成都七中2023届高一上期第一次阶段性数学考试试题 - 参考解答

成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试

数学参考解答

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1-5 BDADA 6-10 CBACC 11-12 BB

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.

2- 14.

53 15. 2 16. 1

(0,]2

三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

解：(1)因为全集{2,1,1,2,3},U A B ==--{1,3}.A B =2分

所以(){2,1,2}.

U C A

B =--5分 (2)当1a >时,解得1.

x a <<6分

当1a =时,即2

(1)0x -<,不存在这样的实数.x 7分

当1a <时,解得 1.a x <<8分

综上所述①当1a >时,不等式的解集为{|1}x x a <<；

②当1a =时,不等式的解集为∅；

③当1a <时,不等式的解集为{|1}.

x a x <<10分

18.(本小题满分12分)

解：(1)因为2

()3f x x =-在[1,0]-单调递增,在(0,1]单调递减,所以()f x 在[1,1]-上的最小值为min{(1),(1)}f f -.

2分

又(1)(1) 2.f f -==于是min{(1),(1)} 2.f f -=所以函数()f x 在[1,1]-上的最小值为2.

5分

法2：通过函数图象(即画出函数的图象),数形结合得到当1x =±时,取到最小值2. (2)当2

()13()g x x x f x =-≤-=时,即12x -≤≤时,()1.h x x =- 当2

()13()g x x x f x =->-=时,即1x <-或2x >时,2

()3.h x x =-

所以2

1, 12,

()3,1 2.x x h x x x x --≤≤⎧=⎨-<->⎩

或8分 ()h x 在(,1)-∞-单调递增,在[1,)-+∞单调递减.即()(1) 2.h x h ≤-=11分 当1x =-时,()h x 取到最大值2.所以函数()h x 的最大值为2. 12分

法2：通过函数图象(即画出函数的图象),数形结合得到当1x =-时,()h x 取到最大值2.

19.(本小题满分12分) 解：

3

描点如图,连线如图

6分

(2)证明：根据单调性的定义,设121

,(,)2

x x ∈+∞,且12.

x x <7分

1212121212

()()(2(2)2()(f x f x x x x x x x x x -=-=+

8分

21121212

12

2()()(2x x x x x x x x x x -==9分

1212121212121212121221

()()(21)(21)()(21)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+==++

1212121212(21)

x x x x x x =

++10分 因为121

,(,),2

x x ∈+∞121212120,210,410.x x x x x x x x >>>->

又12x x <,所以120.x x -<11分

所以1212

121212

21()()0,x x f x f x x x x x --=

<+即12()().f x f x <

所以函数()f x 在1(,)2

+∞单调递增.12分

20.(本小题满分12分)

证明：(1)设12,R,x x ∈则22121212()()(),224x x x x x x f +++==22

1212

()().22f x f x x x ++=

2分

于是222222

121212121212()()()()2()

()22424x x f x f x x x x x x x x x f +++++-+-=-= 222

1212122()()0.44x x x x x x -+-==-≤4分

即1212()()

(

).22

x x f x f x f ++≤所以2()f x x =是R 上的下凸函数.6分

(2)因为0,0,a b >>令12,,x a x b ==8分

因为2

()f x x =是R 上的下凸函数,所以()()

(

.22

a b f a f b f +≤10分

即2(.22

a b a b +≤所以.22a b a b

+≤12分 注：其它方法,只要证明完整无误均可.

21.(本小题满分12分)

解：(1)1

(10)10410200.2

S =

⨯⨯⨯=2分 (10)200

(10)20.1010

S f === 4分

(2)当010m <≤时,1

4()2

()2.m m

S m f m m m m

⋅===

5分 当1020m <≤时,()20040(10)200

()40.S m m f m m m m

+-===-6分 当2030m <≤时,1

600(401003)(20)

()38002()100.2m m S m f m m m m m ++--===--

7分

当30m >时,()85010(30)550()10.S m m f m m m m

+-=

==+ 8分

所以 2, 010,200 40, 1020,

()3800

100,2030,2550 10, 30. m m m m f m m m m m m <≤⎧⎪

⎪-<≤⎪⎪

=⎨--<≤⎪⎪

⎪+>⎪⎩

9分 (3)成都七中高一某班的家庭作业量为614 1.63 4.225.

⨯+⨯+⨯=10分

3800

()(25)1002530.530.225

f m f ==-⨯-=>11分

所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量.

12分

22.(本小题满分12分)

解：(1)因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的, 又22

11()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=,故函数1()f x 是偶函数.

3分

(2)令1(),f x t =则0.t ≥于是2

2

31211()(())(())||1|1|.t f x f f x f f t t ====--

于是22

|1|1t t -=+或2

2

|1|1.t t -=-