几何直观和空间观念的差异及教学侧重点

几何直观和空间观念的差异及教学侧重点

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几何直观和空间观念的差异及教学侧重点

东北师范大学孔凡哲

东北师范大学第二附属小学王延萍

几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培养和发展学生的…几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。

几何直观与推理能力差异是显而易见的。但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生的几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清的问题。本文就此阐述。

一、几何直观与空间观念的含义差异分析

正如《标准（2011年版）》指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。特别地，空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程中”。

我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释”，即不是针对“几何直观”的明确定义。

对此，我们可以这样定义几何直观：

几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。

几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。

作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，但是，各有侧重。

（一）二者的侧重点非常明显

几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证。而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。

不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展。

（二）二者触及的领域各有侧重

几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域。

（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性

即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。

（四）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用

在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。

特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。而学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而逐步形成几何推理。当然，在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力的必不可少的阶段，属于奠基性工作。

二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析

几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思考所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力；

同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判

断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华。

（一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性1．几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。

例如，看到a2+b2，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和，它等于斜边的平方。

2．长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步

形成空间观念。同时，空间观念的发展具有（儿童发展的）时节性，已有的研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念的最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展。

其实，几何的启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中的真实形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，熟练地描述与表征周围的环境。这些实验、观察、探索的活动需要不断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的发展。

（二）二者都具有一定的逻辑性

几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息，而把握核心要素之间的内在关联，其逻辑的成分显而易见；

与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应的图形之间的逻辑关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还是将复杂的图形与其基本图形之间的关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素。

（三）二者具有密切的关联性

作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分。虽然空间观念、几何直观都有先天的成分，但是，其实质性的发展都是在后天完成的，同时，二者的发展相互制约、相互促进。

1．空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的

重要基础（虽然不是唯一基础，几何直观发展的另一个重要基础，就是整体思维方式的形成，这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害。