，可有点小复杂但也超有趣的呢。
一元三次方程的一般形式是ax³+bx²+cx+d = 0（这里a不能为0哦）。
咱先说说它的解法历史吧。
在很久以前，数学家们就开始琢磨这一元三次方程怎么解了。
那时候可不像现在有这么多方便的数学工具。
有好多聪明的脑袋在那苦思冥想呢。
那解一元三次方程有啥办法呢？有一种比较常见的方法叫卡尔丹公式。
这个公式啊，就像是一把神奇的钥匙，可以打开一元三次方程求解的大门。
不过这把钥匙可有点难拿，它的表达式有点复杂。
比如说，对于方程x³+px+q = 0这种特殊形式（这里p和q是常数），我们可以用卡尔丹公式来求解。
首先呢，我们要算一个很特别的量，叫判别式Δ，Δ等于(q/2)²+(p/3)³。
这就像是给方程做一个小小的体检，看看它的“身体状况”。
如果Δ大于0呢，这个方程就有一个实根和两个共轭虚根。
那个实根的表达式是x = ³√(-q/2+√Δ)+³√(-q/2 - √Δ)。
看起来是不是有点眼花缭乱的，但是你仔细琢磨一下，还是能看出其中的规律的。
要是Δ等于0呀，方程就有三个实根，其中有两个实根是相等的。
这就像是三个小伙伴，有两个小伙伴紧紧挨在一起了。
当Δ小于0的时候呢，方程有三个不相等的实根。
这时候的计算就更复杂一点啦，需要用到复数的知识。
不过别怕，复数就像是数学世界里的魔法，虽然有点神秘，但是一旦你掌握了，就会觉得超级酷。
还有一种方法叫盛金公式，这个公式对于解一元三次方程也很有用。
它把一元三次方程的系数进行了巧妙的组合和运算，然后得出方程的根。
和卡尔丹公式相比呢，盛金公式在某些情况下可能会更方便计算一些。
一元三次方程在实际生活中也有不少应用哦。
比如说在物理中，有些关于物体运动或者能量变化的问题，最后可能就会归结到一元三次方程的求解上。
还有在工程学里，计算一些结构的稳定性或者材料的性能的时候，也可能会遇到一元三次方程。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
一元三次方程的一般解法 求根公式
一元三次方程的一般解法求根公式求解一元三次方程是数学中常见的问题，可以通过一般解法来求得方程的根公式。
一元三次方程的一般形式是ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知系数。
下面将介绍一元三次方程的解法。
我们可以利用一元三次方程的根公式来求解。
根公式的推导过程较为复杂，这里不做详细展开，只介绍其一般形式。
一元三次方程的根公式可以表示为：x = (-b + √(b^2 - 3ac))/(3a) 或x = (-b - √(b^2 - 3ac))/(3a)其中，√表示开方，b^2 - 3ac为判别式，当判别式大于0时，方程有三个不同的实根；当判别式等于0时，方程有一个实根和一个重根；当判别式小于0时，方程有三个不同的虚根。
接下来，我们可以通过代入系数的值来计算根的具体数值。
需要注意的是，由于一元三次方程的计算较为复杂，一般需要使用计算器或计算软件进行求解。
在实际计算中，可以先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质，最后再通过根公式来求解根的具体数值。
需要强调的是，求解一元三次方程的过程中，应该注意将方程化简为标准形式，确保系数的准确性。
此外，对于复数解，可以使用复数形式表示，其中虚部为√(-1)。
在实际应用中，可以根据具体问题的需要，选择合适的解法来求解一元三次方程。
总结起来，求解一元三次方程可以通过一般解法来求得根公式。
通过代入系数的值，计算判别式的值，来确定方程的根的性质，最后通过根公式求解根的具体数值。
求解过程中需要注意方程的标准形式和系数的准确性，以及对于复数解的处理。
通过掌握一元三次方程的解法，可以更好地应对实际问题的求解。
盛金公式和韦达定理求解一元3次方程
盛金公式法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。
盛金公式1盛金公式2盛金公式3盛金公式4盛金判别法盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。
（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T 出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。
如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
求实系数一元三次方程根的实用公式
求实系数一元三次方程根的实用公式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
一元三次方程根与系数关系推导
一元三次方程根与系数关系推导嘿，朋友们！咱们今天来聊聊一元三次方程根与系数的关系推导，这可真是个有趣又有点小挑战的事儿！你想啊，方程就像一个个神秘的密码箱，咱们得找到正确的钥匙才能打开它，找到里面隐藏的宝贝。
一元三次方程呢，就是那种稍微复杂一点的密码箱。
咱们先来看一个一般形式的一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d =0$ ，假设它的三个根分别是$x_1$、$x_2$、$x_3$ 。
咱们可以把这个方程变个形，写成$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$ ，展开来就是：$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x -x_1x_2x_3 = 0$对比一下原来的方程$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ，是不是能发现点啥？这不就有了：$- (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{b}{a}$ ，那$x_1 + x_2 +x_3 = -\frac{b}{a}$ 。
还有啊，$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ ，$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$ 。
这就像是在拼图，一块一块地把线索拼起来，最终找到完整的答案。
比如说，咱们假设一个一元三次方程$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ ，那它的三个根假设是 1，2，3 。
按照咱们刚才推导的关系，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，这不正好 1 + 2 + 3 = 6 嘛！$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{11}{1} = 11$ ，1×2 + 1×3 + 2×3 = 11 。
$x_1x_2x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，1×2×3 = 6 。
一元三次方程与一元四次方程的根
3.6一元三次方程与一元四次方程的根3.6.1 一元三次方程的根一元二次方程的求根公式是众所周知的，下面我们给出一元三次与一元四次方程的求根公式.设一元三次方程023=+++c by ay y (立方和展开公式:) 令3a x y -=，得 03=++q px x （5-1）所以，所有一元三次方程均可化为无二次项的方程.设0x 是方程（5-1）的根,即0030=++q px x现在讨论方程0302=--p u x u 设它的两个根α与β，则3·0p x -==+βαβα （5-2）0))(3(0)()(333=+++++=++++q p q p βααββαβαβα （5—3） 由于03=+p αβ，所以2733333p q-=-=+βαβα 所以33βα与是一元二次方程 02732=-+p qz z 的两个根.解此方程得274232p q q z +±-= 33233227422742p q q p q q +--=++-=βα即 332332027422742p q q p q q x +--+++-=+=βα 这样,我们就把方程的根x 0求出来了.这个公式称为卡丹公式。
但是由于上式开了3次方，共有3个值，因而βα+共有9个值，这9个值不可能都是方程（5—1）的根,对于取定的α,只能取β，使得1.3·αβα设p =是 3322742p q q ++- 3个开方值中的一个，ε是1的立方根.232132sin 32cosi i +-=+=ππε= 而3111p -=βαβ是适合的值 如果11βα+是方程（5-1）的根,则方程（5-1）的另外两个根为εβεαεβεα121211++现在讨论 （1）当 27432p q D += 如D 〉0，则D 是实数，实数D q ±-2的立方根有一个实数，两个共轭复数。
设1α是32D q +-中的实数，1β是32D q --中的实数。
一元三次方程的根与系数的关系
一元三次方程的根与系数的关系《一元三次方程的根与系数的关系》小朋友们，今天我们来一起了解一个有点难但很有趣的知识——一元三次方程的根与系数的关系。
比如说，有一个方程x³ 6x² + 11x 6 = 0。
我们怎么来找它的根呢？这就要用到根与系数的关系啦。
就好像我们玩拼图，每一块拼图都有它的位置。
方程的根和系数也是这样，它们之间有着特别的联系。
比如说，这个方程的根可能是 1、2、3。
我们发现 1 + 2 + 3 正好等于 6，而1×2 + 1×3 + 2×3 正好等于 11，1×2×3 正好等于6。
是不是很神奇呀？其实，数学里有很多这样神奇的规律等着我们去发现呢！《一元三次方程的根与系数的关系》小朋友们，你们知道吗？数学里有一个很有趣的东西，叫一元三次方程的根与系数的关系。
比如说，有一个方程像这样：x³ 5x² + 8x 4 = 0 。
我们来找找它的根。
假设它的根是 1、2、2 。
那 1 + 2 + 2 就等于 5 ，这和方程里的系数有关系哦。
还有1×2 + 1×2 + 2×2 正好是 8 。
1×2×2 就是 4 。
是不是像变魔术一样？数学就是这么好玩！《一元三次方程的根与系数的关系》小朋友们，今天来讲讲一元三次方程的根与系数的关系。
比如说有个方程x³ 4x² + 3x = 0 。
那它的根可能是 0 、 1 、 3 。
我们来看看， 0 + 1 + 3 正好是 4 。
0×1 + 0×3 + 1×3 就是 3 。
是不是很有趣呀？就好像我们在玩找宝藏的游戏，通过一些线索就能找到答案。
《一元三次方程的根与系数的关系》小朋友们，咱们来聊聊一元三次方程的根与系数的关系。
举个例子，方程x³ 7x² + 12x 6 = 0 。
一元三次方程的根的探究
关于一元三次方程的根的探究1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋c X＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
一元三次方程的根的探究
⼀元三次⽅程的根的探究关于⼀元三次⽅程的根的探究1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次⽅程都适⽤，只对⼀些三次⽅程适⽤．对于⼤多数的三次⽅程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次⽅程降次．例如：解⽅程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得⽅程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另⼀种换元法对于⼀般形式的三次⽅程，先⽤上⽂中提到的配⽅和换元，将⽅程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代⼊并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代⼊，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的⼆次⽅程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛⾦公式解题法三次⽅程应⽤⼴泛。
⽤根号解⼀元三次⽅程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使⽤卡尔丹公式解题⽐较复杂，缺乏直观性。
范盛⾦推导出⼀套直接⽤a、b、c、d表达的较简明形式的⼀元三次⽅程的⼀般式新求根公式，并建⽴了新判别法．盛⾦公式⼀元三次⽅程aX^3＋bX^2＋c X＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛⾦公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛⾦公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛⾦公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛⾦公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1盛⾦判别法①：当A=B=0时，⽅程有⼀个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，⽅程有⼀个实根和⼀对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，⽅程有三个实根，其中有⼀个两重根；当b=0，c=0时，盛⾦公式①⽆意义；当A=0时，盛⾦公式③⽆意义；当A≤0时，盛⾦公式④⽆意义；当T＜-1或T＞1时，盛⾦公式④⽆意义。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法一元三次方程是高中数学中一个重要的章节，在解决真实问题和理论推导中都有广泛的应用。
解决一元三次方程需通过数学方法，如综合定理、韦达定理和代数学方法等。
在本篇文档中，我们将讨论一元三次方程的解法，并详细介绍以下几种方法：1.综合定理解法2.韦达定理解法3.代数学方法解法在具体讨论这些方法之前，我们先来回顾一下一元三次方程的一般形式。
一元三次方程的一般形式可以表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (1)其中，a、b、c和d均为实数且a不等于0。
现在我们逐一讨论这些解法。
1.综合定理解法综合定理也称为根与系数的关系定理，它通过观察方程的根与系数之间的关系，来找到方程的解。
设方程 (1) 的根为x1、x2和x3，我们可以得出以下综合定理：x1 + x2 + x3 = -b/ax1x2 + x1x3 + x2x3 = c/ax1x2x3 = -d/a通过上述定理，我们可以将方程的解简化到求解一元二次方程或一元一次方程。
2.韦达定理解法韦达定理也称为根与系数的关系定理，它通过观察方程的根与系数之间的关系，来找到方程的解。
设方程 (1) 的根为x1、x2和x3，我们可以得出以下韦达定理：x1 + x2 + x3 = -b/ax1x2 + x1x3 + x2x3 = c/ax1x2x3 = -d/a通过韦达定理，我们可以将方程的解转化为求解一元二次方程。
具体的步骤如下：步骤1：根据韦达定理，计算出方程的系数之和与系数之积。
步骤2：设一元二次方程的根为X1，X2，通过解一元二次方程可以求得X1和X2的值。
步骤3：将求得的X1和X2的值带入韦达定理中的第一个式子，得到方程的第一个根X1+x2。
步骤4：利用韦达定理中的第三个式子，可以求得第三个根X3。
3.代数学方法解法代数学方法是通过代数运算和代数变换求解方程的方法。
对于一元三次方程，我们可以将其转化为一元二次方程来求解。
具体的步骤如下：步骤1：将一元三次方程的一般形式 (1) 进行变换，得到一个新的方程y^3 + py + q = 0 。
一元三次方程的根与系数
一元三次方程的根与系数一元三次方程的根与系数，这听起来像个数学课堂上的话题，但别急，咱们轻松聊聊！想象一下，这个方程就像是一位三头六臂的怪物，真的是挺吓人的。
但它的内涵可大着呢！说到方程，大家一定听过“根”这个词。
根就像是方程的秘密，能告诉我们这位怪物到底长什么样子。
没错，这些根儿就是方程解的所在。
我们常常把这个方程写成这样的形式：ax³ + bx² + cx + d = 0。
别被这些字母搞晕了，它们不过是怪物的名字罢了。
这里的“a”、“b”、“c”和“d”分别是它的系数，最重要的就是“a”得不等于零，不然我们的怪物可就没法发挥了。
现在，咱们来聊聊“根”与“系数”的关系。
这就像是一个大家庭，根儿们是小孩，系数是家长。
我们有时候会说，根与系数之间有着“无言的默契”。
比如，著名的韦达定理就告诉我们，根的和、积等等，都是可以通过系数来计算的。
要是你有三个根，分别叫做r1、r2、r3，那它们的和就是r2/a，听起来好像有点复杂，但其实一点不难。
只要记住这些神秘的公式，数学也能变得有趣起来。
说到这，大家可能会觉得，哎呀，数学真是个让人头疼的东西。
我觉得它就像一块巧克力，有时候外表不好看，但里面的味道可真是棒极了。
咱们还可以把一元三次方程看成是一个宝藏，埋藏在这些繁杂的符号后面，等着你去发掘。
找根儿的过程就像是寻宝，有时候费尽千辛万苦，结果却只找到一个平凡的石头；但一不小心，你可能会挖到大金块！解一元三次方程的方法有很多，就像做菜，有的人喜欢红烧，有的人喜欢清蒸。
你可以用代入法、分解法，甚至是更复杂的图像法，选择适合自己的那一种。
数学就是要玩得开心，不然何必辛苦呢？虽然在某些时刻，方程会让人感到无比沮丧，就像卡在了游戏的某一关，怎么也过不去。
但是，只要用对了方法，总能找到出路。
在实际应用中，一元三次方程也有着不少“奇妙”的地方。
想象一下，你在为装修房子而烦恼，空间布局总是让你头大。
运用方程的思路，能让你对空间的利用变得更高效。
一元三次方程猜根法
一元三次方程猜根法一、什么是一元三次方程猜根法一元三次方程猜根法呢，就是一种用来找出一元三次方程根的有趣方法。
一元三次方程长啥样呢？就是类似ax³ + bx²+ cx + d = 0这样的式子，这里的a、b、c、d都是常数，而且a不能是0哦。
猜根法就像是在玩一个猜数字的游戏，只不过这个数字是方程的根。
二、猜根法的原理你想啊，方程的根就是让这个方程成立的那个数。
有时候呢，我们可以通过观察方程的系数来猜出一个可能的根。
比如说，如果方程的常数项d是某个数的倍数，而且这个数代入方程能让方程成立，那这个数可能就是根。
这就好比你在找宝藏，你根据一些线索去推测宝藏可能在哪里。
这里的系数就是我们的线索，而根就是宝藏。
三、猜根法的具体操作1. 先看常数项先盯着方程的常数项看。
如果这个常数项是一个比较简单的数，像是±1、±2、±3之类的，那我们就可以先把这些数代入方程试试。
就像你试钥匙开一把锁一样，一个一个试。
比如说方程x³ - 2x² - 5x + 6 = 0，常数项是6，那我们就先试试1、 - 1、2、 - 2、3、 - 3这些数。
当我们把1代入方程的时候，发现 1 - 2 - 5+6 = 0，哈哈，那1就是这个方程的一个根呢。
2. 利用根与系数的关系如果我们已经猜出了一个根，比如说刚才那个方程中的1是根，那我们就可以利用这个根把方程降次。
怎么降次呢？我们可以用多项式除法。
用原来的方程除以(x - 1)，就像分糖果一样，把方程分成两部分。
得到一个二次方程，然后我们就可以用求二次方程根的方法来求剩下的根啦。
3. 对于复杂系数的情况要是方程的系数很复杂，那也不要慌。
我们还是先从简单的数字开始试。
如果常数项是一个比较大的数，我们可以先把它分解因数，然后从因数里面找可能的根。
比如说常数项是30，那它的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，我们就从这些数里面找可能的根。
应用一元三次方程韦达定理解题
应用一元三次方程韦达定理解题
一元三次方程韦达定理是：
设三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0
三个根分别为x1，x2，x3，则方程又可表示为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0
即ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1*x2+x2*x3+x3*x1)-ax1*x2*x3=0
对比原方程ax^3+bx^2+cx+d=0 可知
x1+x2+x3=-b/a
x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a
x1*x2*x3=-d/a
实数根：
虽然三个根都是实数根，但是求解过程中却遇到了虚数。
虚数经过运算后，最终结果为实数。
这个三次方程的根比较简单，求解过程中遇到的三次重根式可以化简。
但是，绝大多数三次方程的根都是无理数，其三次重根式无法化简，那么这时就必须要用虚数才能用根号精确表示这些复杂的无理实根，即：用带虚数的根式来表示一个实数。
由此可见，三次方程的根比二次方程的根的复杂度要高出很多。
二次方程的根仅仅用单层二次根号就能精确表示出来，而三次方程的根不仅需要用到二、三次双重根号，有时甚至还需要用到虚数才能精确表示。
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求实系数一元三次方程根的实用公式
在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：
设，
则它的三个根的表达式如下：
其中，
我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p=9，q=6，T=3，D=18，
原方程的三个根为
这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：
其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）
令，代入（1）得（2）
其中，
不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）
代入（2）得，（4）
选择u、v，使得，即（5）
代入（4）得，（6）
将（5）式两边立方得，（7）
联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：
，且
问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，
设，，，
又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若，即D>0，则、均为实数，
可求得，，
取，，
在，组成的九个数中，
有且只有下面三组满足，
即、；、；、，
也就是满足，
方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，
其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，
这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，
可求得，取
同理，可求得
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，
，p<0，，
则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，
其中T，都是实数，
同理，
其中，且
取，，则
显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：
其中
当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，
3）当时，方程有三个实根，
，
上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。
例一、解方程。
解：p=27，q=54，D=0，
原方程的根为，。
例二、解方程。
解：p=9，q=4，D=31>0，原方程有一个实根和两个共轭虚根：
例三、解方程。
解：p=9，q=6，D=18<0，原方程有三个实根：
通过差表或计算器、计算机可计算得：
这在工程技术上是极其有用的。