文档CT图像滤波反投影重建算法的研究

西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名：：《！！！塑Ｌ指导教师签名。＞况订年弓月多Ｄ日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。学位论文作者签名网年；月如日西北〕＝业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和ＣＴ技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了ＣＴ的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。１．１图像重建与ＣＴ技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术（ｃｏｍｐｕｔｅｄＴ０ｍｏ鲫ｈｙ或ｃｃ胁ｐｕｔｅｒｉｚｅｄ．Ｉｂｍｏ肿ｐｂｙ），简称为ｃＴ技术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像（故亦称断层摄影技术），对于ｘ射线放射诊断是一个重大突破，具有深远的实际意义，因而受到普遍的重视。１．１．１图像重建图像重建是图像处理中一个重要研究分支，是指根据对物体的探测获取的数据来重新建立图像，其重要意义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造成任何物理上的损伤。由于具备无损检测技术的显著优点，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。例如：在医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等领域都多有应用。在上述的众多领域中，图像重建在医学方面的应用最为显著。它大大丰富了对于人体内部器官进行无损检测的方法和手段，为疾病的早期正确诊断提供了科学的、准确的依据。根据原始数据获取方法及重建原理的不同可分为如下几种：发射断层重建成像（Ｅｍｊ醛ｉ∞ｃｏｍｐｕｔｃｄＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ，Ｅｃ砷，透射断层重建成像ｆｒｆａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｃ吼ｐｌＩｔｃｄＴｏｍｏ掣ａｐｈｙ，１∞，反射断层重建成像（Ｒｅｆｌｅｃｔｉ∞Ｃｃ粕ｐｕｔｅｄ劢衄ｏｇｒａｐｈｙ，ＲｃＩ）及核磁共振重建成像（Ｍａ印ｅｔｉｃＲｅｓ∞卸ｃｃｌＩＩＩａｇｉｎｇ，ＭＲｎ。西北工业大学硕士学位论文第一章绪论１．１．２ＣＴ技术在各种图像重建算法中，计算机断层成像术即ＣＴ技术占有重要的地位。ｃＴ技术的功能是将人体中某一薄层中的组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显示器或其他介质上显示出来。１．１．３图像重建的方法图像重建是ＣＴ技术中的一个重要问题。它的实质是按照采集后的数据，求解图像矩阵中象素，然后重新构造图像的过程；而图像矩阵的求解由计算机完成。图像重建问题的求解方法根据其特点可分为２大类。第１类是变换重建方法ｆ也叫解析法呐，其特点是先在连续域解析处理，最后离散化以利用计算机计算。其中又可分成傅里叶反变换重建法和滤波（或卷积）反投影重建法。第２类是级数展开重建法１２ｊ１３ｌ（也叫代数重建法、迭代算法、优化技术等），其特点是从开始就离散化进行分析，从而直接得到数值解。另外还有将变换法和级数展开法相结合的综合方法，如：迭代变换法、迭代重建重投影、角谐函数重建法和正交多项式展开重建。变换法的突出优点是实现简单，速度快，对足够精确的投影数据能获得很好的重建质量。因此目前实用ＣＴ系统中，尤其是医用ｃＴ系统中广泛采用变换法，特别是滤波反投影类型的算法来进行图像重建。变换法在技术上有两个主要的限制：（１）噪声特性不好。因为变换法是基于解析求反公式的闭合形式，要求投影数据是精确的。对于数据中的噪声，可以通过滤波步骤来适当解决。如果我们能在投影数据输入给变换法之前，将影响投影数据不精确性的诸多物理因素进行足够的校正，则便可以认为投影数据是相当准确的，从而得到满意的重建。（乃正因为变换法基于解析求反公式的闭合形式，所以变换法的简单与复杂强烈地依赖于数据采集扫描方

式。如果投影数据不是沿直线的简单线积分，那么可能就得不到解析求反公式的闭合形式，在这样的情况下，变换法就变得无效。级数展开法能和特定的成像设备及数据采集物理过程的特性相结合，并能利用某些先验信息。这类方法尤其适合于数据采集过程具有高度统计特性及某些不能获得完整数据集的场合。并且，级数展开法不像变换法那样强烈依赖于投影数据的采集方式，适合于投影数据不是目标函数沿直线而是沿曲线的积分甚至沿带２西北工业大学硕十学位论文第一章绪论状区域的积分。级数展开法最大缺点是实现起来复杂，速度慢，并且所需的存储空间大。因此，目前在实用ＣＴ系统中多不采用．１．２ＣＴ的发展与研究现状图像重建技术的历史比较悠久。它的理论起源于１９１７年奥地利数学家Ｒａｄ∞所发表的论文１４ｌ，文中证明了二维或三维物体的密度分布能够通过其无限多个投影来确定，数学上称之为Ｒａｄ∞变换。但限于当时的技术条件而未能在工程上实现，他的论文一直未被世人重视。由于科学技术的进步，特别是计算机科学的发展，图像重建问题重新引起了人们的兴趣，相继有不少学者进行了卓有成效的创造性研究。１９６３年，美国科学家Ａ．Ｍ．?ａｃｋ首先提出了用ｘ射线投影重建断层图像的计算方法。１９ｒ７２年，英国肼Ｉ公司中央研究所工程师Ｇ．Ｎ．Ｈ叫蚶ｅｌｄ研制成功诊断头颅用的第一台电子计算机ｘ射线断层摄影装置，并在那一年的英国放射学年会上公布了这一装置及其应用成果，至此，才算真正设计出一个装置用来实现人体断面成像。在１９７４年５月蒙特利尔召开的第一次国际Ｃｒ会议上，这一新式的ｘ射线显像技术被正式命名为Ｃｃ胁ｐｕｔｅｄＴ（皿ｏｇｒａｐｈｙ，简称ｃＴ。ＣＴ的问世在放射学界引起了爆炸性的轰动，被认为是继伦琴发现ｘ射线后，工程界对放射学诊断的又一划时代的贡献。１９７９年的诺贝尔生理和医学奖破例地授予两位没有专门医学资历的科学家：Ｈ∞ｓｆｉｅｌｄ和Ｃｃ悯ｌａｃｋ。从此，放射诊断学进入了ｃＴ时代。ｃＴ装置自问世以来，在其后的十多年内获得了极大发展，已从第一代产品发展到了第五代产品。除Ｘ—Ｃｒ（用ｘ射线作为辐射源，叫作ｘ射线ＣＴ，简称ｘ—Ｃ田以外，其他形式的ｃＴ也相继问世，如单光子发射ｃＴ（ｓＰＥｃＤ、正电子发射叫ＰＥＴ）、核磁共振ｃＴ（ＮＭＲ一叨等均已付诸临床应用。超声ＣＴ、微波ｃＴ的研究也取得了极大的进展。应该指出，各类ｃＴ的功能是相互补充而不是相互替代的。ｃＴ作为一种高性能的无损诊断技术显然已在医学成像领域确立了不可动摇的地位。实际上，临床上使用的ｘ—ｃＴ设备的性能近年来又有了明显的提高。为了进一步提高扫描速度，一些快速扫描装置相继诞生。螺旋式超高速ＣＴ甚至可以对慢运动组织进行商分辨率的检查，并能提供人体组织的三维图像。ＣＴ作为一种技术，既有坚实的数学理论为依托，又有现代微电子技术与计算机技术相支持，它已在工业无损检测、地球物理的研究、农林业和环境保护方３西北工业大学硕＋学位论文第一章绪论面得到了广泛的应用。１．３研究目的与意义在图像重建的变换重建方法中，滤波反投影算法（】Ｆｉｌｔｅ犯ｄｂａｃｋｐｒｏｊｃｃｔｉ∞，ＦＢＰ）是影像重建中应用最广泛的一种算法，在当代ｘ射线ＣＴ系统中几乎都用这种方法构成系统。滤波反投影算法又称卷积反投影算法，因为频域上的滤波相当于空域上的卷积运算。滤波反投影法大量实用的原因是它的基本算法很容易用软件和硬件实现，而且在数据质量高的情况下可重建出准确清晰的图像。Ｈａｎｌｅｙ变换（ＨａｒｄｃｙＴｒ姐ｓｆｏ珊，ＨＤ是由著名数学家Ｒ．ｖ．Ｌ．Ｈａｎｌｅｙ于１９４２年提出的一种正交变换１５１，它类似于Ｆ０ｌＩｒｉｃｒ变换（Ｆｏｕｒｉ盱Ｔｒ柚ｓｆｏ加，Ｆｎ，但它定义在实数域内，比Ｆｒ简单。离散ｗ变换（ＤｉｓｃｒｃｔｅｗＴｒａｎｓｆｏｍ，ＤｗＤ【６Ｊ是我国学者王中德提出的实数域上定义的一种正交变换。１９８３年底，Ｒ．Ｎ．＆ａｃｃｗｃｌｌ研究了Ｈａｎｌｅｙ变换的离散形式，称之为离散Ｈａｒｌｌｅｙ变换（ＤｉｓｃｆｃｔｅＴｒａｎｓｆｏｎｎ，ＤＨ叫”，它实际上是ＤｗＴ的一种特殊形式。１９９４年，ⅢＥＥ会刊（№ｄｉｎ黟ｏｆＨａｎｌｅｙｍＥＥ）出了一期关于Ｈａｒｔｌｅｙ变换的专刊【８ｌ，可见这种变换已在实际应用中得到了广泛重视。在实序列数据处理中，ＨＴ不仅等效于Ｆｒ，其正反交换又具有相同的形式，而且ＨＴ仅需用到实运算，在存储量和复杂性上要比ＦＴ更经济，在实数域能够替代ＦＴ进行信号和图像的处理。有学者基于重建图像象素和投影射线之间在不同的投影方位上所存在的几何关系，提出了平行射束常规反投影的多方位同时反投影伽ｕｌｔｉｏｒｉｃｎｔａｔｉ∞ｓｉｍｕｎ柚ｅｏｕｓ咖ｐｕｔａｔｉｏⅡｏｆｂａｃｋｐ删ｃｃｔｉ∞，ＭＳＢＰ）方法１９Ｊ。本文将Ｈａｎｌｅｙ变换和ＭｓＢＰ方法应用到ＣＴ图像的滤波反投影重建方法中，在保持精度不变的前提下，可较大地减少所需的存储空间和计算量。１．４主要工作和章节

安排论文主要完成的工作有：（１）对图像重建及ＣＴ技术的研究和发展情况进行了总结和评述，阐明了进行图像重建的目的和意义。（２）对ＣＴ图像的反投影重建算法进行了详细的介绍，集中讨论了滤波４西北工业大学硕士学位论文第一章绪论反投影重建算法的计算机实现的具体步骤。（３）对与ＦｏｕＩｉｅｒ变换平行的一种正弦正交变换—Ｈａｎｌｅｙ变换进行了探讨，根据用Ｈａｎｌｃｙ变换导出的滤波反投影重建算法重建ＣＴ图像，由此重建算法较Ｆｏｕｒｉｅｒ方法将有大约一半计算量和存储空间的节省。将平行射束常规反投影的多方位同时反投影（ＭＳＢＰ）方法应用于ｃＴ图像的滤波反投影重建方法中，使象素定位操作中的计算量减少到传统反投影算法的１／８。（４）对（刁、（３）中采用的算法分别用ＭａⅡ曲进行了编程仿真，证明了算法的可行性，并对（３）中的方法与传统反投影方法的计算量和存储空间进行了比较和分析。（５）推导了基于Ｈａｎｌｃｙ变换的逆变换法公式并给出其误差分析，通过Ｍａｔｌａｂ程序验明了其可行性和正确性。论文的章节安排如下：第一章简要介绍了图像重建的概念、应用、分类以及ＣＴ技术的发展历史和研究现状。阐述了本论文的研究目的与意义。第二章介绍了反投影重建算法的基本思想和理论，并对其中的滤波反投影重建方法进行了详细的论述，从而奠定了下文研究的基础。第三章深入探讨了ｃＴ图像滤波反投影重建算法的计算机实现的具体步骤，给出了Ｍａｔｌａｂ仿真结果。第四章对Ｈａｎｌｅｙ变换和ＭＳＢＰ方法进行了介绍和探讨，将二者应用于ｃＴ图像滤波反投影重建算法中，给出了仿真结果，并对其在减少计算量和减小存储空间方面进行了比较和讨论。第五章对基于Ｈａｒｎｅｙ变换的逆变换法公式给予推导，给出其误差分析，并对其进行了仿真验证。第六章对所做工作和取得的成果进行了总结和分析，并对今后值得进一步开展的研究工作提出了展望．５西北工业大学硕士学位论文第二章反投影重建算法的基本理论第二章反投影重建算法的基本理论２．１ＣＩ’技术的基本思想取一理想的Ｘ射线源，它发出极细的笔柬ｘ射线。在其对面置一检测器（图２－１）。测出ｘ射线源发出的强度Ｌ以及经物体衰减以后到达检测器的Ｘ射线强度，，再将ｘ射线源与检测器在观察平面内同步平移一定步数Ｍ（图２．２）。每平移一步均作同样测量，如此取得一组数据。然后旋转一角度△毋（例如ｌ度）再同步平移Ⅳｆ步，取得新角度下的另一组数据。如此重复，直至旋转Ⅳ妒次作Ⅳ妒驴－１８００旋转取得Ⅳ妒组数据（即Ⅳ妒个投影）后为止。平移Ｍ、图２－１透射ｘ射线的发射源与检测器布置示意图２－２平移／旋转扫描方式取得上述数据后如何求得物体中所关心的那个断面的图像？对此，我们有如下陈述：先假定物体是均匀的，物体对于ｘ射线的线性衰减系数为＿ｆｌ，则强度为，０的ｘ射线行进ｘ距离后，强度变为，，它们之间存在关系：，一，０ｅ１。（２·１）或ｐｘ—ｌｎ（厶／Ｊ）（２－２）７西北工业大学硕士学位论文第二章反投影重建算法的基本理论若物体是分段均匀的，各段的线性衰减系数分别为一、芦：、心、…，相应的长度为而、岛、而、…（图２·３），则下式成立：ｎ墨＋，％＋如岛＋…一ｌｎ（厶／，）（２—３）扩一匦ⅡⅡ盈〕一ｆＩＭｌ石：ｌ妒｛．．· 图２－３入射ｘ射线强度，０经过线性衰减系数为Ｈ、‖２…的介质后变为，更一般地，物体在ｘ，ｙ平面内都不均匀，即衰减系数肛一卢（‘ｙ）在沿某一路径Ｌ的方向上的衰减为：（２。４）正＃ｔ出－ｌｎ仉／，）线积分Ｉ＝肚称为射线投影。若未指定具体路径，只说明沿某一方向，则有肛珊，称为投影。它是某一角度下所有平行射线引起的射线投影的集合。显然，测得，ｏ与，，即可知道ｐ讲·我们的任务是根据一系列的投影，芦积，推求‖（ｚ，ｙ）。果能如此，就可得出相应于‖分布（从而得出密度分布）的图像。这就是从投影重建图像的大致概念。这一图像当然是相应扫描平面的物体断层的图像。从投影重建图像需经过大量计算，只有借助计算机才能实现，故称为“计算机断层成像术”。２．２反投影重建算法反投影重建算法又称求和法、累加法或线性叠加法，它是从投影重建图像的众多算法中最简单、最基本的算法。其内容是：断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和（的平均值）。８西北工业大学硕士学位论文第二章反投影重建算法的基本理论２．２．１反投影重建算法的物理概念在经典断层成像术中，Ｘ射线管自左向右运动，胶片反方问目石同左运动。作用于胶片的ｘ射线强度，与相应的射线投影ｐ由式（２４）相联系：ｐ。正础地子（２‘５）另一方面，Ｘ射线强度，引起胶片透光度ｚ变化Ａｚ，导致胶片变黑程度（“负像”的浓淡）的变化。