空间曲线的切线与法平面

第六节偏导数的几何应用

二、曲面的切平面与法线

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的方程)

1()()

()(

t z t y t x o

z

y

x

(1)式中的三个函数均可导.

一、空间曲线的切线与法平面

M

.

),,(0000t t t z z y y x x M 对应于;

),,,(0000t t z y x M 对应于设

M

第六节偏导数的几何应用

考察割线趋近于极限位置——切线的过程z

z z y y y x x x 0

00t t t

上式分母同除以,

t o z

y

x

M

M

割线的方程为

M M ,0

00z z z y y y x x x

,

0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程

000

000()()()

x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.

000()()()

T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面.

()()()()()() 0000000

φt x -x ψt y -y ωt z -z

例1 求曲线: t

u

udu e x 0cos ，t

y sin 2 t cos ,t

e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程.

解当0 t 时，,

2,1,0 z y x ,cos t e x t

,sin cos 2t t y ,

33t

e z ,

1)0( x ,2)0( y ,

3)0( z 切线方程,

3

2

2110 z y x 法平面方程,

0)2(3)1(2 z y x .

0832 z y x 即

1.空间曲线方程为

y =ψx z =ωx ,

),,(000处在z y x M , 000

001()()

x -x y -y z -z ==ψt ωt ()()()()() 000000.

x -x ψt y -y ωt z -z 法平面方程为

切线方程为

特殊地：

2.空间曲线方程为,

),,(0

),,( z y x G z y x F 切线方程为000

00

z x y z x y z x y z

x y

x -x y -y z -z ==,F F F F F F G G G G G G 法平面方程为

000()()()

00

=0.

y z x y

z

x

y z x y

z x F F F F F F x -x y -y z -z G G G G G G

例2 求曲线62

22 z y x ，0 z y x 在点)1,2,1( 处的切线及法平面方程.

解1 直接利用公式;

2

2

2

6,设 F x,y,z =x +y +z -

G x,y,z = x +y +z

则

222111

x y z x y z F =x, F =y, F =z G =, G =, G =

11221

1

226

1

1

y z x=x=y

z

y=-y=-z=z=F F y z G G

11221

1

221

1

z x x=x=z

x

y=-y=-z=z=F F z x G G 11

2

21

1

226

11x y x=x=x

y

y=-y=-z=z=F F x y G G 由此得切向量},

1,0,1{ T

所求切线方程为,1

10211 z y x 法平面方程为,

0)1()2(0)1( z y x 0

z x

例2 求曲线62

22 z y x ，0 z y x 在点)1,2,1( 处的切线及法平面方程.

解2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得

1dx dz dx dy x dx dz z dx dy

y ,z

y x z dx dy ,z

y y x dx dz ,

0)

1,2,1( dx dy

,

1)

1,2,1( dx dz

由此得切向量

},

1,0,1{ T

所求切线方程为,1

1

0211 z y x 法平面方程为,

0)1()2(0)1( z y x 0

z x

n

M 设曲面方程为

),,(: z y x F )},

(),(),({0'0'0't z t y t x T

曲线在M 0处的切向量二、曲面的切平面与法线

2

2

T 1

T 1

()()()x =t Γ:y =ψt ,

z =ωt 0000M x ,y ,z 在曲面上任取一条通过点的曲线