求矩阵的广义逆例题简单

合集下载

第4章矩阵的广义逆

定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在，使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ，即有 AA A A ．（5）
A为列满秩
7
推论设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之，按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义推论 1 逆矩阵A , 则

矩阵论广义逆矩阵

(1) ；（2）．
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ，；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设，则的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．

第六章广义逆矩阵

55Eliakim Hastings Moore(1862-1932), 美国数学家, 是二十世纪初美国数学的奠基人, 曾任美国数学会主席. 56Sir Roger Penrose(1931-), 著名英国数学家, 物理学家, 哲学家. 1988 年 Wolf 奖得主. 与 Stephen Hawking (霍金) 合作证明了广义相对论的奇点存在性.

100
= 0 1 0 .
000
由例 6.1.3 可知, α 在 L 上的正交投影向量为

100
1
1
PLα = 0 1 0 0 = 0 .
000
1
0
(实际上 PLα 无需计算即可“猜”到, 为什么?)
定义 6.1.1 设矩阵 A ∈ Cm×n, 若矩阵 X ∈ Cn×m 满足 Penrose 方程组 (6.0.4), 则称 X 为 A 的一个 Penrose 广义逆 (矩阵).
(1) AXA = A
(2) XAX = X (3) (AX)∗ = AX (4) (XA)∗ = XA
(6.0.4)
则称 X 是矩阵 A ∈ Cm×n 的广义逆矩阵. 方程组 (6.0.3) 与 (6.0.4) 分别称为 Moore 方程组与 Penrose 方程组. 注意, Moore 方
程组虽然只有两个方程, 却涉及了四个矩阵, 其中除了 A 之外, 其余三个均是未知的 (尽管矩阵 PR(A) 仅与 A 有关), 而 Penrose 方程组尽管有四个方程, 但却仅涉及两个矩阵! 因此 Penrose 方程组更易于研究和应用. 历史的进展正是如此, 自 Penrose 的广义逆矩阵的论文发
其中, X 的列是子空间 L 的任意一组基. 特别, 若 α1, α2, · · · , αr 是 L 的一组标准正交基,

矩阵分析第八章

((AAH)(AAH)+)H=((AAH)+)H(AAH)H=(AAH)+(AAH) = (A+)HA+(AAH)=(A+)H(A+A)AH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)HAH(A+)HAH=(AA+)H(AA+)H=AA+AA+ = A(A+A)HA+=(AAH)(A+)HA+=(AAH)(AAH)+ ((AAH)+(AAH))H=(AAH)H((AAH)+)H=(AAH)(AAH)+ = (AAH)(A+)HA+=A(A+A)HA+=AA+AA+ = (AA+)H(AA+)H=(A+)HAH(A+)HAH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)H(A+A)HAH=(A+)HA+(AAH)=(AAH)+(AAH) (3)的证明与(2)类似, 略.
0 −1 Q 0
例 2：设A−是A∈Cm×n的一个广义逆, 则对任意的V∈Cn×m, W∈Cn×m,
X = A − + V ( Em − AA − ) + ( E n − A − A)W
也是A的一个广义逆矩阵. 证明： AXA = AA − A + AV ( E m − AA − ) A + A( E n − A − A)WA
“⇐” 设A−满足AA−A = A 且 rankA = rankA−, 则: rankAA− = rankA = rankA− ⇒ dim N(AA−) = dim N(A−) 又因为N(AA−) ⊃ N(A−), 从而 N(AA−) = N(A−). 由 AA−A = A ⇒ AA− − AA−AA− = 0 ⇒ ⇒ AA−(E− AA−) = 0 ⇒ A−(E− AA−) = 0 A− = A−AA−

矩阵的广义逆及其应用.ppt

高等工程数学理学院杨文强
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学理学院杨文强
第五章矩阵的广义逆
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时，方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论方程组 Ax b的解，其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学理学院杨文强
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可表示成x Ab (In A A)t的形式.
A

1
1
1
2

(3)(1)3

0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2

0 4 8
高等工程数学理学院杨文强
第五章矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A

0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0

广义逆矩阵求法

B I r 0 0 0 Q D 0 Q 0
所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取 (1)的一个解，则由(1)和(2)得
X G
因为
I r 0 I r 0 I r 0 P QGP 0 0 Q P 0 0 Q 0 0
1 0 1 2 ，那么 A 1 0 0 2
1 设 A 1
B O 设 A ，其中 B 是可逆矩阵，则 O O
B 1 O A O O
如果 A是一个可逆矩阵，那么 A A
1
1 2 ，那么 A 1 2

伪逆矩阵
定义：设 A C mn，若 A C nm ，且同时有
AA A A ,
H

A AA A

( AA ) AA ,
( A A) A A
H
则称 A 是 A 的伪逆矩阵。上述条件称为 Moore－ Penrose 方程。例：
1 设 A 0
广义逆矩阵
定理：设阵方程
A 是数域 K 上一个s n 矩阵，则矩
AXA A
(1)
总是有解。如果 rank( A) r ，并且
I r 0 (2) A P Q 0 0 其中 P 与 Q 分别是 s 阶、n 阶可逆矩阵，则矩
阵方程(1)的一般解(通解)为
I r B 1 (3) X Q P C D 其中 B, C , D 分别是任意 r ( s r ), (n r ) r,
Ir Q C
1
0 1 P 0 0 1 P 0

5.1Moore-penrose广义逆矩阵

注意到若V是内积空间，则子空间U有唯一正交补
间U上的投影变换PU ,U 由唯一决定，称 PU ,U 为正交投影，

简记为 PU 于是作为逆矩阵的推广我们希望TBA 与 TAB 是正交
投影变换！
于是提出问题：对A是n阶矩阵，则构作 F n 上的线性变换
TA F n F n x Ax
那么矩阵A满足什么条件TA 才是正交投影变换呢？我们引入一个概念定义2 n阶矩阵A若满足 A 2 A 且 A H A, 则
5.1
† A Moore-penrose 广义逆矩阵
一 Moore-penrose 广义逆矩阵的定义
二 Moore-penrose 广义逆矩阵存在性与性质
三 Moore-penrose 广义逆矩阵求法
一 Moore-penrose 广义逆矩阵的定义
（一）传统可逆定义的缺点
对矩阵A若存在矩阵B满足 AB BA E
不到，为得到逆矩阵在任意矩阵上推广，我们放弃
与 TAB 是整个空间上的恒等映射要求，只要求它们各自是在 span 1 , , n 与 span 1 , m 上的恒等映射！
TAB
注意到
Im TBA span 1 , m F n , Im T AB span 1 , , n F m
Im T A , Im T A ，各自正交规范基以顺序形成 F n 的一个基，

将其做成矩阵U，则U是酉矩阵且 U H AU diag(1, 1, 0, , 0) 即 A U diag(1, 1, 0, , 0)U H , 由此可得 A H A, 且 A H A。
（四） Moore-penrose 广义逆矩阵的定义

第6章广义逆矩阵及其应用

充分性设G满足GAAT AT .
GAA G A G
T T T T
(GA)(GA)T (GA)T 两边取转置则有 (GA)(GA)T (GA) (GA)T (GA) (GA)T AT AT 两边取转置则有
AGA A

又 GAAT AT
例1.7
1 1 设A 2 2
则称G为A的一个最小范数广义逆.记为Am- = G。最小范数广义逆A-m的计算方法 (1)当A为行(或列)满秩时，
1 Am AR AT ( AAT )1 1 (或Am AL ( AT A)1 AT
( 2)当rankA r min{ m, n}时，将 A作满秩分解 A BC,
1 1 BL ( BT B)1 BT , CR CT (CC T )1 1 1 于是， Ar CR BL
例1.4
1 2 1 设A 求 A 0 1 2 r . 5 4 1 T T 1 1 6 2 A A A ( AA ) A 是行满秩的，故 r R 解 14 3 8 1 2 例1.5 设A 2 1 求Ar . 1 1 1 T 1 T A A ( A A ) A L 解 A是列满秩的，故 r 1 4 7 1 11 7 4 1
1 Al AR AT ( பைடு நூலகம்AT )1 1 (或Al AL ( AT A)1 AT
( 2)当rankA r min{ m, n}时，将 A作满秩分解 A BC,
1 1 Al CR BL 1 T 1 1 T ) ( B( BT B)1 BT )T ( AAl )T ( BCCR BL ) ( BBL

满秩分解计算1,2广义逆

满秩分解是一种矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为一个或多个矩阵的乘积。

在计算广义逆时，满秩分解可以用来求解线性方程组和逆问题。

当给定一个系数矩阵A和一个向量b，求解Ax=b的线性方程组时，广义逆的一种常用方法就是满秩分解。

具体步骤如下：
1. 将系数矩阵A和向量b进行列满秩分解，即求解矩阵方程A*X=B。

2. 对X进行特征值分解，即X=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素为X的特征值。

3. 将X和A的列进行拼接，得到一个新的矩阵P。

4. 将P进行特征值分解，得到Q和R。

5. 将P的列向量和A的列向量进行拼接，得到新的向量x=QΣ^(-1)U^Tb。

这种方法通常在处理大型问题时比较高效，因为通过满秩分解和特征值分解可以将矩阵的乘法转化为向量的加法和点积运算。

在广义逆计算中，满秩分解的应用场景非常广泛，包括求解线性方程组、逆问题、数据压缩、数值优化等。

值得注意的是，满秩分解需要矩阵A是列满秩的，也就是说矩阵A和向量b之间的线性系统有无穷多个解。

此外，在满秩分解中，对角线上的元素（特征值）代表了矩阵A的各特征向量的系数。

这些系数对于求解广义逆问题非常重要。

总的来说，满秩分解在计算广义逆问题中扮演着重要的角色，通过这种方法可以有效地求解线性方程组和逆问题。

但是，对于一些特殊的问题，可能存在其他更有效的方法。

在实际应用中，需要根据具体的问题和数据来选择合适的方法。

广义逆矩阵求法例题

广义逆矩阵求法例题广义逆矩阵，也称为伪逆矩阵，是对于非方阵或奇异矩阵的一种逆的推广。

在数学和工程领域中，广义逆矩阵有着广泛的应用。

下面我将通过一个例题来说明如何求解广义逆矩阵。

假设我们有一个矩阵A：A = [1 2。

3 4。

5 6]我们知道A不是一个方阵，因此它没有标准的逆矩阵。

但我们可以使用广义逆矩阵来表示它的逆。

广义逆矩阵的一个常见求法是使用Moore-Penrose广义逆矩阵公式：A⁺ = (A^T A)^(-1) A^T.首先，我们计算A的转置矩阵A^T：A^T = [1 3 5。

2 4 6]然后，计算A^T A：A^T A = [1 3 5 [1 2。

2 4 6]3 4。

5 6]A^T A = [35 44。

44 56]接下来，计算(A^T A)^(-1)。

我们可以使用矩阵求逆的方法来得到(A^T A)^(-1)：(A^T A)^(-1) = 1/(3556 4444) [56 -44。

-44 35](A^T A)^(-1) = 1/12 [56 -44。

-44 35]最后，将(A^T A)^(-1)与A^T相乘，得到广义逆矩阵A⁺： A⁺ = (A^T A)^(-1) A^T.= 1/12 [56 -44。

-44 35] [1 3 5。

2 4 6]经过计算，得到广义逆矩阵A⁺的结果为：A⁺ = [0.1 -0.2 0.5。

-0.8 0.6 -0.1]因此，对于给定的矩阵A，我们使用Moore-Penrose广义逆矩阵公式成功求得了其广义逆矩阵A⁺。

总结起来，广义逆矩阵的求法涉及到矩阵的转置、矩阵相乘、矩阵求逆等操作，通过这些步骤我们可以得到非方阵或奇异矩阵的逆的推广，从而在实际问题中得到应用。

广义逆的计算及应用

第十六讲广义逆的计算及应用一、由Hermite 标准形求{1}-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite 标准形。

设m nr A C ⨯∈，存在满秩矩阵m mmE C ⨯∈，是EA B =（Hermite 标准形）,采用置换矩阵P ： 12l l i n n P e e |e ⨯⎡⎤=⎣⎦其它 rI K EAP 00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11rI K A E P 00--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1. 求{1}-逆的方法{}r n m I M A 1P E KN 0N L ⨯⎧⎫⎡⎤⎪⎪==⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（取阶数合适的M 、L ） [证明]令r I M X P E N L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则 1111rr rI K I M I K AXA E P P EE P 00N L 00----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11rrI KN M KL I K E P 0000--++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11r r I KN (I KN)K E P 00--++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11r I K E P 00--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =2. {1,2}-逆当{}X A 1∈时，由定理可知：rankX rankA =是{}X A 1,2∈的充要条件。

r I M X P E N L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，P 、E 为满秩方阵 ∴ r I M rankX rank rankA r N L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ r r I M I M ~L NM 0N L 0L NM ⎡⎤⎡⎤→-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴ {}r n m I M A 1,2P E KN 0,L NM N L ⨯⎧⎫⎡⎤⎪⎪===⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭二、由满秩分解求广义逆对A 进行满秩分解：A FG =，m n r A C ⨯∈，m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈ [定理] 设m nrA C ⨯∈，其满秩分解为A FG =，则（1）{}(i)(1)G F A i ∈ i 1,2,4= （2）{}(1)(i)G F A i ∈ i 1,2,3= （3）{}(1)G F A 1,2,3+∈，{}(1)G F A 1,2,4+∈ （4）(1,3)(1,4)A G F G F +++==（5）H H 1H 1H H H H 1H A G F G (GG )(F F)F G (F AG )F +++---=== 证明思路：（1）（2）代入相应的Penrose 方程即可证之，由（1）（2）⇒（3）⇒（4）⇒（5）三、矩阵方程AXB D =的相容性条件及通解定理1. 矩阵方程AXB D =相容（有解）的充要条件：(1)(1)AA DB B D =在相容情况下矩阵方程的通解为：{}(1)(1)(1)(1)ADB Y A AYBB |Y +-为阶数合适的任意矩阵[证明] 相容性条件的充分性：已知(1)(1)AA DB B D =，显然有解(1)(1)X A DB =相容性条件的必要性：已知AXB D =有解，设某个解为X ，即 (1)(1)(1)(1)D AXB AA AXBB B AA DB B ===现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。

矩阵广义逆求法

利用奇异值分解求A +的简化步骤： 1)求出A H A的r个非零特征值1， , r , i 0; 2)求出A H A对应于特征值1， , r的标准正交特征向量
1 , , r .令V1 =(1 , , r );
1-1 H H + 3)则A V1 V1 A r-1
上述定理可简化：
Sr 定理3：设A C ，在A奇异值分解A=U 0 令V=(x1 , , x r ,x r 1 , ,x n )=(V1 ,V2 ).则
mn r
0 H V 中 0
1-1 H H + A =V1 V1 A . r-1
54 75 33 1 32 43 21 则A + =CH (CCH ) 1 (BH B) 1 BH 234 130 182 78 34 53 15
3 1 2)因B列满秩，B =(B B) B = (1,3) (1,3) (1,3). 10 1
1 2 1 解：A 0 1 -1 0 1 -1 1 2 1 B= 2 5 ，C= 0 4 9 5 1 0 3 -3 4 0 1 -1 4 ，令 4 0 0 0 0 0 3 -3 . 1 -1 4
第三节
A+的几种求法
一、满秩分解求A+
定理1：设A Cmn，满秩分解为A=BC，其中B Cmr , C Crn，则 r r r A+ =CH (CCH )1 (BH B)1 BH CH ( BH ACH )1 BH .
证明：因为r(CC H ) r (BH B) r , 所以方阵CC H与BH B可逆. 只需验证上述A +满足Penrose四个方程：如 AXA=AC H (CC H ) 1 (BH B) 1 BH A=BCC H (CC H ) 1 (BH B) 1 BH BC =BC=A. AX BCC H (CC H ) 1 (BH B) 1 BH B(BH B) 1 BH , 所以( AX ) H AX . 类似可证其他两个方程.

矩阵的广义逆

注：A{1}叫做{1}逆，也称减号逆，记为A-， A也称为加号逆或伪逆.
第二节广义逆矩阵A+
例：令A=
1 0
1 0
，B=
11，可直接验证
A+
=
1 1
/ /
2 2
0 0
,
B+
=
1 2
1 2
任给矩阵A Cmn ,伪逆是否存在呢？若存在是否唯一？
定理1：(Penrose)任给矩阵A Cmn , A存在且唯一.
第三章矩阵的广义逆
线性方程组及广义逆：Ax=b
第一节广义逆矩阵
定义1：设A Cmn , 若矩阵X满足四个Penrose方程： 1) AXA A; 2) XAX X ;3)( AX )H =AX ; 4)( XA)H =XA 的全部或者一部分，则称X为A的广义逆矩阵. 满足上述一个，两个，三个或四个方程的广义逆矩阵共有15种.
证明：1）由存在唯一性和方程1-4中A与A+的对等地位可得. 2) 3)由方程1-4共轭转秩和转秩可得. 4)可直接验证，如方程1： AH A( A ( AH ) ) AH A AH ( AA )H ( AA )H A ( AA A)H ( AA A) AH A.同理可证其他方程.
定理2：设A Cmn ,则1)( A ) A; 2)( AH ) ( A )H ;3)( AT ) ( A )T ; 4)( AH A) A ( AH ) , ( AAH ) ( AH ) A;5)( AB) B A; 6)一般地, A A AA I; 7)r( A ) r( A);8) A ( AH A) AH AH ( AAH ); 9)R( A ) R( AH ), N ( A ) N ( AH ).

第4章矩阵的广义逆.

➢L和M是的不变子空间；L=I； M =0
投影变换的矩阵投影的矩阵和变换性质：
{ 1,2 , , n}I0r
0 0
1. 定理4 .13（P . 101）是投影是幂等变换 2. 推论：为投影变换的充要条件是变换矩阵是幂等矩阵
二、正交投影和正交投影矩阵
1. 正交投影的定义：
定义4.5 （P . 103）设：C nCn 是投影变换， C n =R（） N（），如果 R （） =N（），则称为正交投影。
A+=AH （AAH） –1。 5. A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。
A +与A–1 性质的差异比较：
（AB）–1=B –1 A –1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立）
（A–1）k =（Ak） –1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+
§ 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备
1. A。ACR1m n右可逆，则bCm，AX=b有解 2. X= b 是方程组AX=b的解。
二、单侧逆和求解线性方程组AX=b
• 2、左可逆矩阵
– 求解分析：
– 定理4 3 (P . 94)设矩阵A C m n左可逆，B是矩阵A
的任何一个左逆，则
1. AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是
( Im–AB )b=0
– 定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。
– 求法：
• 设A满秩分解A=BC，则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。
AU• （0定理004V.9H），设A则奇异值A分解V：01 00UH

广义逆矩阵

)
( B B)
H
H
1
B
H
G
H 1
G A
H
[ D ( DD ) ( B B )
H 1
B ] ( BD )
H H
H
返回
( AG )
H
B[( B B ) ] [( DD ) ] DD B B[( B B ) ] [( DD B( B B ) B( B B )
H H H 1 1 H H 1 H H 1
G D ( DD
)
( B B)

H
1
B
H
就是A的M P广义逆矩阵A .
返回
证: (1) r 0 A 0 A 0

(2) r 0 存在最大值分解A BD
rank ( B B ) rank ( DD AGA BDD ( DD B( DD
H H H H
H 1
H
H
)
H H
H 1
)
)
B BDD B
H H
H
BDD ( DD ) ( B B ) ( DD ) ( BB ) B BDD B BDD ( DD ) BD[ D ( DD
H H H 1
H 1
H 1
H
( B B)
H
H
1
( DD ) B ]
H
H 1
DD B
H
H
H 1
)
( B B)
A2

返回
( A2 A)

H
A2 A2 AA2 A2

定理 3 设 A C mn，则有
(1) ( A ) A; (2) ( A ) ( A ) ,( A ) ( A ) ; (3) A ( A A) A

6 矩阵的广义逆

H H
9. A AB A AC AB AC

16
例8
证明：若A是Hermite矩阵，则A也是Hermite矩阵。
17
例9
设A是正规矩阵，证明： (A ) (A ) .
2 2
18
定理3
x, 若x R ( A) 1. AA x ; H , 若x K ( A )
5.AH AH AA A AAH ;
15
定理1（续）
6.( A A) A ( A ) ; ( AA ) ( A ) A ;
H H H H
7.A ( AH A) AH AH ( AAH ) ; 8.若U ,V是酉矩阵，则(UAV) V A U ;

O , B B O

11
例6
A 3. A O
1 4.

O, A O

A n n 1 j , 若 j 0 其中， j 0，若 j 0
H
19

第三节广义逆矩阵的应用
当线性方程组Ax b无解时，如何求最好的近似解，即求x使得 Ax - b 2 最小？
20
最小二乘解
定义：设A C
sn
, x0 C , 若
n
xC
b Ax 0 min b Ax n
则称x0是线性方程组Ax b的最小二乘解。
长度最小的最小二乘解称为极小最小二乘解。
21
定理4
是Ax b的最小二乘解是A Ax A b的解。
H H
22

6-1广义逆

I r I r O 例1 若 A ，则 A O O mn nm
，其中任意选取。
I r O I r O O mn
nm

I r I r O O O mn O
x1 1,0,0 , x2 0,1,0 , x3 0,0,1 .
T T T
令 V x1 , x2 , x3 V1 , V2 , 其中 V1 x1 , x2 , V2 x3 , 设 U AV 1 1 1
范数 Ax b 2 为最小，称 x为Ax b的最小二乘解。
定理3 设A是Amn的减号逆，且 ( AA ) H AA , 那么，
b C m , x Ab就是它的最小二乘解。
定义3 设A C mn , 如果存在 X C nm , 使得
H AXA A 且 AX） AX （
rankA r , 若 r 0, 则A是 m n 阶零矩阵，可以
n m阶零矩阵满足四个方程。
验证
设r 0,由满秩分解定理知，存B Crmr , C Crrn , 在使得A BC
令X C H (CC H ) 1 ( B H B) 1 B H
可以验证X满足广义逆矩阵方程
矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩
首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：
1 2 0 1 H 0 0 1 1, 0 0 0 0
1 2 A BC ，则 B 1 1 , 设A的满秩分解为 1 2
如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A=ImA，则A+的表达式为 H H 1

矩阵论学习-(矩阵广义逆)-1

左逆 , B 是 A 的一个左逆 , 记为 AL- 1 = B .同样 , 对于 A∈ Cm× n , 若存在 C∈ Cn× m , 使得
AC = Im , 则称 A 有右逆 , C 是 A 的一个右逆 , 记为 AR- 1 = C .
定理 1 .1 A∈ Cm × n (1 ) A 有左逆 r( A ) = n( 即 A 是列满秩 )
C - 1 BL- 1 A - 1 是 ABC 的一个左逆 .
(2 ) 若 B 是一个右可逆 , r( B) = m , r ( ABC) = r( B) = m , 故 ABC 是右可逆
的,且
C-
B 1 - 1 R
A-
1是
ABC
的一个右逆
.
例 4 .1－5 A∈ Rm × n 是一个行满秩矩阵 , 证明 A 有右逆为
( I + AL- 1 B - I) - 1 AL- 1 B =
( AL- 1 B) - 1 ( AL- 1 B) = In ,
即
[(
I+
C) -
1
AL- 1 ] B =
In , 故
B 的左逆为
BL-
1
=
(
I+
C) -
A 1 - 1 L
.
§4 .2 矩阵广义逆
[内容提要]
1 . Moore－Pe nrose 广义逆 A + 定义 2 .1 设 A∈ Cm × n , 若矩阵 G∈ Cn× m , 满足下面四个条件 :
(2 ) 求 A 的一般左逆 . r ( Am × n ) = n , 则存在 P , 使得
PA =
In 0
,
第四章矩阵广义逆
131