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2020年高考数学模拟分项模板汇编 (30)

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2024年9-10月新高考数学名校模拟大题汇编：立体几何(解析版)

2024年9-10月新高考数学名校模拟大题汇编：立体几何(解析版)

2024年9-10月新高考数学名校大题汇编：立体几何大题必备基础知识梳理【知识点一：空间向量及其加减运算】(1)空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a也可以记作AB ，其模记为a或AB .(2)零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A 与终点B 重合时，AB=0.模为1的向量称为单位向量.(3)相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a .(4)空间向量的加法和减法运算①OC=OA+OB=a +b ，BA=OA-OB=a -b．如图所示.②空间向量的加法运算满足交换律及结合律a +b =b +a ，a +b +c =a +b +c【知识点二：空间向量的数乘运算】(1)数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积λa 称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a方向相同；当λ<0时，向量λa 与向量a 方向相反.λa 的长度是a的长度的λ 倍.(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律λa +b =λa +λb ，λμa =λμ a .(3)共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a ⎳b.(4)共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b b ≠0，a ⎳b的充要条件是存在实数λ，使a =λb.(5)直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线．对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP =OA +ta ①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB =a ，则式①可化为OP =OA +tAB =OA +t OB -OA =1-t OA +tOB ②①和②都称为空间直线的向量表达式，当t =12，即点P 是线段AB 的中点时，OP =12OA +OB ，此式叫做线段AB 的中点公式.(6)共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA=a，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量.(7)共面向量定理如果两个向量a ，b不共线，那么向量p 与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x ,y ，使p =xa +yb.推论：①空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ，使AP =xAB +yAC；或对空间任意一点O ，有OP-OA=xAB+yAC，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.②已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP =xOA +yOB +zOC (其中x +y +z =1)的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.【知识点三：空间向量的数量积运算】(1)两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ,b ，通常规定0≤a ,b ≤π，如果a ,b =π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ．(2)数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则a b cos a ,b 叫做a ，b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b =a b cos a,b．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，a ⋅a =a 2．(3)空间向量的数量积满足的运算律：λa ⋅b =λa ⋅b ，a ⋅b =b ⋅a (交换律)；a ⋅b +c =a ⋅b +a ⋅c(分配律)．【知识点四：空间向量的坐标运算及应用】(1)设a =a 1,a 2,a 3 ，b=b 1,b 2,b 3 ，则a +b=a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3 ；a -b=a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3 ；λa=λa 1,λa 2,λa 3 ；a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；a ⎳b b ≠0⇒a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3；a ⊥b⇒a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0．(2)设A x 1,y 1,z 1 ，B x 2,y 2,z 2 ，则AB =OB -OA=x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1 ．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知a =a 1,a 2,a 3 ，b =b 1,b 2,b 3 ，则a =a 2=a 12+a 22+a 32；b =b2=b 12+b 22+b 32；a ⋅b=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；cos a ,b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32；②已知A x 1,y 1,z 1 ，B x 2,y 2,z 2 ，则AB=x 1-x 22+y 1-y 2 2+z 1-z 2 2，或者d A ,B =AB．其中d A ,B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．(4)向量a 在向量b 上的投影为a cos a ,b=a ⋅b b．【知识点五：法向量的求解与简单应用】(1)平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n ⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有m ⋅n =0．第一步：写出平面内两个不平行的向a=x 1，y 1，z 1 ，b=x 2，y 2，z 2 ；第二步：那么平面法向量n=x ， y ， z ，满足n ⋅a=0n ⋅b =0⇒xx 1+yy 1+zz 1=0xx 2+yy 2+zz 2=0．(2)判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b．若a ∥b，即a =λb，则a ∥b ；若a ⊥b，即a ⋅b=0，则a ⊥b ．②直线与平面的位置关系：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l ⊥α．若a ∥n ，即a =λn ，则l ⊥α；若a ⊥n ，即a ⋅n =0，则a ∥α．(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2．若n 1∥n 2，即n 1=λn 2，则α∥β；若n 1⊥n 2，即n 1⋅n 2=0，则α⊥β．【知识点六：空间角公式】(1)异面直线所成角公式：设a ，b分别为异面直线l 1，l 2上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos θ=cos a,b =a ⋅b a b．(2)线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin θ=cos a ,n=a ⋅na n．(3)二面角公式：设n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=n 1 ,n 2 或π-n 1 ,n 2(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos θ =n 1 ⋅n 2n 1 n 2．【知识点七：空间中的距离】求解空间中的距离(1)异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线a ，b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在a ，b 上任取A ，B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a ，b 的距离．则d =AB ⋅n |n |=|AB ⋅n ||n|即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．(2)点到平面的距离A 为平面α外一点(如图)，n为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|AH |=|AB |⋅sin θ=|AB |⋅|cos <AB ,n >|=|AB ||AB ⋅n |AB ⋅n =|AB ⋅n|nd =|AB ⋅n||n|【必考题型汇编】1.(湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考解析第16题)如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,BC ⎳AD ,EF ⎳AD ,AD =4,AB =2,BC =EF =2,AF =11,FB ⊥平面ABCD ,M 为AD 上一点,且FM ⊥AD ,连接BD 、BE 、BM .(1)证明:BC ⊥平面BFM ;(2)求平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:因为FB ⊥平面ABCD ,又AD ⊂平面ABCD ,所以FB ⊥AD .又FM ⊥AD ,且FB ∩FM =F ,所以AD ⊥平面BFM .因为BC ⎳AD ,所以BC ⊥平面BFM .(2)解析:作EN ⊥AD ,垂足为N ,则FM ⎳EN .又EF ⎳AD ,所以四边形FMNE 是平行四边形,又EN ⊥AD ,所以四边形FMNE 是矩形,又四边形ADEF 为等腰梯形,且AD =4,EF =2,所以AM =1.由(1)知AD ⊥平面BFM ,所以BM ⊥AD .又AB =2,所以BM =1.在Rt △AFM 中,FM =AF 2-AM 2=10.在Rt △FMB 中,∴FB =FM 2-BM 2=3.由上可知,能以BM 、BC 、BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则A -1,-1,0 ,B 0,0,0 ,F 0,0,3 ,D -1,3,0 ,E 0,2,3 ,所以,AB =1,1,0 ,BF =0,0,3 ,BD =-1,3,0 ,BE=0,2,3 ,设平面ABF 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ,由m ⋅AB=0m ⋅BF =0,得x 1+y 1=0z 1=0 ,可取m =1,-1,0 ;设平面BDE 的法向量为n=x 2,y 2,z 2 ,由n ⋅BD=0n ⋅BE =0,得-x 2+3y 2=0-2y 2+3z 2=0 ,可取n=9,3,2 .因此,cos ‹m ,n›=m ⋅n m ⋅n=9-31+1⋅81+9+4=34747.依题意可知,平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值为34747.2.(辽宁省沈阳市郊联体2024年高三上学期开学联考解析第17题)如图,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C ⊥侧面AA 1B 1B ,侧面BB 1C 1C 是矩形,侧面AA 1B 1B 是菱形,∠BAA 1=60°,AB =2BC =2,点E ,F ,G 分别为棱AA 1,A 1C ,BB 1的中点.(1)证明:FG ⎳平面ABC ;(2)求二面角A 1-B 1C -E 的余弦值.方法提供与解析:解析:(1)证明:因为点E ,F ,G 分别为棱AA 1,A 1C ,BB 1的中点,连接EF ,EG ,则EF ⎳AC ,EG ⎳AB ,又因为EF ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,所以EF ⎳平面ABC ,同理可得EG ⎳平面ABC ,因为EF ∩EG =E ,EF ⊂平面EFG ,EG ⊂平面EFG ,所以平面EFG ⎳平面ABC ,因为FG ⊂平面EFG ,所以FG ⎳平面ABC .(2)解:侧面BB 1C 1C 是矩形,所以BC ⊥BB 1,又因为平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ,平面BB 1C 1C ∩平面AA 1B 1B =BB 1,所以BC ⊥平面AA 1B 1B ,又BE ⊂平面AA 1B 1B ,因此BC ⊥BE .在菱形AA 1B 1B 中,∠BAA 1=60°,因此△AA 1B 是等边三角形,又E 是AA 1的中点,所以BE ⊥AA 1,从而得BE ⊥BB 1.如图,以B 为坐标原点,BE ,BB 1,BC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.因为AB =2BC =2,所以BE =AB sin60°=3,因此B 10,2,0 ,A 13,1,0 ,E 3,0,0 ,C 0,0,1 ,所以B 1C =0,-2,1 ,B 1E =3,-2,0 ,B 1A 1=3,-1,0 ,设平面EB 1C 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ,由m⊥B 1C,得-2y 1+z 1=0 ,令y 1=1,得m =23,1,2设平面A 1B 1C 的法向量为n=x 2,y 2,z 2 ,由n ⊥B 1Cn ⊥B 1A 1,得-2y 2+z 2=03x 2-y 2=0 ,令y 2=1,得n =33,1,2 ,cos ‹m ,n ›=m ⋅n m ⋅n =23+1+4193⋅163=171976,即二面角A 1-B 1C -E 的余弦值为171976.3.如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD ⎳BC ,BC =4,AB =AD =DC =AA 1=2,Q 为AD 的中点.(1)在A 1D 1上是否存在点P ,使直线CQ ⎳平面AC 1P ,若存在,请确定点P 的位置并给出证明,若不存在,请说明理由;(2)若(1)中点P 存在,求平面AC 1P 与平面ABB 1A 1所成的锐二面角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:(几何法)存在,证明如下:在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,因为平面ABCD ⎳平面A 1B 1C 1D 1,所以可在平面A 1B 1C 1D 1内作C 1P ⎳CQ ,由平面几何知识可证△C 1D 1P ≅△CDQ ,所以D 1P =DQ ,可知P 是A 1D 1中点,因为C 1P ⊂平面AC 1P ,所以CQ ⎳平面AC 1P .即存在线段A 1D 1的中点,满足题设条件.满足条件的点只有一个,证明如下:当CQ ⎳平面AC 1P 时,因为CQ ⎳平面A 1B 1C 1D 1,所以过C 1作平行于CQ 的直线既在平面A 1C 1P 内,也在平面A 1B 1C 1D 1内,而在平面A 1B 1C 1D 1内过C 1只能作一条直线C 1P ⎳CQ ,故满足条件的点P 只有唯一一个.所以,有且只有A 1D 1的中点为满足条件的点P ,使直线CQ ⎳平面AC 1P .(2)解析:(坐标法)过点D 作DF ⊥BC ,垂足为F ,又因为DD 1⊥平面ABCD ,以D 为坐标原点,分别以DA ,DF ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系D -xyz ,则A 2,0,0 ,P 1,0,2 ,C 1-1,3,2 ,A 12,0,2 ,B 3,3,0 ,P A =1,0,-2 ,PC 1 =-2,3,0 ,AB =1,3,0 ,AA 1=0,0,2设平面P AC 1的法向量为n=x ,y ,z ,则有n ⋅P A=0,n ⋅PC 1 =0,即x -2z =0,-2x +3y =0. 令x =23,得y =4,z =3,所以n=23,4,3 .设平面ABB 1A 1的法向量为m=x ,y ,z .则有AB ⋅m =0,AA 1 ⋅m =0,即x +3y =0,2z =0. 令x =3,得y =-1,z =0,所以m=3,-1,0 .所以cos n ,m =n ⋅m n m=6-4+0231=3131.故平面AC 1P 与平面ABB 1A 1所成的锐二面角的余弦值为3131.4.(福建泉州市2025届高中毕业班模拟检测(一)解析第16题)4:如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD =PC =CB =BA =12AD =2,AD ⎳CB ,∠CPD =∠ABC =90°,平面PCD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点.(1)求证:PD ⊥平面PCA ;(2)点Q 在棱P A 上,CQ 与平面PDC 所成角的正弦值为63,求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值.方法提供与解析:(1)解析:由题意:BC =AB =2,∠ABC =90°,AC =AB 2+BC 2=22同理CD =22,又AD =4,CD 2+AC 2=AD 2,CD ⊥AC .而CD =22=PD 2+PC 2,即PC ⊥PD ,又平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD =CD ,AC ⊂平面ABCD ,AC ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,PD ⊥AC ,又PC ⊥PD ,且PC ⊂面PCA ,AC ⊂面PCA ,PC ∩AC =C ,PD ⊥平面PCA .(2)解析:以C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C 0,0,0 ,A 0,22,0 ,D 22,0,0 ,P 2,0,2 ,所以CD =22,0,0 ,CP =2,0,2 ,P A=-2,22,-2 ,设PQ =λP A 0<λ<1 ,有CQ =CP +λP A=21-λ ,22λ,21-λ ,取面PCD 的一个法向量m =0,1,0 ,则cos CQ ,m =22λ41-λ 2+8λ2=63,λ=12,故CQ =22,2,22.令n=x ,y ,z 是平面CDQ 的一个法向量,则n ⋅CD =0n ⋅CQ =0,即22x =022x +2y +22z =0,令y =1,有n =0,1,-2 ,则cos ‹n ,m › =n ⋅m n m=55,故平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值为55.5.(长沙市雅礼中学2025届高三上学期(9月)综合自主测试解析第17题)5:如图(1),在△ABC 中,CD ⊥AB ,BD =2CD =2AD =4,点E 为AC 的中点.将△ACD 沿CD 折起到△PCD 的位置,使DE ⊥BC ,如图(2).图(1)图(2)(1)求证:PB ⊥PC ;(2)在线段BC 上是否存在点F ,使得CP ⊥DF ?若存在,求二面角P -DF -E 的余弦值;若不存在,说明理由。

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (20)

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (20)
模板十： 简单的线性规划问题
模板
构建
线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:
典型
例题
（2020·新疆维吾尔自治区高三三模）已知变量x，y满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
试题
解析
题后
反思
本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 转化为 （或 ），“ ”取下方，“ ”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
A． B． C． D．
4．（2020·湖南省高三三模）已知在关于x，y的不等式组 ，(其中 )所表示的平面区域内，存在点 ，满足 ，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
5．（2020·武汉外国语学校高三三模）已知实数 满足 ，则 的最小值为( )
A． B．1C．2D．3
6．（2020·陕西省榆林中学高三三模）设实数 ， 满足不等式 ，当 时取得最小值时，直线 与以 为圆心的圆相切，则圆的面积为________．
针对训练*举一反三
1．（2020·浙江省高三二模）若实数x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2020·江西省高三三模）若点 在不等式组 表示的平面区域内，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（2020·湖南省长郡中学高三三模）已知实数 满足约束条件 ，其中 ，若 的最大值为40，则 （）

2023年高考数学试题分项版——统计概率(原卷版)

2023年高考数学试题分项版——统计概率(原卷版)

2023年高考数学试题分项版——统计概率（原卷版）一、选择题1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷，9)有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差2．(2023·新高考Ⅱ卷，3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A.4515400200C C ⋅种 B.2040400200C C ⋅种C .3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种3．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷，12)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4．(2023·全国甲卷理，6)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.15．(2023·全国甲卷理，9)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.306．(2023·全国甲卷文，4)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.237．(2023·全国乙卷理，5)设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.128．(2023·全国乙卷理，7)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种9．(2023·全国乙卷文，7)设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16 C.14D.1210．(2023·全国乙卷文，9)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1311．(2023·北京卷，5)512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40D.8012．(2023·天津卷，7)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．2．(2023·天津卷，11)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．3．(2023·天津卷，13)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2．(2023·新高考Ⅱ卷，19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．3．(2023·全国甲卷理，19)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：<mm≥对照组实验组（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k0.100.050.010()2P k k≥ 2.706 3.841 6.6354.(2023·全国甲卷文，19)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.6355．(2023·全国乙卷理，17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，i y （1,2,10i =⋅⋅⋅），试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-= ，记1z ，2z ，…，10z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.6．(2023·全国乙卷文，17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z，2s；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）7．(2023·北京卷，18)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20-++0---++0+0--+-+00+天第21天到第400++0---++0+0+---+0-+天用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）。

广东省2023年高考数学模拟(一模)试题按题型难易度分层分类汇编(11套)-01选择题(容易题)

广东省2023年高考数学模拟(一模)试题按题型难易度分层分类汇编(11套)-01选择题(容易题)

广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（容易题）一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2023•惠州一模）设集合M＝{x∈Z|100＜2x＜1000}，则M的元素个数为（ ）A．3B．4C．9D．无穷多个二．子集与真子集（共1小题）2．（2023•广州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（ ）A．3B．4C．8D．16三．交集及其运算（共2小题）3．（2023•高州市一模）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}，则A∩B＝（ ）A．{1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣，1} 4．（2023•茂名一模）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1}D．{0}四．补集及其运算（共1小题）5．（2023•汕头一模）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁U A＝（ ）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{2}D．{1，﹣2，3}五．全称命题的否定（共1小题）6．（2023•江门一模）命题“∀x∈Q，x2﹣5≠0”的否定为（ ）A．∃x∉Q，x2﹣5＝0B．∀x∈Q，x2﹣5＝0C．∀x∉Q，x2﹣5＝0D．∃x∈Q，x2﹣5＝0六．抽象函数及其应用（共1小题）7．（2023•高州市一模）已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，函数g（x）＝的图象与f（x）的图象有4个公共点P i（x i，y i）（i＝1，2，3，4），且x1＜x2＜x3＜x4，则g （x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝（ ）A．2B．3C．4D．5七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）八．等差数列的前n项和（共1小题）9．（2023•江门一模）已知等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，公差d＜0，，则使得S n＞0的最大整数n为（ ）A．9B．10C．17D．18九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）10．（2023•汕头一模）已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．若＜，＞＝＜，＞，则实数k＝（ ）A．B．﹣3C．﹣D．3一十．平面向量的基本定理（共1小题）11．（2023•茂名一模）在△ABC中，，，若点M满足，则＝（ ）A．B．C．D．一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）12．（2023•茂名一模）复平面内表示复数z＝i（2﹣3i）的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．（2023•佛山一模）设复数z满足（1+i）2z＝5﹣2i，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限一十二．复数的运算（共3小题）14．（2023•惠州一模）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i 15．（2023•湛江一模）已知i为虚数单位，若＝i，则实数b＝（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 16．（2023•江门一模）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝|1+i|，则z＝（ ）A．+i B．﹣i C．D．i一十三．共轭复数（共2小题）17．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则＝（ ）A．B．C．D．18．（2023•高州市一模）已知复数z＝，则||＝（ ）A．B．C．D．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）19．（2023•惠州一模）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB ⊥AC．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（ ）A．3B．4C．D．6一十五．二项式定理（共2小题）20．（2023•惠州一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）A．B．C．D．21．（2023•江门一模）已知多项式，则a7＝（ ）A．﹣960B．960C．﹣480D．480广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-01选择题（容易题）参考答案与试题解析一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2023•惠州一模）设集合M＝{x∈Z|100＜2x＜1000}，则M的元素个数为（ ）A．3B．4C．9D．无穷多个【答案】A【解答】解：由函数y＝2x在R上单调递增，及26＝64，27＝128，29＝512，210＝1024，可得M＝{7，8，9}，则其元素个数为3．故选：A．二．子集与真子集（共1小题）2．（2023•广州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（ ）A．3B．4C．8D．16【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．三．交集及其运算（共2小题）3．（2023•高州市一模）已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}，则A∩B＝（ ）A．{1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣，1}【答案】B【解答】解：集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|3x2+2x﹣1＝0}＝{﹣1，}，则A∩B＝{}．故选：B．4．（2023•茂名一模）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1}D．{0}【答案】D【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}，则A∩B＝{0}．故选：D．四．补集及其运算（共1小题）5．（2023•汕头一模）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈U||x﹣2|≥1}，则∁U A＝（ ）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{2}D．{1，﹣2，3}【答案】C【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈U|x≤1或x≥3}＝{0，1，3，4}，∴∁U A＝{2}．故选：C．五．全称命题的否定（共1小题）6．（2023•江门一模）命题“∀x∈Q，x2﹣5≠0”的否定为（ ）A．∃x∉Q，x2﹣5＝0B．∀x∈Q，x2﹣5＝0C．∀x∉Q，x2﹣5＝0D．∃x∈Q，x2﹣5＝0【答案】D【解答】解：原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2﹣5＝0”．故选：D．六．抽象函数及其应用（共1小题）7．（2023•高州市一模）已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，函数g（x）＝的图象与f（x）的图象有4个公共点P i（x i，y i）（i＝1，2，3，4），且x1＜x2＜x3＜x4，则g （x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：根据题意，函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数，则函数y＝f（x）关于点（1，2）对称，函数g（x）＝＝+2，其图象也关于点（1，2）对称，则有x1+x2+x3+x4＝4，y1+y2+y3+y4＝8，则g（x1+x2+x3+x4）g（y1+y2+y3+y4）＝g（4）g（8）＝×＝5，故选：D．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•广东一模）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【答案】D【解答】解：根据函数f（x）的图象，可得f（x）在R上单调递增，若f（a）＜f（6﹣a），则有a＜6﹣a，∴2a＜6，∴a＜3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：D．八．等差数列的前n项和（共1小题）9．（2023•江门一模）已知等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，公差d＜0，，则使得S n＞0的最大整数n为（ ）A．9B．10C．17D．18【答案】C【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，公差d＜0，必有a10＜a9，又由，必有a10＜0＜a9，同时有a10＜﹣a9，变形可得a9+a10＜0，则有S17＝＝17a9＞0，S18＝＝9（a9+a10）＜0，故使得S n＞0的最大整数n为17；故选：C．九．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）10．（2023•汕头一模）已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．若＜，＞＝＜，＞，则实数k＝（ ）A．B．﹣3C．﹣D．3【答案】B【解答】解：已知向量＝（1，），（﹣1，0），＝（，k）．又＜，＞＝＜，＞，则，则，即k＝﹣3，故选：B．一十．平面向量的基本定理（共1小题）11．（2023•茂名一模）在△ABC中，，，若点M满足，则＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：，，则＝＝＝．故选：A．一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）12．（2023•茂名一模）复平面内表示复数z＝i（2﹣3i）的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：∵z＝i（2﹣3i）＝2i﹣3i2＝3+2i，∴z所对应的点的坐标为（3，2），∴复平面内z所对应的点位于第一象限．故选：A．13．（2023•佛山一模）设复数z满足（1+i）2z＝5﹣2i，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解答】解：∵（1+i）2z＝5﹣2i，∴2i•z＝5﹣2i，∴，∴z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．一十二．复数的运算（共3小题）14．（2023•惠州一模）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i【答案】A【解答】解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|＝，得z＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．15．（2023•湛江一模）已知i为虚数单位，若＝i，则实数b＝（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】A【解答】解：由，得，所以b＝1．故选：A．16．（2023•江门一模）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝|1+i|，则z＝（ ）A．+i B．﹣i C．D．i【答案】A【解答】解：由（1﹣i）z＝|1+i|＝，得z＝，故选：A．一十三．共轭复数（共2小题）17．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：z＝3﹣4i，则，，故＝．故选：A．18．（2023•高州市一模）已知复数z＝，则||＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：复数z＝，则＝＝．故选：A．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）19．（2023•惠州一模）如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB ⊥AC．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C（如图2），则容器的高h为（ ）A．3B．4C．D．6【答案】A【解答】解：在图1中，在图2中，，∴，∴h＝3．故选：A．一十五．二项式定理（共2小题）20．（2023•惠州一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故n＝6，展开式的通项，当r是偶数时该项为有理项，∴r＝0，2，4，6有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．故选：A．21．（2023•江门一模）已知多项式，则a7＝（ ）A．﹣960B．960C．﹣480D．480【答案】A【解答】解：因为（x﹣1）10＝（﹣2+x+1）10，所以第8项为，所以．故选：A．。

北京市2020-2024年高考真题汇编(数学)PDF版含答案

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北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试真题汇编数学目录北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案说明：本套资源为北京市2020-2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷的汇编，即北京市2020-2024年数学高考真题的汇编，含2020年，2021年，2022年，2023年，2024年数学高考真题各一套，共五套，附有参考答案，可供北京市高三学生总复习时参考。

北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = （）．A.{1,0,1}- B.{0,1}C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A.12i+ B.2i-+ C.12i- D.2i--3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A.5-B.5C.10- D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A.6B.6+C.12+D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.76.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A.(1,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(0,1)D.(,0)(1,)-∞⋃+∞7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．12.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19.已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列，给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.北京市2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1) D.[0,1]2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i +B.2i -C.1i -D.1i +3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.25.双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213x y -= B.2213y x -=C.2213x -=D.2213y -=6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.5127.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．11.341(x x-展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．19.已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．北京市2022年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]-B.(3,2)[1,3)--C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+= B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40-D.41-9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()1f x x x=+-的定义域是_________．12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．13.若函数()sin 3cos f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．15.己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．20.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．北京市2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}xx -≤<∣ B.{21}xx -<≤∣C.{2}x x ≥-∣D.{1}xx <∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-+D.1-3.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0 D.14.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=-D.|1|()3x f x -=5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40 D.806.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A.7B.6C.5D.47.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15.设0a >，函数222,,(),,1,.x x a f x a x a x a x x a +<-⎧=--≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天++---++++---+-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．北京市2024年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i- C.1i-- D.13.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A. B.2C. D.4.(4x -的二项展开式中3x 的系数为（）A.15B.6C.4- D.13-5.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（）A.12n n <B.12n n >C.若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D.若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）A.2B.2C. D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（）A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,|(),01,12x y y x t xx t x =+-≤≤≤≤表示的图形中，两点间最大距离为d 、面积为S ，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知抛物线216y x =，则焦点坐标为________．12.已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．13.已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm ，第二、三个圆柱的直径为325mm ，第三个圆柱的高为230mm ，求前两个圆柱的高度分别为________．15.已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在△ABC 中，7a =，A 为钝角，3sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17.已知四棱锥P -ABCD ，//AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥．（1）若F 是PE 中点，证明：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PED ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．19.已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．（1）求椭圆方程和离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t ．20.已知()()ln 1f x x k x =++在()()(),0t f t t >处切线为l ．（1）若切线l 的斜率1k =-，求()f x 单调区间；（2）证明：切线l 不经过()0,0；（3）已知1k =，()(),A t f t ，()()0,C f t ，()0,0O ，其中0t >，切线l 与y 轴交于点B时．当215ACO ABO S S =△△，符合条件的A 的个数为？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω．若1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．参考答案北京市2020年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案一、选择题【答案】1.D 【解析】【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选：D.【答案】2.B 【解析】【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【答案】3.C 【解析】【详解】)52-展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C.【答案】4.D 【解析】【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭.故选：D.【答案】5.A 【解析】【详解】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【答案】6.D 【解析】【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【答案】8.B 【解析】【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< ，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=.故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .故选：B.【答案】9.C 【解析】【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.【答案】10.A 【解析】【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题【答案】11.(0,)+∞【解析】【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【答案】12.()3,0【解析】【详解】在双曲线C中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【答案】；1-【解析】【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.；1-.【答案】14.2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【答案】15.①②③【解析】【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③三、解答题【答案】16.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE = ，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.【答案】17.选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）213cos (0,)sin 1cos 77A A A A π=-∈∴=-=，由正弦定理得：873sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)83222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=【答案】18.（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1()(13433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【答案】19.（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==.【答案】20.（Ⅰ）设椭圆方程为：()222210x y a b a b +=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++，令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到：()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.【答案】21.【详解】（Ⅰ）{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①；（Ⅱ）{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；（Ⅲ）【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23k la a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*）由②得：存在s t >，满足：21s sk ss t ta a a a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a q a q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，。

历年(2019-2023)全国高考数学真题分项(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2019-2023)全国高考数学真题分项(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（集合与常用逻辑用语）汇编考点一 元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知{1P =，2}，{2Q =，3}，若{|M x x P =∈，}x Q ∉，则(M = ) A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1，2，3}考点二 集合的包含关系判断及应用2．（2023•新高考Ⅱ）设集合{0A =，}a -，{1B =，2a -，22}a -，若A B ⊆，则(a = ) A ．2B ．1C ．23D ．1-3．（2021•上海）已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．R RA B ⊆痧C ．A B =∅D ．A B R=考点三 并集及其运算4．（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = ) A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}5．（2020•山东）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则(A B = ) A ．{|23}x x <…B ．{|23}x x 剟C ．{|14}x x <…D ．{|14}x x <<考点四 交集及其运算6．（2023•新高考Ⅰ）已知集合{2M =-，1-，0，1，2}，2{|60}N x x x =--…，则(M N = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{0，1，2}C ．{2}-D ．{2}7．（2022•上海）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{1}-8．（2022•新高考Ⅰ）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则(M N = ) A ．{|02}x x <…B ．1{|2}3x x <…C ．{|316}x x <…D ．1{|16}3x x <…9．（2022•新高考Ⅱ）已知集合{1A =-，1，2，4}，{||1|1}B x x =-…，则(A B = ) A ．{1-，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{1-，4}10．（2021•新高考Ⅰ）设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = ) A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}11．（2021•浙江）设集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，则(A B = ) A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x …C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x <…12．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = ) A ．{|12}x x <…B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <…D ．{|14}x x <<13．（2021•上海）已知{|21}A x x =…，{1B =-，0，1}，则A B = ．14．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 15．（2019•上海）已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ．考点五 交、并、补集的混合运算16．（2021•新高考Ⅱ）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则 (U A B = ð )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}17．（2019•浙江）已知全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B = ð )A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}考点六 命题的真假判断与应用18．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素考点七 充分条件与必要条件19．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件20．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2019•浙江）若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件参考答案考点一 元素与集合关系的判断1．（2023•上海）已知{1P =，2}，{2Q =，3}，若{|M x x P =∈，}x Q ∉，则(M = ) A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1，2，3}【详细解析】{1P = ，2}，{2Q =，3}，{|M x x P =∈，}x Q ∉， {1}M ∴=． 故选：A ．考点二 集合的包含关系判断及应用2．（2023•新高考Ⅱ）设集合{0A =，}a -，{1B =，2a -，22}a -，若A B ⊆，则(a = ) A ．2B ．1C ．23D ．1-【详细解析】依题意，20a -=或220a -=，当20a -=时，解得2a =，此时{0A =，2}-，{1B =，0，2}，不符合题意； 当220a -=时，解得1a =，此时{0A =，1}-，{1B =，1-，0}，符合题意． 故选：B ．3．（2021•上海）已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．R RA B ⊆痧C ．A B =∅D ．A B R =【详细解析】已知集合{|1A x x =>-，}x R ∈，2{|20B x x x =--…，}x R ∈， 解得{|2B x x =…或1x -…，}x R ∈，{|1R A x x =-…ð，}x R ∈，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R = ，{|2}A B x x = …， 故选：D ．考点三 并集及其运算4．（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = ) A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}【详细解析】{1A = ，2}，{2B =，4，6}， {1A B ∴= ，2，4，6}，故选：D ．5．（2020•山东）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则(A B = ) A ．{|23}x x <…B ．{|23}x x 剟C ．{|14}x x <…D ．{|14}x x <<【详细解析】 集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<， {|14}A B x x ∴=< …．故选：C ．考点四 交集及其运算6．（2023•新高考Ⅰ）已知集合{2M =-，1-，0，1，2}，2{|60}N x x x =--…，则(M N = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{0，1，2}C ．{2}-D ．{2}【详细解析】260x x -- …，(3)(2)0x x ∴-+…，3x ∴…或2x -…， (N =-∞，2][3- ，)+∞，则{2}M N =- ． 故选：C ．7．（2022•上海）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = ) A ．{2-，1-，0，1} B ．{1-，0，1} C ．{1-，0} D ．{1}-【详细解析】[1A =- ，2)，B Z =， {1A B ∴=- ，0，1}，故选：B ．8．（2022•新高考Ⅰ）若集合{4}M x =<，{|31}N x x =…，则(M N = ) A ．{|02}x x <…B ．1{|2}3x x <…C ．{|316}x x <…D ．1{|16}3x x <…4<，得016x <…，{4}{|016}M x x x ∴=<=<…， 由31x …，得13x …，1{|31}{|}3N x x x x ∴==厖，11{|016}{|}{|16}33M N x x x xx x ∴=<=< 剠?． 故选：D ．9．（2022•新高考Ⅱ）已知集合{1A =-，1，2，4}，{||1|1}B x x =-…，则(A B = ) A ．{1-，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{1-，4}【详细解析】|1|1x -…，解得：02x 剟， ∴集合{|02}B x x =剟{1A B ∴= ，2}．故选：B ．10．（2021•新高考Ⅰ）设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = ) A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}【详细解析】 集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}， {2A B ∴= ，3}．故选：C ．11．（2021•浙江）设集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，则(A B = ) A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x …C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x <…【详细解析】因为集合{|1}A x x =…，{|12}B x x =-<<，所以{|12}A B x x =< …． 故选：D ．12．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = ) A ．{|12}x x <…B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <…D ．{|14}x x <<【详细解析】集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<， 则{|23}P Q x x =<< ． 故选：B ．13．（2021•上海）已知{|21}A x x =…，{1B =-，0，1}，则A B = ． 【详细解析】因为1{|21}{|}2A x x x x ==剟，{1B =-，0，1}， 所以{1A B =- ，0}． 故答案为：{1-，0}．14．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 【详细解析】因为{1A =，2，4}，{2B =，4，5}， 则{2A B = ，4}． 故答案为：{2，4}．15．（2019•上海）已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ． 【详细解析】根据交集的概念可得(2,3)A B = ． 故答案为：(2,3)．考点五 交、并、补集的混合运算16．（2021•新高考Ⅱ）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则(U A B = ð ) A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}【详细解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1U B =ð，5，6}， 故{1U A B = ð，6}． 故选：B ．17．（2019•浙江）已知全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B = ð)A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}【详细解析】{1U A =- ð，3}，()U A B ∴ ð{1=-，3}{1-⋂，0，1}{1}=- 故选：A ．考点六 命题的真假判断与应用18．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【详细解析】取：{1S =，2，4}，则{2T =，4，8}，{1S T = ，2，4，8}，4个元素，排除C ． {2S =，4，8}，则{8T =，16，32}，{2S T = ，4，8，16，32}，5个元素，排除D ；{2S =，4，8，16}则{8T =，16，32，64，128}，{2S T = ，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B ； 故选：A ．考点七 充分条件与必要条件19．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【详细解析】对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时， 当0a >时，此时x a x +>， 又因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时， 所以()()f x f x f <+（a ）， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==， 又因为()f x 单调递增， 所以()()f x a f x +<， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题2p ⇒命题p ， 所以1q ，2q 都是p 的充分条件， 故选：C ．20．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【详细解析】空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“m ，n ，l 两两相交”，则“m ，n ，l 在同一平面”成立． 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件， 故选：B ．21．（2019•浙江）若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【详细解析】0a > ，0b >，4a b ∴+厖，2∴4ab ∴…，即44a b ab +⇒剟，若4a =，14b =，则14ab =…， 但1444a b +=+>， 即4ab …推不出4a b +…，4a b ∴+…是4ab …的充分不必要条件故选：A ．22．（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【详细解析】22a b > 等价，22||||a b >，得“||||a b >”， ∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．。

2024年高考数学模拟题汇编：方差附答案解析

2024年高考数学模拟题汇编：方差附答案解析

2024年高考数学模拟题汇编：方差一．选择题（共12小题）1．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和标准差分别是（）A．7，4B．7，16C．6，4D．6，162．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A．极差不变B．平均数不变C．方差不变D．上四分位数不变3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E（XY）﹣E（X）E（Y），已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov（X，Y）的值为（）X12P p1﹣pY12P1﹣p pA．0B．1C．2D．44．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5：3，则单位职工体重的方差为（）A．166B．167C．168D．1695．有一组样本数据：x1，x2，…，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1，x2，…，x8，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数B．中位数C．方差D．极差6．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X=1(当取到白球时)0(当取到红球时)，则X的方差D（X）等于（）A．21100B．750C．110D．3107．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为12，22，则（）A．1＞2，12＞22B．1＞2，12＜22C．1＜2，12＜22D．1＜2，12＞228．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A．5B．4.5C．3.5D．189．已知样本数据x1，x2，…，x n的平均数为、方差为s2，若样本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的平均数为4o＞0)，方差为4s2，则=（）A．14B．−512C．56D．5210．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i（i＝1，2，3，4，5），平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i（i＝1，2，3，4），平均数为，下面说法正确的是（）A．新数据的极差不可能等于原数据的极差B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C．若=，则新数据的方差不可能等于原数据方差D．若=，则新数据的第60百分位数可能等于原数据的第60百分位数11．已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm），方差为26，若增加一名身高172（单位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）A．32.4B．32.8C．31.4D．31.812．为提升学生的身体素质，某校进行50米短跑训练，下面是甲、乙两名学生6次50米短跑训练的测试成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B．甲成绩的众数小于乙成绩的众数C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差二．多选题（共7小题）（多选）13．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数＞0，则（）A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于（多选）14．下列说法正确的是（）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（75%分位数）为7B．样本数据x i与样本数据y1满足y i＝x i+1（i＝1，2，…，n），则两组样本数据的方差相同C．若随机事件A，B满足：P（A|B）+P（）＝1，则A，B相互独立D．若ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）为偶函数，则μ＝0（多选）15．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A．～o4，23)B．o=2)=827C．X的期望op=83D．X的方差op=89（多选）16．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，10），其中x i（i＝1，2，3，⋯，10）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤⋯≤x10，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x8B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D．若样本数据的方差2=110J110 2−4，则这组样本数据的平均数等于2（多选）17．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，30）满足0＜x1≤x2≤x3≤⋯≤x30，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x24B．样本数据的方差2=130J130 2−16，则这组样本数据的总和等于120C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数（多选）18．下列命题为真命题的是（）A．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x6﹣1的方差为17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则c，k的值分别是e0.4和2（多选）19．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大B．在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位C．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的标准差为3D．在回归分析中，决定系数R2是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中R2＝0.85，则说明该模型的拟合效果较好三．填空题（共3小题）20．已知x和y之间的一组数据如下表，y与x线性相关，且回归方程为=x+0.25，m为x的方差的1.2倍，则当x＝8时，y＝．x0123y m m+252m+321．已知样本9，10，11，x，y的平均数为10，则该样本方差的最小值为．22．若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为185，则a1，a2，a3，a4，a5，9这6个数的平均数为，方差为．四．解答题（共1小题）23．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P （|x﹣μ|≥ε）≤22成立．（i）若X～o100，12)，证明：P（0≤X≤25）≤150；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）2024年高考数学模拟题汇编：方差参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和标准差分别是（）A．7，4B．7，16C．6，4D．6，16解：由题意可知，数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数为2×3+1＝7，方差为22×4＝16，所以数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的标准差为4．故选：A．2．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A．极差不变B．平均数不变C．方差不变D．上四分位数不变解：将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其极差为33，平均数是（12+16+22+24+25+31+33+35+45）÷9＝27，方差是19×[(−15)2+(−11)2+(−5)2+(−3)2+(−2)2+42+62+82+ 182]=8249，因为25%×9＝2.25，所以原数据的上四分位数是第3个数22，将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其极差为19，平均数是（16+22+24+25+31+33+35）÷7=1867，方差是17×[(−747)2+(−327)2+(−187)2+(−117)2+(317)2+(457)2+ (597)2]=191649，因为25%×7＝1.75，得新数据的上四分位数是第2个数22，故上四分位数不变，极差、平均数与方差改变，故D正确，A、B，C错误．故选：D．3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E（XY）﹣E（X）E（Y），已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov（X，Y）的值为（）X12P p1﹣pY12P1﹣p pA．0B．1C．2D．4解：XY的分布列为XY124P p（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）E（XY）＝1×p（1﹣p）+2×[p2+（1﹣p）2]+4×p（1﹣p）＝﹣p2+p+2，E（X）＝2﹣p，E（Y）＝p+1，Cov（X，Y）＝﹣p2+p+2﹣（2﹣p）（1+p）＝0．故选：A．4．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5：3，则单位职工体重的方差为（）A．166B．167C．168D．169解：由题意可知，单位职工体重的平均数为=58×64+38×56=61（千克），所以单位职工体重的方差为s2=58×[151+（64﹣61）2]+38×[159+（56﹣61）2]＝169．故选：D．5．有一组样本数据：x1，x2，…，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1，x2，…，x8，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数B．中位数C．方差D．极差解：对于A，举例一组数据：1，1，1，2，2，3，3，3，满足平均数为2，众数是1和3，增加数据2后，众数为1，2，3，故A错误；对于B，举例一组数据：1，1，1，1，2.4，2.6，3，4，满足平均数为2，中位数为1+2.42=1.7，增加数据2后，中位数变成了1+22=1.5，故B错误；对于C，举一组数据：1，2，2，2，2，2，2，2，3，满足平均数为2，其方差为18[（1﹣2）2+6×（2﹣2）2+（3﹣2）2]=14，增加一个数据2后，平均数不变，还是2，则方差变为：19[（1﹣2）2+7×（2﹣2）2+（3﹣2）2]=29，故C错误；对于D，根据平均数的概念知（x i）min≤≤（x i）max，当所在数据均相等时，取等号，则增加一个数据2，极差不变，故D正确．故选：D．6．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X=1(当取到白球时)0(当取到红球时)，则X的方差D（X）等于（）A．21100B．750C．110D．310解：由题意得o=0)=710，o=1)=310，所以op=0×710+1×310=310，所以op=710×(0−310)2+310×(1−310)2=21100．故选：A．7．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为12，22，则（）A．1＞2，12＞22B．1＞2，12＜22C．1＜2，12＜22D ．1＜2，12＞22解：对于A 部门，因为0.2+0.7＞0.75，所以n 1＝4，对于B 部门，因为0.1+0.2+0.4＜0.75，所以n 2＝5，所以n 1＜n 2，由频率分布条形图可知，A 部门满意度更集中，所以12＜22．故选：C ．8．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A ．5B ．4.5C ．3.5D ．18解：设红队的得分数据分别为x 1，x 2，…，x 6，黄队的得分数据分别为x 7，x 8，…，x 12，则红队数据的平均数为16J16=3，可得J16 =18，方差为16J16(−3)2=5，可得J16(−3)2 =30．黄队数据的平均数为16J712 =5，可得J712 =30，方差为16J712 (−5)2=3，可得J712 (−5)2=18．两组数据混合后，新数据的平均数为112J112 =18+3012=4，方差为112[J16(−4)2+J712(−4)2]=112[J16(−3−1)2+J712(−5+1)2]=112[J16 (−3)2+J712 (−5)2−2J16 (−3)+2J712 (−5)+12]=112×[30+18﹣2×（3﹣3）×6+2×（5﹣5）×6+12]＝5．故选：A ．9．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为、方差为s 2，若样本数据ax 1+5，ax 2+5，…，ax n +5的平均数为4o ＞0)，方差为4s 2，则=（）A．14B．−512C．56D．52解：由方差的性质可得，样本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的方差为a2s2，所以a2s2＝4s2，解得a＝±2，又因为a＞0，所以a＝2，由平均数的性质可得，本数据ax1+5，ax2+5，…，ax n+5的平均数为a+5，所以a+5＝4，即2+5＝4，解得=52．故选：D．10．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i（i＝1，2，3，4，5），平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i（i＝1，2，3，4），平均数为，下面说法正确的是（）A．新数据的极差不可能等于原数据的极差B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C．若=，则新数据的方差不可能等于原数据方差D．若=，则新数据的第60百分位数可能等于原数据的第60百分位数解：根据题意，依次分析选项：对于A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A错误；对于B，不妨假设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，当x2+x4＝2x3时，若随机删去的成绩恰好是x3，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B错误；对于C，若=，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，根据方差的计算公式，在公式中分子不变，分母变小，所以方差会变大，即新数据的方差一定大于原数据的方差，C 正确；对于D，不妨假设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，第60百分位数为12（x3+x4），不在原来的5个数据中，若=，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为x2、x3、x4中的一个，删除后数据的第60百分位数在数据中，故新数据的第60百分位数不可能等于原数据的第60百分位数，D错误．故选：C．11．已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm），方差为26，若增加一名身高172（单位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8解：根据题意，设原来9名女生的身高依次为x1、x2、……x9，其平均数=19（x1+x2+……+x9）＝162，则有x1+x2+……+x9＝162×9＝1458，其方差为26，则S2=19（12+22+⋯⋯+92）﹣1622＝26，变形可得12+22+⋯⋯+92=9×（26+1622），若增加一名身高172的女生，则新数据的平均数′=110（x1+x2+……+x9+172）=110（1458+172）＝163，则新数据的方差S′2=110（12+22+⋯⋯+92+1722）﹣1632=110[（9×（26+1622）+1722]﹣1632＝32.4．故选：A．12．为提升学生的身体素质，某校进行50米短跑训练，下面是甲、乙两名学生6次50米短跑训练的测试成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B．甲成绩的众数小于乙成绩的众数C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差解：对于A，甲成绩的平均数为甲=16(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6，乙成绩的平均数为乙=1(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6，所以甲=乙，故A正确；对于B，甲成绩的众数为8.9秒，乙成绩的众数为8.6秒，故B错误；对于C，甲成绩的极差为9.3﹣7.0＝2.3秒，乙成绩的极差为9.1﹣8.1＝1.0秒，故C错误；对于D，甲成绩的波动性大，相对于甲的平均值比较分散，而乙成绩波动小，相对于乙的平均值比较集中，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，故D错误．故选：A．二．多选题（共7小题）（多选）13．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数＞0，则（）A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于解：对于A，由方差的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为32×s2＝9s2，故A正确；对于B，由平均数的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3−2，因为＞0，所以3−2的正负无法判断，故B错误；对于C，因为x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0，所以x1是这组数据中最小的数，去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C错误；对于D，数据x2，x3，x4，x5的平均数为2+3+4+54=5K14=+K14，因为x1＜0，＞0，所以K14＞0，所以+K14＞，即数据x2，x3，x4，x5的平均数大于，故D正确．故选：AD．（多选）14．下列说法正确的是（）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（75%分位数）为7B．样本数据x i与样本数据y1满足y i＝x i+1（i＝1，2，…，n），则两组样本数据的方差相同C．若随机事件A，B满足：P（A|B）+P（）＝1，则A，B相互独立D．若ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）为偶函数，则μ＝0解：对于A，将数据从小到大排列为2，3，4，5，6，7，8，9，因为8×75%＝6，所以上四分位数（75%分位数）为7+82=7.5，故A错误；对于B，设样本数据x i的方差为s2，因为y i＝x i+1，所以由方差的性质可得样本数据y i的方差为12×s2＝s2，所以两组样本数据的方差相同，故B正确；对于C，因为P（A|B）+P（）＝1，所以P（A|B）＝1﹣P（）＝P（A），即oB)op=P（A），所以P（AB）＝P（A）P（B），所以A，B不相互独立，故C正确；对于D，因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即P（﹣x≤ξ≤﹣x+2）＝P（x≤ξ≤x+2），所以区间[﹣x，﹣x+2]与区间[x，x+2]关于x＝μ对称，所以μ=−rr22=1，故D错误．故选：BC．（多选）15．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A．～o4，23)B．o=2)=827C．X的期望op=83D．X的方差op=89解：从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记（1分），故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为23，因为是有放回地取4次球，所以∼o4，23)，故A正确；o=2)=42×(23)2×(1−23)2=827，故B正确；根据二项分布期望公式得op=4×23=83，故C正确；根据二项分布方差公式得op=4×23×13=89，故D正确．故选：ABCD．（多选）16．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，10），其中x i（i＝1，2，3，⋯，10）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤⋯≤x10，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x8B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D．若样本数据的方差2=110J110 2−4，则这组样本数据的平均数等于2解：对于A，∵80%×10＝8，∴样本数据的第80百分位数为8+92，故A错误；对于B，若去掉的是中间的数据，则极差不会受影响，故B正确；对于C，由对称性知若平均数等于中位数，则两边对称；而图不对称，且右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故C正确；对于D，2=110J110 (−p2=110J110 2−2，样本数据的方差2=110J110 2−4，则=2，故这组样本数据的平均数等于2，故D正确．故选：BCD．（多选）17．已知一组样本数据x i（i＝1，2，3，⋯，30）满足0＜x1≤x2≤x3≤⋯≤x30，下列说法正确的是（）A．样本数据的第80百分位数为x24B．样本数据的方差2=130J130 2−16，则这组样本数据的总和等于120C．若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数解：对于A中，由30×80%＝24，可得第80百分位数为24+252，所以A错误；对于B中，由2=130J130 2−16=130J130 (−p2，则J130 2−480=J130 2−302，所以=4，故这组样本数据的总和等于30=120，所以B正确；对于C中，去掉等平均数的数据，n变为n﹣1，平方和不变，分母变小，所以方差变大，所以C错误；对于D中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D正确．故选：BD．（多选）18．下列命题为真命题的是（）A．若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x6﹣1的方差为17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则c，k的值分别是e0.4和2解：样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x2﹣1的方差为32×2＝18，故A错误；数据8，9，10，11，12，共5个，5×80%＝4，故该数据的第80百分位数是11+122=11.5，故B正确；由决定系数的定义可知，R2越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；y＝ce kx，则lny＝lnc+lne kx＝lnc+kx，z＝lny，求得线性回归方程为z＝2x+0.4，则lnc＝0.4，k＝2，故c＝e0.4，k＝2，故D正确．故选：BCD．（多选）19．下列说法正确的是（）A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大B．在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位C．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的标准差为3D．在回归分析中，决定系数R2是用来刻画回归的效果的，现算得某模型中R2＝0.85，则说明该模型的拟合效果较好解：对A选项，对于独立性检验，若随机变量χ2的值越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故A选项正确；对B选项，在经验回归方程=−0.6+2中，当解释变量x每增加1个单位时，则相应变量减少0.6个单位，故B选项错误；对C选项，若数据a1，a2，a3，…，a n的方差为M，则数据3a1+1，3a2+1，3a3+1，…，3a n+1的方差为9M，标准差为3，故C选项正确；对D选项，在回归分析中，决定系数R2越接近1，模型的拟合效果越好，R2＝0.85＞0.75，所以该模型的拟合效果较好，故D选项正确．故选：ACD．三．填空题（共3小题）20．已知x和y之间的一组数据如下表，y与x线性相关，且回归方程为=x+0.25，m为x的方差的1.2倍，则当x＝8时，y＝20.25．x0123y m m+252m+3解：由题意可知，=14×(0+1+2+3)=1.5，=rr2+5+2r34=+2.5，所以这组数据的样本中心点是（1.5，m+2.5），又样本中心点满足线性回归方程=+0.25，代入得m+2.5＝1.5+0.25，即4m+9＝6，又因为数据x的方差2=14×(2.25+0.25+0.25+2.25）＝1.25，且m等于数据x的方差的1.2倍，所以m＝1.2×1.25＝1.5，所以=2.5，所以=2.5+0.25，所以x＝8时，y＝20.25．故答案为：20.25．21．已知样本9，10，11，x，y的平均数为10，则该样本方差的最小值为25．解：∵样本9，10，11，x，y的平均数为10，∴9+10+11+r5=10，∴x+y＝20，∴该样本方差s2=15×[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2] =15（x2+y2﹣198）≥15[(rp22−198]=25，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，即该样本方差的最小值为25．故答案为：25．22．若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为18，则a1，a2，a3，a4，a5，9这6个数的平均数为4，方差为8．解：由题意可知，这6个数的平均数为3×5+96=4，因为数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为185，所以15×[（a1﹣3）2+（a2﹣3）2+…+（a5﹣3）2]=185，所以（a1﹣3）2+（a2﹣3）2+…+（a5﹣3）2＝18，所以(12+22+⋯+52)−6（a1+a2+…+a5）+5×9＝18，又因为a1+a2+…+a5＝3×5＝15，所以12+22+⋯+52=63，所以这6个数的方差为16×[（a1﹣4）2+(2−4)2+⋯+(5−4)2+(9−4)2]=16×[12+ 22+⋯+52−8（a1+a2+…+a5）+5×16+25]=16×（63﹣8×15+5×16+25）＝8．故答案为：4；8．四．解答题（共1小题）23．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则对任意正数ε，均有P （|x﹣μ|≥ε）≤22成立．（i）若X～o100，12)，证明：P（0≤X≤25）≤150；（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）解：（1）记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，则oB)=7021002=161330，op=1002−3021002=301330，∴oUp=oB)op=161330301330=2343，即从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，则另一件也为合格品的概率为2343．（2）（i）证明：由题：若～o100，12)，则E（X）＝50，D（X）＝25，又o=p=100(12)100=o=100−p，∴o0≤≤25)=12o0≤≤25或75≤≤100)=12o|−50|≥25)，由切比雪夫不等式可知，o|−50|≥25)≤25252=125，∴o0≤≤25)≤150；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X～B（100，0.9），∴E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，o=70)≤o|−90|≥20)≤9400=0.0225，即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．。

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(不等式选讲)好题汇编(附答案)

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(不等式选讲)好题汇编(附答案)

历年（2014-2023）全国高考数学真题分项（不等式选讲）好题汇编题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a ()12f x x x =+--()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m 0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=设函数()5|||2|f x x a x =-+--． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集； (2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像；(II )求不等式(x)1f ൐的解集．(I )见解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >>+>是a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．12．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． (I )求M ；(II )证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤13．(2016高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5：不等式选讲]设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．参考答案题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 答案解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-． 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．答案解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-． 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭． (2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方答案解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【答案解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化，即()210x ->，显然成立， 此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】见答案解析【答案解析】当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13x <-；当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +->，即1x <-，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->．为为(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．答案解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +． 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >． 所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可答案解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++-=++-≥++-=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a -+<，解得12a +>当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得52a +>综上所述，a的取值范围为15(,22++．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【答案解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而 所以不等式的解集为(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得． 所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a 112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1-1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x -+++--≤x 1x <-11x -≤≤1x >[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()12f -≥()12f ≥11a -≤≤a []1,1-1a =()()f x g x ≥21140x x x x -+++--<1x <-2340x x --≤11x -≤≤220x x --≤11x -≤≤1x >240x x +-≤112x -<≤()()f x g x≥112xx ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[]1,1-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩11a -≤≤a []1,1-()12f x x x =+--(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【答案解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由 综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时， 当时，当时， 所以 所以不等式的解集为空集时， 所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m {}1x x ≥5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩()1f x ≥131x <-⎧⎨-≥⎩12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩231x >⎧⎨≥⎩131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥-+m ()2f x x x m ≥-+()2m f x x x >-+()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩()max m F x >⎡⎤⎣⎦1x <-()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭12x -≤≤()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x >()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭()2f x x x m ≥-+54m >()2f x x x m ≥-+m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦x R ∈2()f x x x m -+≥2max [()]f x x x m -+≥2()()g x f x x x =-+由(1)知当时，，其开口向下，对称轴 所以当时，，其开口向下，对称轴为 所以 当时，，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ){}13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【答案解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩1x ≤-2()3g x x x =-+-112x =>-()()11135g x g ≤-=---=-12x -<<()231g x x x =-+-32x =()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-= ⎪⎝⎭2x ≥()23g x x x =-++12x =()()24231g x g ≤=-++=()max 54g x =⎡⎤⎣⎦m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由． 【答案】答案解析:(1,得,且当时等号成立,故,且当∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =-，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b +变形为，再利用柯西不等式的最大值．答案解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b ==33a b +?a b =33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +==≤4==1=，即1t=时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c>>>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c++的值；(Ⅱ)求2221149a b c++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．答案解析：(Ⅰ)因为(x)|x||x||(x)(x)||a|f a b c a b c b c=++++?-++=++，当且仅当a x b-＃时，等号成立，又0,0a b>>，所以|a b|a b+=+,所以(x)f的最小值为a b c++, 所以a b c4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222118497a b c++?．当且仅当1132231ba c==,即8182,,777a b c===时，等号成立所以2221149a b c++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x=-+--．(1)当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a=时，24,1,()2,12,26, 2.x xf x xx x+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤可得()0≥f x的解集为{}|23≤≤x x-．(2)()1f x≤等价于|||2|4≥x a x++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +． 由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ． 2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】(1),33a a ⎛⎫⎪⎝⎭(2)2答案解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x =--<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =--<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩． 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a ,所以211||222ABC S AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积． 【答案】(1)[2,2]-； (2)8．答案解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩， 解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】(1)详解答案解析；(2)7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【答案解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f ൐的解集．【答案】 (I )见答案解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得13x =或5x = 故()1f x ൐的解集为{}13x x <<；()1f x -൏的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方答案解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间答案解析】(1)()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立 当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立 所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立 结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】答案解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, ,所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 【答案】(1)见答案解析 (2)见答案解析【答案解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦， 所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+， 由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++，当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号， 所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】(1)证明见答案解析(2)证明见答案解析．答案解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 【答案】(1)43；(2)见详解． 【官方答案解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦…故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 【答案】(1)[0，43]；(2)见答案解析． 答案解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②． 解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14-≤x ≤34，∴N =[14-，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]． 答案解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥+29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=-+≥． (江苏苏州 褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+． 故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．(II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥⨯+⨯+⨯=++++=++即2223q pr ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+>是a b c d -<-的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见答案解析；(Ⅱ)详见答案解析．答案解析：(Ⅰ)因为2ab=++2cd=++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22+>+>．(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-，则22()()a bc d -<-．即22()4()4ab abcd cd +-<+-．因为a bc d +=+，所以ab cd >>+>，则22>+，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4aba b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<->a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明:(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见答案解析；(2)详见答案解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法， 假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证答案解析：由abba b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：又，所以．当时，等号成立． 所以，，即．(2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为， 所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

2024年高考真题汇编(数学)(新课标卷+全国卷)PDF版含答案

2024年高考真题汇编(数学)(新课标卷+全国卷)PDF版含答案

2024年高考真题汇编数学（新课标卷+全国卷）目录2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（）A.0B.1C.D.22.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >）B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >）D.221168y x +=（0y >）6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=，所以(1)1,(2)2f f==，又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.四、解答题【答案】15.（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a c b c +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得2338c =，所以c =【答案】16.（1）由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，352AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，2DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．【答案】18.（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【答案】19.（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，。

2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《立体几何》分类汇编1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A ．221h π+B ．224h π+C ．216hπ+ D ．2216h π+ 3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．226．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( )A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( )A ．43πB ．823C ．4πD ．8π8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( )A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( )A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A ．15256B ．45256C ．1564D ．456411．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A ．14-B ．164-C ．164D ．1412．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( )A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺D ．1403立方尺 13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A 7B ．3C ．27D ．614．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CG CC = )A ．12B ．13C ．23D ．1416．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是( )A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为33则正确结论的编号是( )A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．219．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．8920．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．3B ．2C ．3D ．2321．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求二面角1N AC F --的余弦值．23．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．25．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．答案解析1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+． 故选：C ．2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A 221h π+B 224h π+C 216hπ+ D 2216h π+ 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a ，则42a h π=，可得：2h a π=． ∴该金字塔的侧棱长22222222162()244a h h h ππ+=+=+⨯=． 故选：D ．3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设1OB =．PA PB ⊥Q ，OP OB OA ∴==，OP ⊥底面AMB ．则(0O ，0，0)，(0B ，1，0)，(1M ，0，0)，(0P ，0，1)，(0A ，1-，0)， ∴(1AM =u u u u r ，1，0)，(0PB =u u u r ，1，1)-，cos AM ∴<u u u u r ，1222PB >==⨯u u u r ， AM ∴<u u u u r ，3PB π>=u u u r ， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π． 故选：C ．4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【解答】解：如图：还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816833-=， 故选：B ．5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．22【解答】解：把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，,KL AL LM BL BC AB AD AB==， 所以KL AL =，LM BL =，故22KL LM AL BL +=+=， 2()22KL LM S KL LM +=⋅=截面…，当且仅当KL LM =时成立， 故选：C ．6．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【解答】解：设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，由O ACM M AOC V V --=，即111112222233323AMC AOC S d S ∆∆==g g g g g g gg g ，2ACM d S ∆∴=， 122362ACM S ∆==g g故6d =221d r +=，213r ∴=，所以截面的面积为23r ππ=，故选：A ．7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( ) A ．43πB 82C ．4πD ．8π【解答】解：底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===， 可知底面ABCD 的外心为AB 的中点O ，到顶点的距离为1，因为SA SB =，SA SB ⊥，2AB =，所以2SA SB ==，AB 的中点O 到S 的距离为1， 所以O 是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1， 所以球O 的表面积是：2414ππ⨯=． 故选：C ．8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( ) A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π【解答】解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． 222318AD =-=．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ． 则222411810R =++=．∴球的表面积10π=．故选：A ．9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( ) A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【解答】解：设圆锥SO 的轴截面为等腰SAB ∆，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是SAB ∆ 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r ∆==++g g g ， 解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为3439()322ππ=，故选：A．10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．15256B．45256C．1564D．4564【解答】解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得30OAE∠=︒，所以33132224AE OA R R===g，在三角形OAC中，2222cosOC OA AC OA AC OAC=+-∠g g g，即222()2cos15022R RR AC AC=+-︒g g g，整理可得：2242330AC R AC R+-=g，解得：23124831584R RAC R-++-+==，所以331515444CE AC AE R R R-+=+=+=，所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215()154464RRπ=，故选：C．11．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC-中，13PM ANPB AC==，4PA BC==，3MN=，异面直线PA与BC所成角的余弦值为()A ．14-B ．164-C ．164D ．14【解答】解：如图，过N 作//ND BC ，交AB 于D ，并连接MD ，则AN ADAC AB=， Q13PM AN PB AC ==， ∴13PM AD PB AB ==， //MD AP ∴，23MD PA =，13DN BC =， ∴84,33MD DN ==，且3MN =， MDN ∴∠为异面直线PA 与BC 所成角或其补角，∴在MDN ∆中，根据余弦定理得，64169199cos 8464233MDN +-∠==-⨯⨯，∴异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为164． 故选：C ．12．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺 D ．1403立方尺 【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积128075833=⨯⨯⨯=立方尺，故选：C ．13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( ) A ．7B ．3C ．27D ．6【解答】解：如图，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴， 建立空间直角坐标系，设(0M ，1-，)a ，(3N ，0，)b ，(0Q ，1，)c ， 不妨设N 为直角，(3,1,)MN b a =-u u u u r ，(3,1,)QN b c =--u u u r， ∴()()20MN QN b a b c =--+=u u u u r u u u rg， 2211||||4()4()22S MN QN b a b c ==+-+-u u u u r u u u r g g 2221164[()()][()()]2b a bc b a b c =+-+-+-- 11616432++=…． 故选：B ．14．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π【解答】解：正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，设它的外接球的半径为R ，球心为O ，底面ABCD 的中心为M ． 设OM x =．则222(3)R x =+，3R x +=．解得：24R =． 可得球的表面积为16π． 故选：C ．15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC =)A ．12B ．13C ．23D ．14【解答】解：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G Q 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴，∴1113CG DE CC DD ==． 故选：B ．16．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是()A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE【解答】解：Q 在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥， 将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，DE AE ∴⊥，DE CE ⊥，AE CE E =Q I ，DE ∴⊥平面ACE ．故选：C ．17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为33 则正确结论的编号是( ) A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④【解答】解：对①当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足，故①正确．对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误． 对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误． 对④，当截面为正六边形时面积最大，为36233=故选：A ．18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC-的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．19．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【解答】解：将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示． 因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC =+=，即AK CK +的最小值为73． 故选：B ．20．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A 3B 2C 3D 23【解答】解：设E 为BD 中点，连接AE 、CE ， 由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥， 所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE ∆中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥于点F ，又BD ⊥平面AEC ，所以BD CF ⊥， 所以CF ⊥平面ABD ，从而CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，33sin 333CE CAE AE ∠===． 故选：A ．21．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系， 由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，得(0D ，0，0)，(1E ，0，2)，(0F ，72，1)，1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，1(2,0,2)DA =u u u u r ，(0DC =，4，0)，(1EF =-u u u r ，72，1)-．设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r．由122040n DA x z n DC y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r r g u u u r r g ，取1z =-，得(1,0,1)n =-r ， Q 0EF n =u u u r rg ，且EF ⊂/平面1A DC ，//EF ∴平面1A DC ；（2）解：设F 到平面1CC N 的距离为d ，则12d =． ∴111111111233226C FCN F CC N CC N V V S d --===⨯⨯⨯⨯=V g ； （3）解：由（1）知，1(2,0,2)DA =u u u u r，又1(0,,1)2CF =-u u u r ，11110cos ,||||5222DA CF DA CF DA CF ∴<>===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u uu r u u u r g ． ∴直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值10．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求二面角1N AC F --的余弦值．【解答】解：（1）证明：作1DD 的中点H ，连接EH ，FH ， 又E 为11A D 的中点，EH ∴为△11A DD 的中位线，1//EH A D ∴，又F 为MC 的中点，FH ∴为梯形1D DCM 的中位线，//FH CD ∴，在平面1A DC 中，1A D CD D =I ，在平面EHF 中，EH FH H =I ，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF 在平面EHF 内， //EF ∴平面1A DC ．（2）以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则17(1,4,0),(2,0,2),(0,4,0),(0,,1)2N A C F ，设平面1A CN 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则11(,,)(1,4,2)420(,,)(2,4,2)2420m A N x y z x y z m AC x y z x y z ⎧=--=-+-=⎪⎨=--=-+-=⎪⎩u u u u r r g g u u u u rr g g ，可取(0,1,2)m =r，同理可求得平面1A FC 的一个法向量为(3,2,1)n =r，∴270cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，又二面角1N AC F --的平面角为钝角，故二面角1N AC F --的余弦值为27023．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：Q 在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==222AB AM BM ∴+=，222AD AM DM +=，AB AM ∴⊥，AD AM ⊥，AD AB A =Q I ，AM ∴⊥平面ABCD ．（2）解：AB AD ⊥Q ，AM ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AD 为x 轴，AM 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，//CD AB Q ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，2AB AM AD ===，22MB MD ==．(0E ∴，43，2)3，(2C ，0，1)，(2D ，0，0)，(0B ，0，2)，(0M ，2，0)， (2EC =u u u r ，43-，1)3，(2BD =u u u r ，0，2)-，(0BM =u u u u r ，2，2)-，设平面BDM 的法向量(m x =r，y ，)z ，则220220m BD x z m BM y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，1，1)， 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ， 则直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为：||159sin ||||5339m EC m EC θ===u u u r r g u u u r r g g．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ ⋂平面ABCD AB =， 四边形ABCD 为为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥， 因为BG ⊥面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，BC ，BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --===g g g g ，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB g 的最大值． 令PA m =，PB n =， 由（1）知AP PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n = 即2PA PB =时，22112()3323P ABC minm n V mn -+==g …． 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(0C ，1，2)，(1P ，0，0)． 设1(,,)n x y z =u u r为平面APC 的一个法向量，则110220n AP x y n BP x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ，可取1x =，则1(1,1,1)n =-u u r，因为四边形APBQ 为平行四边形，APB ∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ 为正方形，取平面BCQ 的一个法向量为2(1,1,0)n BP ==-u u r u u u r，所以1cos n <u u r ，1221263||||n n n n n >==u u r u u ru u r g u u r u u r g ，所以1sin n <u u r ，233n >=u u r ，即平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值为3325．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ， BC ⊂Q 平面ABCD ，1BC D C ∴⊥，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4AB =Q ，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG =AG ∴=， 因此满足22216AC BC AB +==，BC AC ∴⊥， 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =I ， BC ∴⊥平面1AD C ．（2）解：由（1）知AC ，BC ，1D C 两两垂直， 1D C ⊥Q 平面ABCD ，∴14D DC π∠=，12D C CD ∴==，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0D ，0，2)，∴(AB =-u u u r ，2，0)，1(AD =-u u u u r 0，2)，设平面11ABC D 的法向量(n x =r，y ，)z ，由12020AB n y AD n z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得n =r ， 又1(0CD =u u u u r ，0，2)为平面ABCD 的一个法向量，设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，则11||cos 7||||CD n CD n θ===u u u u r rg u u u u r r g ．∴平面11ABC D 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为7．。

三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质， 在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (6)

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (6)
A．①③B．①③④C．②③D．①④
5．（2020·全国高三二模）已知函数 与 的图象有一个横坐标为 的交点，若函数 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍后，得到的函数在 有且仅有5个零点，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．（2020·浙江省高三二模）已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·宁夏回族自治区高三二模）已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ， ， ， ，且满足： ，则 的值是（）
A． B． C． D．
3．（2020·内蒙古自治区高三二模）已知函数 ，若关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
4．（2020·湖南省高三三模）已知函数 在区间 上有且仅有2个零点，对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下列4个结论：①在区间 上存在 ，满足 ；② 在区间 有且仅有1个最大值点；③ 在区间 上单调递增；④ 的取值范围是 ，其中所有正确结论的编号是( )
模板三：函数的零点问题
模板
构建
利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:
典型
例题
（2020·湖北省高三二模）若函数 在区间 内有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是（）
A． B．
9．（2020·宁夏回族自治区高三二模）已知 是奇函数并且是R上的单调函数,若函数 只有一个零点,则函数 的最小值为________.
10．（2020·江苏省高三二模）已知函数 ，若存在实数 ，使得函数 有6个零点，则实数 的取值范围为__________.

(3)三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

(3)三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

（3）三角函数与解三角形——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编一、选择题1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知cos()m αβ+=，tan tan 2αβ=，则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a =()A.-1B.12C.1D.23．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin(36y x =-的交点个数为()A.3B.4C.6D.84．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知π1cos 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.78B.78-C.38D.38-5．[2024届·山西长治·一模校考]已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，π||)2ϕ<的部分图象如图所示，若方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A.[2,--B.(2,-C.(2,1]--D.[2,1]--6．[2024届·江西·模拟考试]在ABC △中，若sin 2cos cos A B C =，则22cos cos B C +的取值范围为()A.61,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.6,25⎛⎫⎪⎝⎭D.1,22⎫+⎪⎪⎣⎭7．[2024届·湖北·模拟考试联考]在ABC △中，若2225AC BC AB +=，则tan tan tan tan C CA B+=()A.23B.12C.2D.28．[2024届·湖南师大附中·模拟考试]若锐角α，β满足3cos()cos cos αβαβ+=，则tan()αβ+的最小值为()A. B. C. D.二、多项选择题9．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]对于函数()sin 2f x x =和π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有()A.()f x 与()g x 有相同的零点B.()f x 与()g x 有相同的最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．[2024届·河北衡水·二模联考]如图，点A ，B ，C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且π3BC AB -=，π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()A.4ω=B.9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24三、填空题11．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=__________.12．[2024届·山东威海·二模]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b c +=，cos 66C =-.则sin A =________.13．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]已知函数()ππsin (01)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的一条对称轴为直线π4x =，则ω=__________．四、解答题14．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为3+，求c .15．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =.（1）求A ；（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC △的周长.参考答案1．答案：A解析：由cos()m αβ+=得cos cos sin sin m αβαβ-=①.由tan tan 2αβ=得sin sin 2cos cos αβαβ=②，由①②得cos cos sin sin 2mm αβαβ=-⎧⎨=-⎩，所以cos()cos cos sin sin 3m αβαβαβ-=+=-，故选A.2．答案：D解析：由题意知()()f x g x =，则2(1)1cos 2a x x ax +-=+，即()2cos 11x a x =+-.令()2()cos 11h x x a x =-++.易知()h x 为偶函数，由题意知()h x 在(1,1)-上有唯一零点，所以(0)0h =，即cos 0(01)10a -++=，得2a =，故选D.3．答案：C解析：因为函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2π3T =，所以函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与sin y x =在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.4．答案：A 解析：设π6t α+=，则π6t α=-，1cos 4t =，ππππsin 2sin 2sin 26662t t α⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2217cos22cos 12148t t ⎡⎤⎛⎫=-=--=-⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.5．答案：B解析：观察图象知，2A =，函数()f x 的周期4π2π[()]π3123T =--=，2π2Tω==，由π(212f =，得ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，而π||2ϕ<，则π3ϕ=，于是π()2sin(23f x x =+，当π[,0]2x ∈-时，π2ππ2[,]333x +∈-，当π2ππ2[,332x +∈--，即π5π[,]212x ∈--，函数()f x单调递减，函数值从减小到2-，当πππ2[,]323x +∈-，即5π[,0]12x ∈-时，函数()f x 单调递增，函数值从2-，显然函数()f x 的ππ[,]23--上的图象关于直线5π12x =-对称，方程()f x m =在π[,0]2-上有两个不相等的实数根，即直线y m =与函数()y f x =在π[,0]2-上的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是(2,-.故选：B.6．答案：B解析：由sin 2cos cos A B C =得sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=，所以tan tan 2B C +=，又2cos cos 0B C >，所以B ，C 均为锐角，即tan 0B >，tan 0C >.22222cos cos cos sin cos BB C B B+=++()()222222222222222cos 112tan tan tan tan 2sin cos 1tan 1tan tan tan tan tan 11tan 1tan C B C B C C C B C B C B C B C ++++=+==++++++++.因为()222tan tan tan tan 2tan tan 42tan tan B C B C B C B C +=+-=-，所以22cos cos B C +=2262tan tan tan tan 2tan tan 5B CB C B C --+，设3tan tan B C m -=，则()()2222cos cos 3235m B C m m +=---+2228484m m m m m==-++-，因为2tan tan tan tan 12B C B C +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当π4A B ==时等号成立，所以[)2,3m ∈，8m m ⎡⎤+∈⎣⎦，221cos cos 1,2B C ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故选B .7．答案：B解析：设AC b =，BC a =，AB c =，由2225AC BC AB +=，则2225b a c +=，tan tan cos cos tan tan tan sin sin C C A B C A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin sin()cos sin sin C A B C A B +=⋅2sin sin sin cos C A B C=22222c a b cab ab=+-⨯12=，故选：B.8．答案：D解析：23cos()cos cos 3cos cos 3sin sin cos cos tan tan 3αβαβαβαβαβαβ+=⇒-=⇒=.于是tan tan tan()3(tan tan )621tan tan αβαβαβαβ++==+≥-.选D.9．答案：BC解析：对于A ，令()0f x =，则π2k x =，k ∈Z ，又π02k g ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 与()g x 的最大值都为1，故B 正确；对于C ，()f x 与()g x 的最小正周期都为π，故C 正确；对于D ，()f x 图象的对称轴方程为π2π2x k =+，k ∈Z ，即ππ42k x =+，k ∈Z ，()g x 图象的对称轴方程为ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，即3ππ82k x =+，k ∈Z ，故()f x 与()g x 的图象的对称轴不相同，故D 错误.故选BC.10．答案：ACD解析：令()()3sin 2f x x ωϕ=+=得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，k ∈Z ，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈Z ，所以4π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，所以()44sin 42sin 4sin 4333f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++π=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，991sin 8232f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，k ∈Z ，所以ππ244k θ=+，k ∈Z ，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．答案：223-解析：由题知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==--⋅，即sin())αβαβ+=-+，又22sin ()cos ()1αβαβ+++=，可得22sin()3αβ+=±.由π2π2π2k k α<<+，k ∈Z ，3π2ππ2π2m m β+<<+，m ∈Z ，得2()ππ2()π2πk m k m αβ++<+<++，k m +∈Z .又tan()0αβ+<，所以αβ+是第四象限角，故22sin()3αβ+=-.12．答案：3解析：在ABC △中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以226(6c b -=-⨯-，所以()()62c b c b b -+=+，因为4c b +=，所以4()62c b b -=+，所以466c b -=解得1b =，3c =，由cos 66C =-，可得30sin 6C =，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin c aC A=，所以30sin 6sin 33a CA c===.故答案为：53.13．答案：23解析：ππππ()sin coscos sin cos sin 3333f x x x x x x ωωωωω=+++π2sin 4sin 3x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象的一条对称轴为直线π4x =，所以ππππ()432k k ω+=+∈Z ，解得24()3k k ω=+∈Z ．又因为0||1ω<<，所以23ω=．故答案为：23.14．答案：（1）π3B =（2）c =解析：（1）由余弦定理得2222cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，π4C ∴=.2sin 2B C ==，1cos 2B ∴=，又0πB <<，π3B ∴=.（2）由（1）得5ππ12A B C =--=，由正弦定理sin sin a cA C =22=，132a c +∴=.ABC ∴△的面积211sin 3242S ac B c +==⨯=+，得c =15．答案：（1）π6A =（2）2+解析：（1）解法一：由sin 2A A =，得13sin cos 122A A +=，所以πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以ππ32A +=，故π6A =.解法二：由sin 2A A =2sin A A =-，两边同时平方，得223cos 44sin sin A A A =-+，则()2231sin 44sin sin A A A -=-+，整理，得214sin 4sin 0A A -+=，所以2(12sin )0A -=，则1sin 2A =.因为0πA <<，所以π6A =或5π6A =.当π6A =时，sin 2A A +=成立，符合条件；当5π6A =时，sin 2A A +=不成立，不符合条件.故π6A =.解法三：由sin 2A A =，得sin 2A A =，两边同时平方，得22sin 43cos A A A =-+，则221cos 43cos A A A -=-+，整理，得234cos 0A A -+=，所以22cos )0A -=，则3cos 2A =.因为0πA <<，所以π6A =.（2sin sin 2C c B =sin 2sin cos C c B B =，2cos cb B =，所以cos 2B =，因为0πB <<，所以π4B =.7ππ()12C A B =-+=，所以7πππππππsin sinsin sin cos cos sin 12343434C ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭32126222224+=⨯+⨯=.解法一：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得π2sinsin 4πsin sin 6a Bb A ===7π2sin sin 12πsin sin 6a C c A ===所以ABC △的周长为2a b c ++=+解法二：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得24πsin sin sin sin sin 6a abc A A B C ++===++，所以14(sin sin sin )42224a b c A B C ⎛⎫++=++=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以ABC △的周长为2++。

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (35)

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (35)

（2020·山东省高三三模）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅰ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i y i 7i=1=40.17，
√∑(y i −y ̅)27i=1=0.55，√7≈2.646.
参考公式：相关系数r =∑(t i −t )(y i −y ̅)
n i=1√∑(t i −t )2∑(y i −¯)2
n i=1n i=1，
回归方程y ̂=a ̂+b ̂ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)n
i=1∑(t i −t )2n i=1， a ̂=y ̅−b ̂ t .
（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 t =4，∑(t i −t )27i=1=28，√∑(y i −y ̅)27
i=1=0.55， ，
.
因为
与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅰ）由y ̅=9.32
7≈1.331及（Ⅰ）得b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)
7i=1∑(t i −t )27i=1=2.8928≈0.103，
a ̂=y ̅−b
̂t ≈1.331−0.103×4≈0.92. 所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.。

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (27)

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (27)
试题
解析
因为直线 恒过定点 ，所以圆心 到直线 的最大距离为 ，所以半径最大时的半径 ，所以半径最大的圆的标准方程为 ．
题后
反思
解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．
所以 ，所以 ，故答案为：8.
9．（2020·南木林县中学高三三模）已知曲线 ，过点 且斜率为k的直线被圆C所截得的弦长为定值，则此定值为________.
【答案】
【解析】圆 即 ，表示以 为圆心，半径等于3的圆．
直线 经过点 ，对任意的实数 ，定直线 被圆 截得的弦长为定值，则圆心 到直线 的距离为定值．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，不是定值．
当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ．
此时，圆心 到直线 的距离 为定值，与 无关，
故 ， ，所以弦长为 ，故答案为： ．
10．（2020·江苏省高三三模）若圆C1： 与圆C2： 相交，点P为其在x轴下方的交点，且mn＝﹣8，则点P到直线x＋y﹣1＝0距离的最大值为_______.
针对训练*举一反三
1．（2020·湖北省高三二模）已知圆 ，过点 的直线 与圆C相交，则直线 的斜率的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设直线 的方程为 ，即
因为圆 的圆心为 ，半径为2，且圆 与直线 相交
所以 ，解得 ,故选：C
2．（2020·天津高三三模）已知圆 截直线 所得弦的长度为4，则实数a的值是

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (9)

2020年高考数学模拟分项模板汇编 (9)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，
则平移后图象对应的函数解析式为
令 ，求得 ，可得平移后函数的图象的对称轴为 ，故选A．
6．（2020·北京高三二模）若函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则a的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ， ，
， ，
， ， ，
将 右移 个单位得： ，
关于 轴对称， ， ，
又 ， .故答案为： .
9．（2020·甘肃省高三二模）已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，其中 是图象的一个最高点， 是图象与 轴的交点，将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的单调递增区间为________.
A． B．0C． D．
【答案】C
【解析】 函数 相邻两个对称中心之间的距离为 ， ，即 ， ， ，
函数 的图象向左平移 个单位长度得到： ，
图象关于 轴对称， ，
解得： ，又 ， ， ，
当 时， ， ，
， 在 上的最大值为 .故选： .
5．（2020·重庆市云阳江口中学校高三三模）若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
【答案】A
【解析】 向右平移 个单位得： ，
当 时， ，
在 上单调递增， ，解得： ，
的最大值为 .故选： .
7．（2020·湖南省高三二模）将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象，若使 成立的a、b有 ，则下列直线中可以是函数 图象的对称轴的是( )
A． B．
C． D．

2020高考数学模拟试题专题模板 (21)

2020高考数学模拟试题专题模板 (21)
针对训练*举一反三
1．（2020·陕西省安康中学高三三模）在等差数列 an 中， a4 6 ，且 a2 、 a3 、 a5 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 an 的公差不为 0 ，设 bn an 3an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
【答案】（Ⅰ） an
即 n 为奇数时， an n ，
又 n 为奇数时， an an1 2n 1 ，所以 an1 n 1，
即 n 为偶数时， an n ，综上， an (1)n1 n .
3．（2020·浙江省高三二模）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知：a5＝2a2+3 且 a2， S9 ，a14 成等比数
模板十一：数列的通项与求和
数列的通项与求和问题的解题步骤如下: 模板 构建
（2020·重庆市高三三模）已知数列an 满足 a1 6 ， a2 3 .
（1）若 an an1 2an2 n N .
典型 ①设 bn an1 an ，求证：数列 bn 是等比数列；
例题 ②若数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn m n N ，求实数 m 的最小值； （2）若数列 an 的奇数项与偶数项分别成等差数列，且 an an1 n N ， a3 a4 33 ，求数
列 an 的通项公式.
（1）①因为
bn1
an2
an1
an1 an 2
an1
1
，且 b1
a2
a1
9
0，
bn
an1 an
an1 an
2
试题
所以数列
bn
是以
9
为首项，
1 2
为公比的等比数列.
解析
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10．（2020·河南省高三二模）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 平行于直线 ，且与椭圆 交于 两个不同的点，若 为钝角，求直线 在 轴上的截距 的取值范围．
3．（2020·广东省高三三模）已知椭圆Γ： 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，
（1）求Γ的方程：
（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．
4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三二模）已知直线 与抛物线 交于 两点，线段 的中点为 ，点 为 的焦点，且 （ 为坐标原点）的面积为1.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，直线 , 分别交直线 于 两点，求 的最大值.
5．（2020·湖南省雅礼中学高三三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：
（1）若 ，求 的值；
（2）求证： ；
（3）求面积 的最大值．
9．（2020·山东省高三二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，直线 与椭圆 相交于 两点；当直线 经过椭圆 的下顶点 和右焦点 时， 的周长为 ，且 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为 内一点， 为坐标原点，满足 ，若点 恰好在圆 上，求实数 的取值范围.
（1）求y1+y2的值；
（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值.
6．（2020·江西省高三二模）已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，线段 的中点 的横坐标为 ， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ，过点值时直线 的方程.
模板十五： 圆锥曲线中的最值与范围问题
模板
构建
与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:
典型
例题
（2020·新疆维吾尔自治区乌市八中高三三模）已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上，且 的面积的最大值为 .
2．（2020·江苏省如皋中学高三二模）如图所示，射线 在第一象限，且与 轴正向的夹角为 ，动点 在射线 上，动点 在 轴正向上， 的面积为定值 .
（1）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（2）设 是曲线 上的动点，点 到 轴的距离之和为 .若 为点 到 轴的距离之积，问是否存在最大的常数 ，使得 恒成立？若存在，求出这个 的值，若不存在，请说明理由.
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；
（3）转化，由题已知转化为数学公式；
（4）计算，细心计算.
针对训练*举一反三
1．（2020·江西省高三三模）已知离心率为 的椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，及点 ，且 、 、 成等比数列．
（1）求椭圆 的方程；
（2）斜率不为 的动直线 过点 且与椭圆 相交于 、 两点，记 ，线段 上的点 满足 ，试求 （ 为坐标原点）面积的取值范围．
7．（2020·陕西省安康中学高三三模）已知椭圆 ，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线 与C只有一个公共点.
（1）求C的标准方程；
（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，试求 的面积的最大值.
8．（2020·上海高三二模）如图，设 是椭圆 的下焦点，直线 与椭圆相交于 、 两点，与 轴交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 在轴上存在点 得 ，求实数 的取值范围.
试题
解析
题后
反思
本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆的性质以及直线与椭圆相交的知识是解题的关键，考验了学生的计算能力和综合能力，属于较难题.
直线与圆锥曲线解题步骤：
（1）设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
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