微积分复习资料

基本知识复习

一、 不定积分

1． 不定积分概念，第一换元积分法

（1） 原函数与不定积分概念

设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有

()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，

就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作

()(),f x dx F x C =+⎰

（2） 不定积分得基本性质

1．

()()d

f x dx f x dx

=⎰2。()()'F x dx F x C =+⎰ 3。()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰

（3）基本不定积分公式表一

()(

)1

2

2

222(1)2)1,

1

3ln C,

x (4)arctan ,1(5)arcsin ,

(6)cos sin ,(7)sin cos ,

(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,

sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx

xdx x C x x μμ

μμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰是常数，（1（）2

2an sec ,(11)csc cot csc ,(12),

ln (13),(14),1

(15),1

(16).

x

x

xdx x C x xdx x C a a dx C a

shxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

（3） 第一换元积分法（凑微分法）

设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式

()()()()'

.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰

⎰

2． 第二换元积分法，分部积分法

（1） 第二换元积分法

设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'

0t ψ≠.又设()()'

f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,

则有换元公式

()()()()

1'

,t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦

⎰⎰

其中()1

x ψ

-是()x t ψ=的反函数.

（2） 分部积分法

设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,

()

'

'',uv u v uv =+

移项,得 ()'

''.uv uv u v =-

对这个等式两边求不定积分,得

''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰

这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:

.udv uv vdu =-⎰⎰

（3） 基本积分公式表二

(2222

(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,

1(22)ln ,2(23)arcsin ,

(24)ln ,

(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x a

dx C x a a x a x

C a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰

⎰，（18

（19）5)ln .

x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分

一、有理函数的积分 两个多项式的商

()

()

P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式

()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.

利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.

对于真分式

()

()

n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种

类型:一种是()k

x a -,另外一种是()

2

l

x px q ++,其中,k l 是正整数且2

40p q -<;其次,根

据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.

具体的做法是:

若()m Q x 分解后含有因式()k

x a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:

()()

()

12

2

,k

k

A A A x a x a x a +++

---

其中:1,

,k A A 为待定常数.

若()m Q x 分解后含有因式()

2

l

x px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:

()()

()

1122

2222

,l l

l

M x N M x N M x N x px q x px q x

px q ++++++

++++++

其中:(),1,2,

,i i M N i l =为待定常数.

以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所

以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.

二、可化为有理函数的积分举例 例4 求

()1sin .sin 1cos x

dx x x ++⎰

解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan

2x

的有理式表示,即 2222

22222tan 2tan

22sin 2sin cos ,22sec 1tan 22

1tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22

x x x x x x x

x x

x x x x x ===+--=-=

=+

如果作变换()tan

2

x

u x ππ=-<<,那么 2

22

21sin ,cos ,11u u x x u u -=

=++ 而2arctan ,x u =从而