矩阵论复习
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(4) 设1, 2 , , n 是线性空间 V 的一组基, '1 , '2 , , 'n 是 V 的 n 个向量,则存在 n 阶方阵 T,使得
( '1 , '2 , , 'n ) (1, 2 , , n ) T ,
当且仅当 T 可逆时,'1 ,'2 , ,'n 也是V 的一组基.
(5)设 1, 2 , , n 是线性空间 V 的基,则向量α在这
2. 矩阵的最小多项式 （1）矩阵A 的最小多项式m(λ)能整除 A 的化零多项式.
（2）矩阵A 的最小多项式能整除特征多项式 f (λ). （3） 0 是A的特征值的充要条件是 m(0 ) 0 ； （4）相似的矩阵具有相同的最小多项式. （5）矩阵A的最小多项式为其最后一个不变因子.
W L(1 , 2 , s ) {k11 k22 ks s | ki P}, 则W 是V 的子空间.
（3）设 1 , 2 , s与 1, 2 , t是线性空间V 的两组向 量，则 L(1, 2 , , s ) L(1, 2 , , t ) 的充分必要条件是 1, 2 , s 与 1, 2 , t 等价.
（4）dim(L( 1 , 2 , s )) rank (1 , 2 , s )
（5）设 V1 , V2 是线性空间V 的两个子空间，则V1 V2 和 V1 V2 是V 的子空间.
（6）如果 V1 和 V2是线性空间V 的两个有限维子空间, 则
dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
(, ) 0;（, ) 0 0;
（2）向量内积和长度的性质 ( , ) || || ; || || ;
1,2, ,m 线性无关的充分必要条件是Gram矩阵
非奇异.
(1,1) (2,1)
G( 1 ,
2
,
,m
)
(1,2 )
(1,m )
(2,2 )
(2,m )
第二章 线性映射与线性变换
1.线性变换的定义
设V是数域 P 的线性空间，A 是V 到自身的一个映射，
如果
A ( ) A ( ) A ( ), , V
A (k ) kA ( ), V , k P
则称A 是V上的线性变换.
2.线性变换的性质
如果A ,B 是V上的线性变换，k P, 则A B , AB , kA 也是V上的线性变换.
（4）dim(R(A )) = rank( A ); （5）dim(R(A )) + dim(Ker(A )) = n.
5.矩阵 A 可对角化的充分必要条件
（1）A有n 个线性无关的特征向量. （2）设A的互异特Βιβλιοθήκη Baidu为1, 2 , , r ，则
C n V1 V2 Vr
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数.
组基下的坐标 ( x1, x2 , , xn )T 是如下线性组合的系数向量:
x11 x2 2 xn n .
2.线性子空间
（1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 子空间的充分必要条件是
k P,, W k, W
（2）设 1, 2 , s 是线性空间V 的一组向量，
s
s s
（5）标准正交基的性质
有限维内积空间V 的标准正交基一定存在.
有限维内积空间V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基.
设 1 , 2 , , n 是内积空间V 的一组标准正交基，且
x11 xn n , y11 yn n , 则
n
( , ) y H x xi yi i 1
（4）线性无关向量组的标准正交化
设 1,2 , , s 在内积空间V 中线性无关，则存在标准 正交向量组 1, 2 , , s , 使得 1,2, ,s 与 1, 2 , , s 等 价，其中
1 1,
1
1 1
2 2 ( 2 , 1 ) 1 ,
2
2 2
s s ( s , 1 ) 1 ( s , s1 ) s1 ,
（4）C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和. （5）A的初等因子都是一次式. （6）A的最小多项式m(λ)没有重零点.
第三章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形
1.数字矩阵 A 与 B 相似的条件 （1）存在数字矩阵P 与Q，使得 I A P(I B)Q. （2）它们的特征矩阵λI- A和λI- B相抵. （3）它们有相同的不变因子. （4）它们有相同的行列式因子. （5）它们有相同的初等因子.
(m ,1)
(m ,2 )
(
m ,
m
)
（3）常见内积空间
n
在C n中 定 义 内 积 ( x, y) y H x xi yi ; i 1
在C[a, b]中定义内积 ( f , g) b f ( x)g( x)dx； a
在C mn中 定 义 内 积 ( A, B) tr(B H A)
4.线性变换的值域与核
设A 是 n 维线性空间V上的线性变换，1, 2 , , n是 V 的 一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则
（1）A 的核为Ker(A ) { V | A ( ) 0}; （2）A 的值域为R(A ) {A ( ) | V };
（3）R(A ) L(A (1 ), A ( 2 ), , A ( n ));
3.直和的判别法 (1) V1 V2 中任意向量的分解式唯一； (2) V1 V2中零向量的表法唯一； (3)V1 V2 {0}; (4) dim( V1 V2 ) dim( V1 ) dim( V2 ).
4.内积空间 （1）内积的定义
( , ) ( , );
( , ) (, ) ( , ); (k, ) k(, );
3.线性变换的矩阵表示
设 1, 2 , , n 是数域 P 上的线性空间V 的一组基,A 是V上的线性变换，则
A (1 ) a111 a21 2 an1 n
A
( 2 ) a121 a22 2
an2 n
A ( n ) a1n1 a2n 2 ann n
即 A (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) A.
( '1 , '2 , , 'n ) (1, 2 , , n ) T ,
当且仅当 T 可逆时,'1 ,'2 , ,'n 也是V 的一组基.
(5)设 1, 2 , , n 是线性空间 V 的基,则向量α在这
2. 矩阵的最小多项式 （1）矩阵A 的最小多项式m(λ)能整除 A 的化零多项式.
（2）矩阵A 的最小多项式能整除特征多项式 f (λ). （3） 0 是A的特征值的充要条件是 m(0 ) 0 ； （4）相似的矩阵具有相同的最小多项式. （5）矩阵A的最小多项式为其最后一个不变因子.
W L(1 , 2 , s ) {k11 k22 ks s | ki P}, 则W 是V 的子空间.
（3）设 1 , 2 , s与 1, 2 , t是线性空间V 的两组向 量，则 L(1, 2 , , s ) L(1, 2 , , t ) 的充分必要条件是 1, 2 , s 与 1, 2 , t 等价.
（4）dim(L( 1 , 2 , s )) rank (1 , 2 , s )
（5）设 V1 , V2 是线性空间V 的两个子空间，则V1 V2 和 V1 V2 是V 的子空间.
（6）如果 V1 和 V2是线性空间V 的两个有限维子空间, 则
dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
(, ) 0;（, ) 0 0;
（2）向量内积和长度的性质 ( , ) || || ; || || ;
1,2, ,m 线性无关的充分必要条件是Gram矩阵
非奇异.
(1,1) (2,1)
G( 1 ,
2
,
,m
)
(1,2 )
(1,m )
(2,2 )
(2,m )
第二章 线性映射与线性变换
1.线性变换的定义
设V是数域 P 的线性空间，A 是V 到自身的一个映射，
如果
A ( ) A ( ) A ( ), , V
A (k ) kA ( ), V , k P
则称A 是V上的线性变换.
2.线性变换的性质
如果A ,B 是V上的线性变换，k P, 则A B , AB , kA 也是V上的线性变换.
（4）dim(R(A )) = rank( A ); （5）dim(R(A )) + dim(Ker(A )) = n.
5.矩阵 A 可对角化的充分必要条件
（1）A有n 个线性无关的特征向量. （2）设A的互异特Βιβλιοθήκη Baidu为1, 2 , , r ，则
C n V1 V2 Vr
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数.
组基下的坐标 ( x1, x2 , , xn )T 是如下线性组合的系数向量:
x11 x2 2 xn n .
2.线性子空间
（1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 子空间的充分必要条件是
k P,, W k, W
（2）设 1, 2 , s 是线性空间V 的一组向量，
s
s s
（5）标准正交基的性质
有限维内积空间V 的标准正交基一定存在.
有限维内积空间V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基.
设 1 , 2 , , n 是内积空间V 的一组标准正交基，且
x11 xn n , y11 yn n , 则
n
( , ) y H x xi yi i 1
（4）线性无关向量组的标准正交化
设 1,2 , , s 在内积空间V 中线性无关，则存在标准 正交向量组 1, 2 , , s , 使得 1,2, ,s 与 1, 2 , , s 等 价，其中
1 1,
1
1 1
2 2 ( 2 , 1 ) 1 ,
2
2 2
s s ( s , 1 ) 1 ( s , s1 ) s1 ,
（4）C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和. （5）A的初等因子都是一次式. （6）A的最小多项式m(λ)没有重零点.
第三章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形
1.数字矩阵 A 与 B 相似的条件 （1）存在数字矩阵P 与Q，使得 I A P(I B)Q. （2）它们的特征矩阵λI- A和λI- B相抵. （3）它们有相同的不变因子. （4）它们有相同的行列式因子. （5）它们有相同的初等因子.
(m ,1)
(m ,2 )
(
m ,
m
)
（3）常见内积空间
n
在C n中 定 义 内 积 ( x, y) y H x xi yi ; i 1
在C[a, b]中定义内积 ( f , g) b f ( x)g( x)dx； a
在C mn中 定 义 内 积 ( A, B) tr(B H A)
4.线性变换的值域与核
设A 是 n 维线性空间V上的线性变换，1, 2 , , n是 V 的 一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则
（1）A 的核为Ker(A ) { V | A ( ) 0}; （2）A 的值域为R(A ) {A ( ) | V };
（3）R(A ) L(A (1 ), A ( 2 ), , A ( n ));
3.直和的判别法 (1) V1 V2 中任意向量的分解式唯一； (2) V1 V2中零向量的表法唯一； (3)V1 V2 {0}; (4) dim( V1 V2 ) dim( V1 ) dim( V2 ).
4.内积空间 （1）内积的定义
( , ) ( , );
( , ) (, ) ( , ); (k, ) k(, );
3.线性变换的矩阵表示
设 1, 2 , , n 是数域 P 上的线性空间V 的一组基,A 是V上的线性变换，则
A (1 ) a111 a21 2 an1 n
A
( 2 ) a121 a22 2
an2 n
A ( n ) a1n1 a2n 2 ann n
即 A (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) A.