121导数的计算(1)
1.2.1几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
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[ 小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数: 1 5 3 (1)y=x ;(2)y=x4;(3)y= x ;(4)y=3x;(5)y=log5x.
12
【精彩点拨】
首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将
函数解析式化为基本初等函数的求导形式.
【自主解答】
(1)y′=(x12)′=12x11.
[ 再练一题] 1 2.(1)求函数 f(x)= 在(1,1)处的导数; 3 x (2)求函数 f(x)=cos x
π 在 4,
2 处的导数. 2
1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)= 3 ′=(x-3)′=-3x-3=- , 3 4 x 3 x 1 1 ∴f′(1)=- =-3. 3 3 1 (2)∵f′(x)=-sin x, π π 2 ∴f′ 4 =-sin 4=- 2 .
原函数 f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x
【答案】 0 αxα-1 cos x
导函数 f′(x)=____________ f′(x)=__________ 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)=x
-sin x axln a ex
1.给出下列命题: 1 ①y=ln 2,则 y′=2; 1 2 ②y=x2,则 y′|x=3=-27; ③y=2x,则 y′=2xln 2; 1 ④y=log2x,则 y′=xln 2. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4
π t,∴v3=cos
π 1 3=2.
∴加速度 a(t)=v′(t)=(cos t)′=-sin t.
1. 速度是路程对时间的导数, 加速度是速度对时间的导数. 2 .求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导数的方法步骤 是:(1)先求函数的导函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求 相应的导数值.
导数的概念及其意义、导数的运算
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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (3)f′(x0)=[f(x0)]′.( × ) (4)若f(x)=sin (-x),则f′(x)=cos (-x).( × )
∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上, ∴设切点为(x0,y0). 又f′(x)=1+ln x, ∴直线l的方程为y+1=(1+ln x0)x. ∴由yy00= +x10=lnx10+,ln x0x0, 解得 x0=1,y0=0.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
命题点2 求参数的值(范围)
1.函数f(x)=ex+1x 在x=1处的切线方程为__y=__(_e_-__1_)_x_+_2__.
f′(x)=ex-x12, ∴f′(1)=e-1, 又f(1)=e+1, ∴切点为(1,e+1),切线斜率k=f′(1)=e-1, 即切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1), 即y=(e-1)x+2.
[cf(x)]′= cf′(x) .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x = y′u·u′x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用 结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条. (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条. 2.f1x′=-[ff′x]2x(f(x)≠0).
第三章
考试要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如
高中数学 经典资料 第121课--导数中的不等式放缩
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第121课导数中不等式放缩基础知识:(1)在不等式放缩中,常见的函数不等式有①e 1x x ≥+;②1ln x x -≥.特别地,要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+,e ln 2x x >+,e sin 1x x ≥+等不等式.(2)与隐零点相关的放缩问题常用方法:利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值(最小值)0()f x ,再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值(最小值),即得到0()()f x f x M ≤≤(0()()f x f x M ≥≥),进而证得题目中所证不等式.一、典型例题1.已知函数()23e x f x x =+,()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小,并加以证明.答案:()()f xg x >解析:设()()()h x f x g x =-23e 91x x x =+-+,∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数,∴可设()00h x ¢=,∵()060h ¢=-<,()13e 70h ¢=->,∴()00,1x Î.当0x x >时,()0h x ¢>;当0x x <时,()0h x ¢<.∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+,又003e 290x x +-=,∴003e 29x x =-+,∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.∵()00,1x Î,∴()()001100x x -->,∴()min 0h x >,()()f x g x >.2.已知函数()2e x f x x =-.(1)求曲线()f x 在1x =处的切线方程;(2)求证:当0x >时,()e 2e 1ln 1x x x x +--³+.答案:(1)()e 21y x =-+;(2)见解析解析:(1)()e 2x f x x ¢=-,由题设得()1e 2f ¢=-,()1e 1f =-,()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.y x =-+(2)()e 2x f x x ¢=-,()e 2x f x =-,∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减,在()ln2,+¥上单调递增,所以()()ln222ln20f x f ³=->,所以()f x 在[]0,1上单调递增,所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-,且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+,故可猜测:当0,1x x >¹时,()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.下证:当0x >时,()()e 21f x x ³-+,设()()()e 21,0g x f x x x =--->,则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-,()g x ¢在()0,ln2上单调递减,在()ln2,+¥上单调递增,又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<,∴()ln20g ¢<,所以,存在()00,ln 2x Î,使得()00g x ¢=,所以,当()()00,1,x x Î+¥时,()0g x ¢>;当()0,1x x Î时,()0g x ¢<,故()g x 在()00,x 上单调递增,在()0,1x 上单调递减,在()1,+¥上单调递增,又()()010g g ==,∴()()2e e 210x g x x x =----³,当且仅当1x =时取等号,故()e 2e 1,0x x x x x +--³>.又ln 1x x ³+,即()e 2e 1ln 1x x x x +--³+,当1x =时,等号成立.二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.(1)求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数;(2)求证:()2f x >.答案:(1)1个;(2)见解析解析:(1)()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-,设()1e x g x x=-,则()21e 0x g x x ¢=+>,()()1e x g x f x x¢==-在()0,+¥上递增,()11e 10,202f f=->=-<,存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=,所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.(2)由(1)可知,()y f x =在()00,x 上递减,在()0,x +¥上递增,()()00000min 011e ln 2(1)2x f x f x x x x x ==-=+><<,所以()2f x >.2.已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++,()()e 1x g x m x =-+.(1)当1m ³时,求函数()g x 的极值;(2)若72a ³-,证明:当()0,1x Î时,()1f x x >+.答案:(1)见解析;(2)见解析解析:(1)()e x g x m ¢=-,由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>,ln x m <得()0g x ¢<,所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.(2)不等式等价于3214cos 1e xx x ax x x ++++>,由(1)得:e 1x x ³+,所以()22e 1x x ³+,所以211e 1x x x +<+,()0,1x Î,()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++,则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+,令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-,当()0,1x Î时,π1cos cos1cos 32x >>=,所以12cos 0x -<,所以()0I x ¢<,所以()I x 在()0,1上为减函数,所以()()00I x I <=,则()0h x ¢<,所以()h x 在()0,1上为减函数,因此,()()314cos12h x h a >=++,因为π4cos14cos 23>=,而72a ³-,所以34cos102a ++>,所以()0h x >,而()0,1x Î,所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+,求证:当02x <£时,()12f x x >.答案:见解析解析:只需证:ln 1ln 2x x x x -->,令()ln g x x x =-,()ln 12x h x x =+,由()110g x x =-=¢解得:()1,x g x =在(0,1)递减,在(1,2]上递增,故()()min 11g x g ==,由()21ln x h x x -¢=可知:()h x 在(0,2]上递增,故()()()max min 1ln2212h x h g x +==<=,故()()h x g x <,即()12f x x >.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=,求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时,()ln f x x >.答案:见解析解析:由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+,且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=,所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上,所以0110b ---=,所以2b =-.所以()e 2x f x =-.先证e 21x x ->-,即e 10(0)x x x -->>,令()e 1(0)x g x x x =-->,则()e 10x g x ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥是增函数.所以()(0)0g x g >=,即e 21x x ->-.①再证1ln x x -³,即1ln 0(0)x x x --³>,令()1ln x x x j =--,则11()1x x x x j -=-=¢,()0x j ¢=时,1x =,()0x j ¢>时,1x >,()0x j ¢<时,01x <<.所以()x j 在(0,1)上是减函数,在(1,)+¥上是增函数,所以min ()(1)0x j j ==.即1ln 0x x --³,所以1ln x x -³.②由①②得e 2ln x x ->,即()ln f x x >在(0,)+¥上成立.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++,a R Î.若函数()f x 在定义域上为单调增函数.(1)求a 最大整数值;(2)证明:23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n +++++<-.答案:(1)2;(2)见解析解析:由题意知,()()e ln x f x x a ¢=-+,若函数()f x 在定义域上为单调增函数,则()0f x ¢³恒成立.(1)先证明e 1x x ³+.设()e 1x g x x =--,则()e 1x g x ¢=-,则函数()g x 在(),0-¥上单调递减,在()0,+¥上单调递增,∴()()00g x g ³=,即e 1x x ³+.同理可证ln 1x x £-∴()ln 21x x +£+,∴()e 1ln 2x x x ³+³+.当2a £时,()0f x ¢>恒成立.当3a ³时,()01ln 0f a ¢=-<,即()()e ln 0x f x x a ¢=-+³不恒成立.综上所述,a 的最大整数值为2.(2)(1)知,()e ln 2x x ³+,令1t x t -+=,∴111e ln 2ln t t t t t t-+-++³+=∴11e ln tt t t-++³.由此可知,当1t =时,0e ln2>.当2t =时,213e ln 2->,当3t =时,324e ln 3->, ,当t n =时,11e ln n n n n -++³.累加得0121e e e e n ---+++++>23341ln2ln ln ln 23nn n +++++ .又0121e e e e n ---+++++=111e e 11e 111e e n -<=---,∴2334ln2ln ln 23++1e ln e 1n n n +++<-.。
12导数的计算121几个常用函数的导数122基本初等
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1 和相应切线的斜率 , 进而求得切线的方程 . 【解】 (1)设切点为(x0,y0), 由 y= x,得 y′|x=x0= . 2 x0 ∵切线与 y=2x-4 平行, 1 1 1 ∴ =2,∴x0= ,∴y0= . 16 4 2 x0 1 1 则所求切线方程为 y- =2(x- ), 即 16x-8y+1=0. 4 16
1 4 (1)y=x ; (2)y= 3; (3)y= x; (4)y=log3x; x - 【解】 (1)y′=(x13)′= 13x13 1= 13x12.
1 - - - - (2)y′=x3 ′= (x 3)′=-3x 3 1=-3x 4. 1 1- 1 1 -3 (3)y′= ( x)′= (x )′= x4 = x 4. 4 4 1 (4)y′= (log3x)′= . xln3
栏目 导引
第一章
导数及其应用
变式训练
1.求下列函数的导数: (1)y=x8; (2)y=4x; π (3)y=sin(x+ ); 2 π (4)y=sin . 3
解:(1)y′=(x8)′=8x8 1=8x7.
-
(2)y′=(4x)′=4xln4. (3)y′=(cosx)′=-sin x. π (4)y′=(sin )′=0. 3
栏目 导引
第一章
导数及其应用
变式训练
1 1 2.已知 f(x)= , g(x)=mx, 且 g(2)= , 则 m=________. x f′(2)
1 解析:f′(x)=- 2, x 1 ∴f′(2)=- , g(2)=2m. 4 1 又∵g(2)= , f′(2) ∴2m=-4, ∴m=-2.
栏目 导引
第一章
导数及其应用
(2)∵点 P(0,1)不在曲线 y= x上, 1 故需设切点坐标为 M(t,u),则切线斜率为 . 2 t
导数的定义与求解
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导数的定义与求解导数是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中,我们将深入探讨导数的定义及其求解方法。
定义:导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
给定函数f(x),如果函数在点x处的导数存在,则称该导数为f(x)在点x处的导数,记作f'(x)。
导数可以用极限的概念来定义,具体地,函数f(x)在点x处的导数可以通过以下极限来求解:f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中,h为一个趋近于0的数。
求解导数的方法有很多,下面将介绍几种常见的方法。
1.用定义法求导数:利用导数的定义进行计算。
将函数代入定义式,并对极限进行化简,最终得到导数的值。
这种方法适用于简单函数,但对于复杂函数可能会很繁琐。
2.常见函数的导数:为了简化求导数的过程,我们需要记住一些基本函数的导数。
常见函数的导数公式包括:常数函数的导数为0,幂函数的导数为n*x^(n-1),指数函数的导数为a^x*ln(a),对数函数的导数为1/x。
有了这些基本函数的导数公式,可以通过组合和运用求导法则来求解更复杂函数的导数。
3.利用求导法则:求导法则是一系列用于简化求导过程的规则。
常见的求导法则包括:常数乘法法则(导数与常数相乘)、和差法则(导数的和等于导数的和)、乘法法则(导数的乘积等于一个函数的导数乘以另一个函数,再加上另一个函数的导数乘以一个函数)、链式法则(嵌套函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数),以及复合函数的求导法则等。
利用这些法则,可以更快速地求解复杂函数的导数。
4.隐函数求导:有时候,函数的表达式并不是显式给出的,而是以方程的形式出现。
这时需要使用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导基于隐函数定理和导数的定义,通过对方程两边求导得到导数的表达式。
求导是微积分的一个基本概念,它在数学和科学的各个领域中都有广泛应用。
导数的定义帮助我们理解函数的瞬时变化率,求导的方法则使我们能够更方便地计算函数的导数。
导数的计算公式
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导数的计算公式导数是微积分的基本概念之一,用于描述函数在某一点的变化率。
它可以通过计算函数的导数来获得,而导数的计算可以通过一些公式来简化。
一、导数的定义设函数 y=f(x),当自变量 x 在某一点 a 处有定义时,函数 f(x) 在该点的导数可以通过以下极限来定义:f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中 h 称为自变量的增量,表示自变量 x 在点 a 处的一个微小变化量。
导数 f'(a) 描述了函数 f(x) 在点 a 处的斜率,即函数图像在该点附近的切线的斜率。
二、常见导数的计算公式在微积分中,有一些常见函数的导数计算公式可以帮助简化导数的计算。
下面列举一些常见导数的计算公式:1. 常数函数导数公式:如果 y=c 是一个常数,那么它的导数为 f'(x)=0,即常数函数的导数为 0。
2. 幂函数导数公式:如果 y=x^n 是一个幂函数,那么它的导数为 f'(x)=nx^(n-1),即幂函数的导数等于指数与幂减一的乘积。
3. 指数函数导数公式:如果 y=a^x 是一个指数函数,且 a>0 且a≠1,那么它的导数为f'(x)=a^xln(a),即指数函数的导数等于函数值乘以底数的自然对数。
4. 对数函数导数公式:如果 y=loga(x) 是一个对数函数,且 a>0 且a≠1,那么它的导数为 f'(x)=1/(xln(a)),即对数函数的导数等于常数 1 除以函数自变量 x 与底数的乘积。
5. 三角函数导数公式:(1) sin 函数的导数:f'(x)=cos(x)(2) cos 函数的导数:f'(x)=-sin(x)(3) tan 函数的导数:f'(x)=sec^2(x)(4) cot 函数的导数:f'(x)=-csc^2(x)(5) sec 函数的导数:f'(x)=sec(x)tan(x)(6) csc 函数的导数:f'(x)=-csc(x)cot(x)这些导数的计算公式在微积分中是经常使用的,可以帮助简化复杂函数的求导过程。
导数的计算(一轮复习)
![导数的计算(一轮复习)](https://img.taocdn.com/s3/m/4ac854c99a89680203d8ce2f0066f5335a81672e.png)
5.曲线 y=9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x+y-6=0 . 解析 ∵y′=-x92, ∴y′|x=3=-1, ∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为y-3=-(x-3), 即x+y-6=0.
12345
10.已知抛物线 y=x2,求过点-12,-2且与抛物线相切的直线方程.
12345
2.已知 f(x)
解析
f(x)=
x,得
f′(x)=
1
-
x
1
2,
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
12345
D.-1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y=3,则 y′=0 √C.若 y= x,则 y′=21 x
B.若
y=
1 ,则 x
y′=-12
x
√D.若 y=x,则 y′=1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
12345
4.已知 f(x)=ln x 且 f′(x0)=x120,则 x0= 1 .
解析 因为f(x)=ln x(x>0), 所以 f′(x)=1x, 所以 f′(x0)=x10=x120, 所以x0=1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)=0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切,则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
2-1 导数概念
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补例2:求函数f ( x) x 在x = 2处的导数。
3
解:由于 f '( x ) 3 x ,
2
即得函数f ( x) x3在x = 2处的导数
f '(2) 3 x 2
x 2
3 22 12。
3 f ( x )= x 在x = 2处的函数值是 : 另外:
导数的基本定义式
f ( x0 )= lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) y = lim x 0 x x 0 x
可以千变万化,但其含义是不变的:
数学含义:函数增量比自变量增量,
当自变量增量趋于0时的极限。
或几何含义:纵标差比横标差,
当横标差趋于0时的极限。
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如果当x 0时,极限
俗称导数基本定义式
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
不存在, 则称函数f ( x)在点x0处不可导,
x0称为y f ( x)的不可导点。
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注:
y f ( x0 x) f ( x0 ) 1、增量比 x x
d f ( x ) 符号法:“df ( x)比dx”, , dx 涵义法:“f ( x)对x的导数”。
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根据导数的定义求导,一般包含以下三个步骤:
1.求函数的增量:
y f ( x x ) f ( x )
2.求函数增量与自变量增量的比值:
y f ( x x) f ( x) x x
f ( x0 x ) f ( x0 ) y = lim x 0 x x 0 x
2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版
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• 3.求函数在某点处的导数的步骤:先求导函数,再代入 变量的值求导数值.
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数: (1)y=x-2; (2)y=cosx; (3)y=e0. [解析] 由求导公式得(1)y′=-2·x-3=-x23. (2)y′=(cosx)′=-sinx. (3)∵y=e0=1, ∴y′=0.
〔跟踪练习 2〕 求下列函数的导数.
(1)y=x·tanx; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=xx-+11. [解析] (1)y′=(x·tanx)′=xcsoisnxx′ =xsinx′coscxo-s2xxsinxcosx′ =sinx+xcocsoxsc2xosx+xsin2x=sinxccooss2xx+x.
• 3.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y= f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(xB)是g(x)的导函数 ,那么g′(3)=( )
• A.-1 B.0 • C.2 D.4
[解析] 由已知得:3k+2=1,∴k=-13,又 g(x)=xf(x),f ′(3)=-13,∴g′(x) =f(x)+xf ′(x),∴g′(3)=f(3)+3f ′(3)=1+3×-13=0.
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
高中数学(人教A版,选修22)1.2 导数的计算 课件+同步练习(9份)22 1.2.1
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求函数y=1x在点-3,-13处的切线方程.
[解析] y′=1x′=-x12, 切线的斜率k=y′|x=-3=-19. 又切线过点-3,-13. 所以切线方程为y--13=-19(x+3), 即x+9y+6=0.
∴-x120=-1 x20=b
,解得xb0==21 或xb0==--21 .
即当b=2时,切点为(1,1);
当b=-2时,切点为(-1,-1).
典例探究学案
常用函数的导数
(1)求函数f(x)=π的导数. (2)求函数y=1x在点(1,1)处的切线方程.
[解析] (1)∵π为常数,∴f ′(x)=0. (2)∵k=y′=-x12, 当x=1时,k=-1, ∴切线方程为:y-1=-(x-1), 即x+y-2=0.
5.若直线 y=-x+b 为函数 y=1x的图象的切线,求 b 及 切点坐标.
[解析] 设切点坐标为(x0,y0), 因为 y′=1x′=-x12,所以切线斜率为 k=-x120. 所以切线方程为 y-x10=-x120(x-x0) 即 y=-x120x+x20 .
又切线方程为y=-x+b,
∴切线与x轴交点为(32,0),与直线x=2的交点为(2,2).
∴S=12×(2-32)×2=12.
规范答题样板
如图,已知曲线f(x)=2x2+a(x≥0)与曲线g(x)= x(x≥0)相切于点P,且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标 及a的值.
[解题思路探究] 第一步,审题. 一审结论探索解题方向.求点P坐标和a值,需利用条件建 立坐标及a的方程求解; 二审条件找解题突破口.两曲线相切于点P,在点P处有相 同切线表明切点是关键,切点在两曲线上和切线上,这是解题 的突破口. 第二步,建联系确定解题步骤. 只要设出切点坐标,则过点P的两曲线切线的斜率相等, 由此可求出切点坐标,代入f(x)解析式中可求出a. 第三步,规范解答.
高中数学 121 几种常用函数的导数及导数的运算法则课件 新人教版选修22
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(2)y′=(xl+nx1)′ =1xx+x+11-2lnx =1-x+lnx1+2 1x =x-xxx+lnx1+2 1.
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(3)∵f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5) =2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5, ∴f′(x)=(2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5)′ =10x4+32x3-15x2+4x+8.
第三十页,共41页。
规律技巧 1在求曲线的切线方程时,注意两个“说 法”:求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程. 在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线, 不论 点P在不在曲线上,点P不一定是切点.
2求过点P的曲线的切线方程的步骤为:先设出切点坐标 为x0,y0,然后写出切线方程y-y0=f′x0x-x0,代入点P 的坐标,求出x0,y0,再写出切线方程.
(3)f′xgx[g-xf]2xg′x(g(x)≠0)
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名师讲解 1.有理数幂函数的导数(xn)′=nxn-1(n为有理数),应注意 其特点 (1)y=xn中,x为自变量,n为常数. (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n-1)次幂的乘积. (3)公式中n∈Q,但对于n∈R公式也成立. (4)特别注意n为负数或分数时,求导不要搞错.如( x )′ =(x12)′=12x12-1=12·x-12=21 x.
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(3)∵y=1+ sin2xcos2x=1+12sinx,
∴y′=(1+12sinx)′=12cosx.
(4)y′=(
x x+1
)′-(2x)′=
x+1-x x+12
-2xln2=
1 x+12
-
2xln2.
常见的导数公式高中
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常见的导数公式高中导数(Derivative)是研究数学函数性质的重要工具,它的定义可以采用微积分的概念来表达,特别是可以表达函数曲线的切线斜率。
偏导数则是在多元函数中表达某一变量的变化率而言,而且可以得到最佳值的时候也是很好的应用函数。
对于高中学生来说,有一些导数公式是他们需要掌握的,那么今天我们就来了解具体都有哪些常用的导数公式:首先,常用的一阶导数公式:如果f(x)是某一函数,那么它的一阶导数为f(x),表示函数在x点处的斜率,其表示形式为:f(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其次,二阶导数公式:如果f(x)是某一函数,那么它的二阶导数为f(x),表示函数在x点处的曲率,其表示形式为:f``(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h再次,多元函数的偏导数公式:如果F(x,y)是某一多元函数,那么它的偏导数可以表示为:F/x=lim(h→0)[F(x+h,y)-F(x,y)]/hF/y=lim(h→0)[F(x,y+h)-F(x,y)]/h最后,高阶导数公式:如果f(x)是某一多元函数,那么它的高阶导数为f(n)(x),其表示形式为:f(n)(x)=lim(h→0)[f(n-1)(x+h)-f(n-1)(x)]/h我们可以看出,高中学生需要掌握的常见的导数公式主要有一阶导数公式、二阶导数公式、偏导数公式以及高阶导数公式。
这些公式是微积分日常应用中使用较频繁的,因此高中学生在学习微积分时,都有必要学习这些常见的导数公式,以便更好地理解微积分知识。
除了学习常见的导数公式之外,高中学生要注意掌握数学分析基础知识,特别是在函数曲线计算中,要注意抓住重点,比如:函数的斜率、函数的极值,以及函数图形的变化等等。
在实际的应用中,需要准确的理解函数的性质,以便更好的解决问题。
同时,学习微积分的过程切不可急于求成,应该多多练习,通过反复练习,让自己对微积分知识有更深入的理解,才能真正掌握这些知识,有助于高考取得好成绩。
5.1.2 导数的概念及其意义课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的
导数h′(1),即
v(1) h(1) lim h(1 t) h(1) 5.
t 0
t
问题2中抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函 数f(x)=x2在x=1处的导数f′(1),即
k0
f (1)
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
是一个常数,你能说出这个常数的意义吗?
结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题思考.
类似地,运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和 瞬时变化率:
1. 平均变化率
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+∆x,相应地,函数值y
巩固练习
练习.比较函数 f(x)=2x 与 g(x)=12x-1 在区间[a-1,a](a<0)上的 平均变化率的大小.
解:f(x)=2x 在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为 faa--fa-a-11=2a-2a-1=2a-1;
g(x)=12x-1 在区间[a-1,a](a<0)上的平均变化率为 gaa--ga-a-11=12a-1-121a-1-1=12.
导数(瞬时变化率)为负,体现了下降的变化趋势. f (6) 5 表示在第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率为 5℃/h, 这说明在第 6 h 附近,原油温度大约以 5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正,体现了上升的变化趋势.
巩固练习
练习.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为y v(t) t 2 6t 60,求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度,并说明它 们的意义. 解:在第2 s和6 s时,汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
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几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式函数的导数是用来描述函数在一点上的变化率。
对于常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式,以下是一些常见的公式和规则。
常见函数的导数公式:1.常数函数:导数为0。
即对于函数f(x)=C,其中C是常数,导数f'(x)=0。
2.幂函数:对于函数f(x)=x^n,其中n是一个实数,导数f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数:对于函数 f(x) = a^x,其中 a 是一个正实数且a ≠ 1,导数 f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数:对于函数 f(x) = log_a(x),其中 a 是一个正实数且a ≠ 1,导数 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数:常见的三角函数包括正弦函数(sin(x))、余弦函数(cos(x))、正切函数(tan(x)),它们的导数分别为 sin'(x) =cos(x)、cos'(x) = -sin(x)、tan'(x) = sec^2(x),其中 sec(x) = 1 / cos(x)。
基本初等函数的导数公式:1.常见的常数导数公式:即常数函数的导数为0,如f(x)=5的导数为0。
2.单项式函数导数公式:对于f(x)=a*x^n,其中a是常数且n是正整数,导数f'(x)=a*n*x^(n-1)。
3.指数函数导数公式:对于f(x)=e^x,导数f'(x)=e^x,其中e是自然对数的底数。
4. 对数函数导数公式:对于 f(x) = ln(x),导数 f'(x) = 1 / x。
5. 反三角函数导数公式:包括反正弦函数(arcsin(x))、反余弦函数(arccos(x))、反正切函数(arctan(x))等。
其导数分别为:arcsin'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)、arccos'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)、arctan'(x) = 1 / (1+x^2)。
14个导数公式
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14个导数公式导数是微积分的基本概念之一,用于描述函数在某一点处的变化率。
在微积分中,导数有许多重要的公式和性质。
本文将介绍14个常用的导数公式,帮助读者更好地理解和应用导数。
一、常数的导数公式对于常数函数f(x) = C,其中C为常数,则其导数恒为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率为0,即斜率为0。
二、幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n,其中n为实数,则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以用来求解多项式函数的导数。
三、指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x,其中a为正实数且不等于1,则其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式是指数函数求导的基本规律。
四、对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x),其中a为正实数且不等于1,则其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式是对数函数求导的基本规律。
五、三角函数的导数公式对于三角函数f(x) = sin(x),其导数为f'(x) = cos(x)。
对于f(x) = cos(x),其导数为f'(x) = -sin(x)。
这是三角函数求导的基本规律。
六、反三角函数的导数公式对于反三角函数f(x) = arcsin(x),其导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)。
对于f(x) = arccos(x),其导数为f'(x) = -1 / √(1 - x^2)。
这些公式是反三角函数求导的基本规律。
七、双曲函数的导数公式对于双曲函数f(x) = sinh(x),其导数为f'(x) = cosh(x)。
对于f(x) = cosh(x),其导数为f'(x) = sinh(x)。
这是双曲函数求导的基本规律。
八、反双曲函数的导数公式对于反双曲函数f(x) = arcsinh(x),其导数为f'(x) = 1 / √(x^2 + 1)。
导数的定义与计算方法高中五年级数学教案
![导数的定义与计算方法高中五年级数学教案](https://img.taocdn.com/s3/m/a6e746aa162ded630b1c59eef8c75fbfc77d9433.png)
导数的定义与计算方法高中五年级数学教案导数的定义与计算方法一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念,用于描述函数在某一点的变化率。
在高中数学中,我们常用极限的概念来定义导数。
对于函数f(x),若极限lim [f(x + △x) - f(x)]△x→0 △x存在,那么这个极限就是函数f(x)在点x处的导数,记作f'(x)。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种,下面我们将介绍常见的几种计算方法。
1. 函数的四则运算法则若函数f(x)和g(x)在点x处都可导,则它们的和、差、积、商的导数也可计算。
- 和差的导数:(f ± g)'(x) = f'(x) ± g'(x)- 积的导数:(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 商的导数:[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / (g(x))^22. 基本初等函数的导数- 常数函数:(C)' = 0- 幂函数:(x^n)' = n * x^(n-1)- 指数函数:(a^x)' = ln(a) * a^x,其中a为正实数- 对数函数:(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)),其中a为正实数且a≠1- 正弦函数:(sin(x))' = cos(x)- 余弦函数:(cos(x))' = -sin(x)- 正切函数:(tan(x))' = sec^2(x)- 反正弦函数:(arcsin(x))' = 1 / √(1 - x^2)- 反余弦函数:(arccos(x))' = -1 / √(1 - x^2)- 反正切函数:(arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)3. 复合函数的导数若y = f(u)和u = g(x)都是可导函数,则复合函数y = f(g(x))的导数可由链式法则计算。
导数的求导法则切线计算
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第10讲变化率与导数、导数的计算诊断-基础知识知识梳理1.2.导数的运算法则⑴[f(X)±(x)] f,(X)±,(x).⑵[f(x)g(x)],= f' (x)g(x) + f(x)g' (x).口xMxtK 2<jg, n二[gx]2 (g(x)工0).3.复合函数的导数设u = v(x)在点x处可导,y= f(u)在点u处可导,则复合函数f[v(x)]在点x处可导, 且f' (x) = f' (u) v v (x).[感悟提升]1•“过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x) “在点P(x o, y o)处的切线”与“过点P(x o, y o)的切线”的区别:前者P(x o, y o)为切点,如(6)中点(1,3)为切点,而后者P(x o, y o)不一定为切点.2.导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点,女口(4).三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式. 由外向内逐层求导,其导数为两层导数之积,如(9).以例求法举一反三x x 1 _ x — ?si n x ,2x + 1突破-高频考点考点一导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数: X X(1)y = e c os x ; (2)y =x — sin qcos 2;ln (2x + 1 \⑶ y=——.解 (1)y '_ (e x )' cos x + ^(cos x)'_ e <cos x — e <sln x.[In 2x + 1 ] ' x — x ' In 2x + 1x2x +1 ' 2x , o , 2x +1 X-2+ 门 2x +1 — n2x + 门 _ 2 _ 2x x _ 2x —(2x + 1 )n (2x + 1 )= 2x +1 x 2 .规律方法(i )本题在解答过程中常见的错误有:①商的求导中,符号判定错误 ②不能正确运用求导公式和求导法则,在第 (3)小题中,忘记对内层函数 进行求导.(2)求函数的导数应注意:① 求导之前利用代数或三角变换先进行化简,减少运算量;1 1 — 2COS x.②根式形式,先化为分数指数幕,再求导.③复合函数求导先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元处理.【训练1】(1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0,+x)内可导,且f(e x)= x+ e x, 则f'(1) = ____________ .⑵若f(x) = ^/3^x + e2x,贝U f' (x) = ______ .解析(1)令e x= t,则x= In t,•'f(t) = In t +1, 即卩f(x) = In x+ x.1因此f' (x)= (In x+x)' = + 1,于是f' (1)= 1 + 1 = 2.x⑵若f(x)= a3+ 2ax—x2,则f' (x)= 3a2+ 2x.( x)(3) (教材习题改编)函数y= xcosx —sin x的导函数是y'= —xsin x. (V)⑷[f(ax+ b)] '= f' (ax+ b). (x )考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013广东卷)若曲线尸kx+ In x在点(1, k)处的切线平行于x轴,则k= ________ .⑵设f(x) = xln x + 1,若f' (x o) = 2,贝U f(x)在点(x o, y o)处的切线方程为1解析(1)函数y= kx+ In x的导函数y' = k+ x,入由导数y'E仁0,得k+1 = 0,则k=— 1.(2)因为f(x) = xln x+ 1,1所以f' (x)= In x+x • = In x+ 1.x因为f' (x o) = 2,所以In x o+ 1 = 2, 解得x o= e,所以y o= e+ 1.由点斜式得,f(x)在点(e, e+ 1)处的切线方程为y—(e+ 1) = 2(x—e),即2x—y —e + 1 = o.答案(1)— 1 (2)2x—y —e+ 1 = o规律方法(1)导数f' (x o)的几何意义就是函数y= f(x)在点P(x o, y o)处的切线的斜率•第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为o,进而构建方程,这是求解的关键,考查了分析问题和解决问题的能力.⑵在求切线方程时,应先判断已知点Q(a, b)是否为切点,若已知点Q(a, b)不是切点,则应求出切点的坐标,利用切点坐标求出切线斜率,进而用切点坐标表示出切线方程.【训练2】(1)(2012新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+ 1)在点(1,1)处的切线方程为(2)若函数f(x)= e x cos x,则此函数图象在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为()•A •0 B •锐角C •直角D •钝角3解析(1)了= x(3ln x+ 1),.°y' = 3ln x+ 1 + x x= 3ln x+ 4,「k= y' |x= 1= 4, 入所求切线的方程为y—1= 4(x- 1),即4x-y-3 = 0.(2)f‘ (x) = e x cos x—e x sin x= e x(cos x—sin x),•■f' (1)= e(cos 1— sin 1).n n••2>1>4・而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1.•f (1)<0,即卩f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率k<0,f •切线的倾斜角是钝角.答案(1)4x —y — 3 = 0 (2)D考点三导数运算与导数几何意义的应用In x 【例3】(2013北京卷)设I为曲线C: y=业在点(1,0)处的切线.X⑴求I的方程;(2)试证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线I的下方.导数几何意义审题路线⑴求f' (1) ——> 点斜式求直线I的方程转化运用导数⑵构建g(x) = x— 1 —f(x) --- >g(x)>0对x>0且X M 1恒成立------- >研究函数y =g(x)的性质一获得结论解⑴设f(x) = I:X,则f' (x)= 1 F x.1 —In 1 ••• f' (1)= 1= 1,即切线I的斜率k= 1.由I过点(1,0),得I的方程为y= x— 1.⑵令g(x) = x— 1 —f(x),贝U除切点之外,曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(?x>0, X M 1).2x —1 + In x g(x)满足g(1) = 0,且g' (x)二1—f' (x)二x2 .当0<x<1 时,x2—1<0, In x<0,••• g' (x)<0,故g(xx)在(0,1)上单调递减;当x>1 时,x—1>0, In x>0, g' (x)>0, g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)= 0(? x>0, X M 1).所以除切点之外,曲线C在直线I的下方.规律方法(1)准确求切线I的方程是本题求解的关键;第(2)题将曲线与切线I的ae 2+ ae 2—位置关系转化为函数g(x) = x — 1 — f(x)在区间(0,+x )上大于o 恒成立的问题, 进而运用导数研究,体现了函数思想与转化思想的应用.(2)当曲线y =f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时,切线 方程为x = x o ;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解 . 1【训练3】(2014济南质检)设函数f(x)= ae x + x + b(0<a<1).ae (1) 求f(x)在[0,+x )内的最小值;3(2) 设曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y =㊁x ,求a 和b 的值. . , x 1 (ae —1( ae + 1)解(1)f (x) = ae — ae x =ae x. 1令 f ' (x) = 0,得 x = In >0.a 1当 0<x<ln 时,f ' (x)<0;a 1当 x>ln ,f ' (x)>0.a••• f(x)在0,In 1上递减,在lln a ,+^ '上递增. 从而f(x)在[0,+x )上的最小值f In a = 2+ b. 3⑵T y =f(x)在点(2,f(2))处的切线为y = 2x , 3••• f(2)= 3,且 f ' (2) = 3, 1ae 2+ b = 3 ae1 32 = ae 2 1 2解之得b = 2且 a = e 2.理解导数的概念时,要注意f'(X0), (f(X0))'与f' (x)的区别:f' (x)是函数y=f(x)的导函数,f' (x o)是f(x)在x= x o处的导数值,是常量但不一定为0, (f(x o))'是常数一定为0, 即(f(x o))' = 0.培养-解题能力教拣解邇提进能力易错辨析3――求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014杭州质检)若存在过点0(0,0)的直线I与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 和y=x2+ a都相切,则a的值是().1A - 1 B.641 1c. 1或64 D - 1或—鬲[错解]V 点0(0,0)在曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 上,•••直线I与曲线y=f(x)相切于点O.则k= f' (0) = 2,直线I的方程为y= 2x.又直线I与曲线y= x2+ a相切,•'x2+ a —2x= 0 满足△= 4 —4a= 0, a= 1,选A.[答案]A[错因](1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x相切这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点0(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.--K又203x 0 + 2, C . In 2[正解]易知点0(0,0)在曲线f(x) = X 3— 3X 2+ 2x 上, ⑴当0(0,0)是切点时,同上面解法.⑵当0(0,0)不是切点时,设切点为 P(X 0, y 0),则y ° = x 3— 3x 0 + 2x 0,且k = f '(X 0)=3x 0— 6x 0 + 2.由①,②联立,得X 0= 2(x 0= 0舍),所以k = — 4, 1•••所求切线I 的方程为y = — 4x.「 1出 y = — 4x , /曰 2 1 c 由 得 x + 4x + a = 0.I 2 | 4y = x + a ,1 1 1 依题意,16— 4a = 0,「a = §4.综上,a = 1 或 a = §4.[防范措施](1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键, 分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异.(2)熟练掌握基本初等函数的导数,导数的运算法则,正确进行求导运算.【自主体验】1函数y = In x(x>0)的图象与直线y =2x + a 相切,贝U a 等于().A . 2ln 2B .In 2 + 1D .In 2 — 1y f I r p解析设切点为(x o, y o),且y' = X,.・. =X = 2,则x o= 2, y o= InX X0 212. 又点(2, In 2)在直线y=2x+ a上,1.n 2 = 2X2+ a,「a= In 2 —1.课时-题组训练_ 阶梯训擦竦出富分对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1 •若函数f(x)= ax4+ bx2+ c满足f' (1) = 2,则f' (—1)等于().A1 B 2 C. 2 D . 0解析f' (x) = 4ax3+ 2bx,.f' (x)为奇函数且f' (1)= 2,.' (—1)= —2. 答案B2.y= —x+ 8,贝U f(5) + f' (5)=如图,C.—2 D . 4解析 ■•yx — 1 — x + 1X - 12212 ,y k=(X —1)—23=2 =3- 1 212,・•—a = 2,即解析 如图可知,f(5) = 3, f ' (5)=— 1,因此 f(5) + f ' (5) = 2. 答案 A3. (2014济南质检)设曲线 尸 在点(3,2)处的切线与直线ax + y + 1= 0垂直,X — 1 则 a =().A . 2B . — 21 1C .— 2 D.Q =—2. 答案 B1 2 14•已知曲线y = ^x 2— 3ln x 的一条切线的斜率为一刁则切点横坐标为(). A . — 2 B . 3 C . 2 或—3 D . 2I1 313 1 解析 设切点坐标为(x o , y o ),,.y ' = ?x — x ,: = 2x 0 — x 0 = — 2,即卩 x 0+x o — 6= 0,解得 x o = 2 或一 3(舍). 答案 D5. (2014湛江调研)曲线y = e —2x+ 1在点(0,2)处的切线与直线y = 0和y =x 围成 的三角形的面积为().A1 f 1A? B .1C.3 D .1解析y' |x=o= (—2e-2x)|x=o= —2,故曲线y= e"2x+ 1在点(0,2)处的切线方程为y= —2x+ 2,易得切线与直线y= 0和y=x的交点分别为(1,0), |,故围成1 2 1的三角形的面积为心1X 3二3.二、填空题6. _________________________________________________ 已知函数f(x) = f' J4C0S x+ sin x,则的值为_________________________________ .解析f (x)= —f' ;Sin x+ cos x,.f —f' ©sin :+ cos ;, f ©=\n n n2—1,--f4二(2—1)cos 4+ sin 4二1.答案17. (2013南通一调)曲线f(x)= f e1 e x—f(0)x+ 1x2在点(1, f(1))处的切线方程为________ .解析f‘(x)=f e1 e x—f(0)+x? f ' (1)=f j1 e1—f(0)+1? f(0) = 1.在函数f(x)D Df ' f 1 \ 1 1=e e x—f(0)x+ ?x2中,令x= 0,则得f ' (1)= e所以f(1)= e—?,所以f(x)在1 1(1, f(1))处的切线方程为y= e(x—1)+ f(1) = ex—?,即y= ex —1答案y= ex—28 .若以曲线y= Jx3+ bx2+ 4x+ c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围是_____________ .2 2解析y ' = x + 2bx + 4 ,与'> 0 恒成立,二△二4b —16< 0,A-2< b< 2.答案[—2,2]g(X)min = g(2)=92,•a>9,a^ —1 2.、解答题9.已知函数f(x) = x3+ (1 -a)x2—a(a+ 2)x+ b(a, b€ R).⑴若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为一3,求a, b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x—a(a + 2).⑴由题意得I0芒二+ 2 一3, 解得 b = 0, a= — 3 或 1.⑵•/曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,•••关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a+ 2)= 0有两个不相等的实数根,•••4(1 —a)2+ 12a(a+ 2)>0,即4a2+ 4a + 1>0,10.已知函数f(x) = x3—ax2+ 10.(1)当a= 1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围. 解(1)当a= 1 时,f' (x) = 3x2—2x, f(2)= 14,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率k=f'⑵=8,•曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—14= 8(x—2),即卩8x—y —2 = 0.3x3+ 10 10⑵由已知得a>x x2 = x+x0,入入设g(x) = x+ x0(1w x<2), g' (x) = 1—2;0,•/ 1< x< 2,•g' (x)v0,「. g(x)在[1,2]上是减函数.能力提升题组(建议用时:25分钟)•a的取值范围是一、选择题1. (2014北京西城质检)已知P, Q为抛物线x2= 2y上两点,点P, Q的横坐标分别为4,—2,过P, Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A. 1B. 3C.—4D. —8解析依题意,得P(4,8), Q( —2,2).2x由y= 2,得y,= x.•••在点P处的切线方程为y—8 = 4(x—4),即y= 4x —8.①在点Q处的切线方程为y—2= —2(x+ 2),即卩y= —2x—2•②联立①,②得点A(1,—4).答案C2. 已知f(x)= log a x(a>1)的导函数是f' (x),记A= f,(a), B = f(a+ 1)—f(a), C =f,(a+ 1),则().A. A>B>C B . A>C>BC. B>A>CD. C>B>Af(a+ 1)— f(a) 解析记M(a, f(a)), N(a+ 1, f(a+ 1)),则由于B= f(a+ 1)—f(a)= ,(a+ 1 —a表示直线MN的斜率,A= f,(a)表示函数f(x)= log a x在点M处的切线斜率;C=f,(a+ 1)表示函数f(x) = log a x在点N处的切线斜率.由图象得,A>B>C.答案A、填空题3. (2014武汉中学月考)已知曲线f(x) = x n + 1(n€ N*)与直线x= 1交于点P,设曲线y= f(x)在点P处的切线与X轴交点的横坐标为X n,贝U log2 013X1 + log2 013X2+… + lOg2 013X2 012 的值为 __________________ .解析f' (x)= (n+ 1)X n, k= f' (1) = n+ 1,点P(1,1)处的切线方程为y— 1 = (n+ 1)(x-1),1 n 阳n令y= 0,得x= 1 —= ,即X n= ,n+ 1 n+ 1 n+ 11 2 3 2 011 2 012 1•'X1 X2 … X2 012= 2X3X4^^X 2 012X2 013= 2 013,贝卩log2 013x1 + log2 013x2 + …+ lOg2 013X2 012=lOg2 013(X1X2 …X2 012) =—1.三、解答题4. (2013福建卷改编)已知函数f(x) = X—aln x(a€ R).(1) 当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2) 当实数a>0时,求函数f(x)的极值.a解函数f(x)的定义域为(0,+^), f' (x)= 1—.X2(1)当a=2 时,f(x) = x —2ln x, f' (x)= 1 —(x>0),X因而f(1)=1, f' (1) = —1,所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y—1 = —(x—1),即x+ y—2= 0.a x—a⑵由f' (x) = 1—x= x, x>0.令f' (x) = 0,得x= a>0.当x€ (0, a)时,f (x)<0;当x€ (a,+x)时,f (x)>0.从而函数f(x)在x= a处取得极小值,且极小值为f(a)= a —aln a,无极大值.。
121几个常用函数的导数
![121几个常用函数的导数](https://img.taocdn.com/s3/m/ba01979685868762caaedd3383c4bb4cf7ecb7c6.png)
121几个常用函数的导数导函数1、导函数的定义导函数的定义由函数f()在=0处求导数的过程可以看到在处求导数的过程可以看到,由函数当时,f’(0)是一个确定的数那么当变化时是一个确定的数。
那么那么,当变化时变化时,当时便是一个函数我们叫它为f()的导函数的一个函数,我们叫它为的导函数。
便是的一个函数我们叫它为的导函数yf(+)f()即:′f()=y′=lim=lim→0→0在不致发生混淆时,导函数也简称导数。
在不致发生混淆时,导函数也简称导数。
函数函数y=f()在点0处的导数f′(0)等于函数f()的导(函)数f′()在点0处的函数值。
(1)求函数的增量y=f(+)f();(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:yf(+)f()=;y(3)求极限,得导函数y′=f′()=lim。
→0根据导数定义,解:根据导数定义,y=f(+)f()=22=0''yoy∴f()=2=lim=lim0=0。
→0→0(2)求函数求函数f()=0的导数;的导数;的导数0(3)求函数求函数f()=-2的导数的导数。
的导数0公式1C=0(C为常数)。
'证明:证明:y=f()=C,y=f(+)f()=CC=0y∴=0,∴f()=C=lim0=0。
''→0求下列函数的导数(1)y=导数的导数解:根据导数定义,根据导数定义,y=f(+)f()=+=,y∴f()=lim=lim1=1→0→0'(2)y=2的导数解:根据导数定义,根据导数定义,y=f(+)f()=(+)=2+,222y∴f()=lim=lim(2+)→0→0=2、'(3)y=3的导数f()=()=3、'3'21(4)求函数y=的导数11yf(+)f()+因为:解:因为:==(+)1==2(+)+1y)=lim(2所以y′=lim→0→0+1=2(5)函数y=f()=导数y=f()=''12汇总以上公式,可以得到统一的公式:汇总以上公式,可以得到统一的公式:(公式2:)=nn'n1(n∈R)算一算:求下列函数的导数(1)y=12(2)y=131(3)y=4(4)y=153(5)y=(6)y=31求曲线f()=在点P(1,1)处的切线方程处的切线方程。
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2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增说中量 明把:x的上换面比 x0的即值方为:法求
y f (x x) f (x) ;
函数在点x0处的 导 数.
x
x
(3)求极限,得导函数y
f
( x)
lim
y
.
x0 x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y
f
(x)
1, x
y'
1 x2
探究知新
3、函数f(x)=x的导数f′(x)等于什么?
f (x) lim y x0 x
lim 1 1 x0
4、若y=x表示路程关于时间的函数,
则y′=1的物理意义如何解释?
物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
v0
探究知新
1、函数f(x)=c的导数f′(x)等于什么?
f (x) lim y lim 0 0
x0 x
x0
2、若y=c表示路程关于时间的函数,
则y′=0的物理意义如何解释?
物体的瞬时速度始终为0,即物体处于 静止状态.
公式1: C 0 (C为常数) .
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x, y ' 1
课堂小结
1.函数y=c,y=x,y=x2,y
1 ,x
y 都x是幂函数,在解题中会经常遇到,
其导数公式要作为基本知识点掌握.
2.由于导数是函数在一点的瞬时变化 率,所以利用导数可以反映函数在某个 区间内增、减的快慢程度.
布置作业
P18习题1.2A组:1.
2.已知曲线
y
1 3
x上3 点
P(2,
8) 3
lim ( x0
x2
1 x
) x
1 x2
探究知新
12、函数f(x)= 1 的图象是什么?
x
y
1
y=x
O
x
探究知新
13、根据导数分析,当x>0时,随
着x的增加,y
1 x
减少的快慢程度如何
变化?当x<0时,随着x的增加,y 减少的快慢程度如何变化?
1 x
探究知新
14、函数 f (x) 什么?
x 的导数 f (x)等于
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ,得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
探究知新
5、根据导数定义,函数f(x)=kx(k≠0) 的导数f′(x)等于什么?
f (x) k
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6、函数f(x)=kx(k≠0)的图象是什么? 其导数表示什么?
y=kx的图象是过原点的一条直线
f (x) k 表示直线y=kx的斜率.
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7、函数f(x)=kx(k≠0)增(减)的快慢 与k的取值有什么关系?
1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
k>0时,k越大,f(x)增加得越快; k<0时,k越大,f(x)减少得越慢.
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8、函数f(x)=x2的导数f′(x)等于什
么?
f (x)
lim y x0 x
lim (2x x0
x) 2x
9、若y=x2表示路程关于时间的函数,
则y′=2x的物理意义如何解释?
物体做变速运动,在时刻x的瞬时速度为2x.
f (x) lim y lim
1
x0 x
x0 x
x
1 x 2x
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15、根据导数分析,当x>0时,随 着x的增加,y x 增加的快慢程度如何 变化?
当x>0时,随着x的增加,y x 增加的 速度越来越慢.
公式2: ( xn ) nxn1 (n Q) .
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
(1)求曲线在点P处的切线方程;
(2)求曲线的过点P的切线方程.
幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
典例讲评
例1 求曲线 y
的切线方程.
1 x 在点(1,1)处
y=-x+2.
例2 抛物线y=x2在点A(a,a2)(a≠0) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的 面积为16,求实数a的值.
a=±4.
典例讲评
例3.已知P(-1,1),Q(2,4)是 曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平 行的曲线y=x2的切线方程。
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10、根据导数分析,当x>0时,随着x 的增加,y=x2增加的快慢程度如何变 化?当x<0时又如何变化?
当x>0时,随着x的增加,y=x2增加的 速度越来越快; 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少的 速度越来越慢.
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11、函数f(x)= 1 的导数等于什么?
x
f (x) lim y x0 x