北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题 双线性函数与辛空间)

第10章　双线性函数与辛空间
1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知
f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，
求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．
解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到
f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．
2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．
解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到
f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．
3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，
a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．
试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．
解：可利用定理3．计算
由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是
a1，a2，a3的对偶基，则
即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．
4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使
f（a）≠0，i＝1，2，
(5)
证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有
a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，
V
…，s．
5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使
f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．
证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向
量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．
6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义
试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．
证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．
令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有
解出得
同样可算出
满足
由于
p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．
7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：
α*（β）＝（α，β）．
（1）证明α*是V上线性函数；
（2）证明V到V*的映射：
α→α*
是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．
（2）现在令映射φ为
下面逐步证明φ是线性空间的同构．
①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．
对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．
故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．
这样
（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．
于是
（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，
即有α－β＝0，因此α＝β．
②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…
＋l n εn 则对所有εi ，
∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．
③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，
∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）
＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）
＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．
故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．
又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．
以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．
8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．
（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；
（2）定义V *到自身的映射A *为
f→fA
证明A *是V *上的线性变换
（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在
ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）
证明：（1）α，β∈V，k∈P，有
∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，
f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．
故f A 是V 上线性函数．
（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有
∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））
＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）
＝（A *f ＋A *g ）（α）
故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．
又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））
＝k （A *f ）（α），
故A *（kf ）＝k （A *f ）．
以上证明了A *是V *上的线性变换．
（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，
f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，
a i2，…，a in ），于是
即有。