1问题背景和主要结果

第1章引言1.1问题背景和主要结果自从1982年R.Hamilton[6]引入Ricci流，并证明具有正Ricci曲率的三维黎曼流形在Ricci流下能收敛至球面后，几何曲率流的研究在几何分析中就占有重要的地位.其中平均曲率流的研究尤为突出.事实上在1978年，Brakke[7]最早就引入了平均曲率流，并从几何测度论的角度研究了曲面沿着平均曲率流的运动.基于Hamilton[6]关于Ricci流的研究，Huisken[8]在1984年从微分几何的观点研究了平均曲率流.设X0: M n→R n+p是一个浸入子流形，以X0为初值的平均曲率流为下面这一族浸入X:M n×[0,T)→R n+p满足∂∂tX(x,t)=H(x,t),X(·,0)=X0.(1.1)这里H为M t=X(M,t)的平均曲率向量.在超曲面情形，即p=1时，H=−Hν，ν为单位外法向量，H为平均曲率.熟知面积泛函的梯度向量为负的平均曲率向量，d d t Vol(M t)=−M t∂t X,H dµt.(1.2)因此沿着平均曲率流(1.1)，子流形M t的面积以最快的速度减少，且d d t Vol(M t)=−M t|H|2dµt.(1.3)即平均曲率流为面积泛函的负梯度流.2曲率流的自相似解和应用由极大值原理，如果两个初始超曲面不相交，则在平均曲率流下任何时刻流超曲面都不相交.因此如果初始超曲面为闭的子流形，通过与包含这个超曲面的球面作比较，以闭超曲面为初值的平均曲率流必在有限时间内消失.平均曲率流的一个主要研究兴趣是在流消失之前会发生什么？1984年，Huisken [8]证明了欧氏空间R n +1中的凸超曲面（维数n 2）在平均曲率流下有限时间内必定收缩为一个球形的点：即在做适当的伸缩变换后，相应的曲率流收敛至一个圆球.之后1986年，Huisken [9]将上述结果推广到任意黎曼流形中的超曲面，再加上某些曲率和凸性条件，证明了类似于[8]中的结果.1986年，Gage-Hamilton [10]对曲线收缩流，即维数n =1的平均曲率流，证明了如果初始曲线为简单闭的凸曲线，则在有限时间内，曲线流收缩为一个圆形的点.接着在1987年，Grayson [11]证明了任何简单闭曲线必在有限时间内变成凸曲线，从而由Gage-Hamilton 的定理，最终曲线将收缩为一个圆形的点.对于n 2的平均曲率流则没有这么好的性质.在1989年，Grayson [12]构造了一个具有细长轴的哑铃，沿着平均曲率流在两边的球还没消失前中间的轴就断开了，这个断点就是一个奇点（事实上在这个奇点的爆破极限是一个圆柱面，而不是圆）.因而Grayson 关于曲线流的定理[11]在n 2时是不成立的.从而平均曲率流(n 2)的研究重点则为奇点形成的研究.准确地说，我们称p ∈R n +1为平均曲率流的一个奇点，如果当t →T 时，X (x,t )→p 且第二基本形式|A |(x,t )→∞.1990年，Huisken [13]通过单调性公式研究了平均曲率流的第一类奇点，即满足|A |(x,t ) C/√T −t 的奇点.在规范化之后，Huisken 证明了平均曲率流在第一类奇点处的爆破极限为满足H =−12X ⊥.(1.4)的欧氏空间中的子流形.我们称式(1.4)为Self-shrinker 方程,称满足式(1.4)的欧氏空间中的子流形为self-shrinker.之后Ilmanen [14]和White [15]用几何测度论的观点将Huisken 的结论推广到任意类型的奇点.因此self-shrinker 的研究是平均曲率流里的一个重要课题.关于平均曲率流的一些重要论文，见文献[2,7–9,13,16–27]等，另外也可参见介绍平均曲率流的文献[28–30].第1章引言3本论文的前三部分主要研究满足self-shrinker方程(1.4)的欧氏空间中子流形的性质，包括体积增长估计、分类和刚性问题，以及F-稳定性问题.在几何曲率流的研究里，除了平均曲率流外，还有其他的流，如Gauss曲率流、数量曲率流、逆平均曲率流等.在超曲面情形，上面的平均曲率向量满足H=−Hν,其中H,ν分别为超曲面的平均曲率和外法向方向.将H替换为关于超曲面主曲率κ=(κ1,κ2,···,κn)的函数F=F(κ1,κ2,···,κn)，可以定义下面的超曲面F-曲率流.给定一个超曲面X0:M n→(N n+1,¯g)，我们称X:M n×[0,T)→(N n+1,¯g)为以X0为初值的超曲面F-曲率流，如果∂X(x,t)=−F(x,t)ν(x,t),X(·,0)=X0.(1.5)∂t在外围空间(N n+1,¯g)为欧氏空间，可以证明有一大类的F-曲率流可将凸超曲面M0收缩为一个圆点（可参见Ben Andrews的论文[31]），即有类似于Huisken[8]的定理.本论文第4章我们研究球面和双曲空间中的F-曲率流的非坍塌估计.将Ben Andrews[3,4]等人关于欧氏空间中F-曲率流的非坍塌估计推广到球面和双曲空间中的F-曲率流.几何曲率流一直是近30年的热门研究课题，其原因之一在于它在几何与拓扑中的广泛应用.本论文的最后一部分将运用Gerhardt[5]的双曲空间中逆曲率流的收敛性定理来证明双曲空间中星形、2-凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型几何不等式.本章以下各节将分别说明本论文各部分的主要内容.1.1.1Self-shrinker的体积增长估计设(M n,g)是具有非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形，关于其测地球的体积增长估计有两个著名的定理：一个是Bishop-Gromov比较定理（见文献[32,33]），即对任意测地球B x(r)⊂M,x0∈M，有Vol(B x(r)) Cr n.(1.6)成立.换言之，(M n,g)上的测地球至多具有欧氏的体积增长.另一个是Calabi-Yau定理（见文献[34,35]），说的是测地球B x(r)⊂M的体积至少4曲率流的自相似解和应用有线性的体积增长，即Vol(B x(r)) Cr.(1.7)对任意测地球B x(r)⊂M成立.最近，曹怀东和Detang Zhou[36]与Munteanu-Wang[37]对梯度形收缩Ricci孤粒子分别证明了和上述结果类似的定理.设(M n,g)为黎曼流形，f为M n上的光滑函数，如果满足Ric+∇2f=12g,(1.8)则称(M,g,f)为一个梯度形收缩Ricci孤粒子.梯度形收缩Ricci孤粒子在Ricci流的研究中有重要地位，它是Ricci流的一类自相似解，同时也描述了Ricci流的奇点模型.Cao-Zhou[36]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩Ricci孤粒子都具有至多欧氏的体积增长.Munteanu-Wang[37]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩Ricci孤粒子具有至少线性的体积增长.需要注意的是这两个定理都是非平凡的，因为一个完备的梯度形收缩Ricci孤粒子不一定具有非负Ricci曲率的，例如由Feldman-Ilmanen-Knopf[38]发现的例子就不具有非负Ricci曲率.因而Cao-Zhou,Munteanu-Wang的定理不能直接由Bishop,Calabi-Yau的关于具有非负Ricci曲率的定理得到.梯度形收缩Ricci孤粒子对应的是Ricci流的自相似解，而self-shrinker对应的是平均曲率流的自相似解.因而很自然地可以考虑这样的问题：研究完备非紧的self-shrinker的体积增长.这是一个重要的问题，例如在Huisken[21]和Colding-Minicozzi[2]等人关于self-shrinker的分类定理中都需要假设self-shrinker具有多项式的体积增长.2011年，Lu Wang[39]证明了如果self-shrinker是一个欧氏空间中的完全图，则它具有至多欧氏的体积增长.随后，Ding-Xin[40]证明了任意逆紧浸入的完备非紧致self-shrinker具有至多欧氏体积增长的.注意这里的体积并非测地球的体积，而是外蕴球，即欧氏空间中的球和self-shrinker交集的体积.Ding-Xin的结果叙述为Vol(B(r)∩M) Cr n,∀r>1.(1.9)第1章引言5这里B (r )指的是R n +p 中半径为r 的欧氏球.Xu Cheng 和Detang Zhou [41]随后证明了如果self-shrinker 具有至多欧氏的体积增长，则它必定是逆紧浸入的，即该浸入满足任意紧致集的原像也是紧致集.因此结合Ding-Xin [40]和Cheng-Zhou [41]的定理可得：self-shrinker 是逆紧浸入的等价于它具有至多欧氏的体积增长.本文将首先研究完备非紧的self-shrinker 的体积增长下界估计.主要想法在于进一步开发梯度形收缩Ricci 孤粒子与self-shrinker 的相似性，并借鉴Munteanu-Wang 在研究梯度形收缩Ricci 孤粒子的体积下界增长估计时的方法.我们得到的定理如下：定理1.1(Li-Wei [42])任意逆紧浸入的完备非紧致self-shrinker 具有至少线性的体积增长.注释1.1定理1.1的结论是最优的，因为圆柱类型的self-shrinker X :S n −1( ×R →R n +1具有线性的体积增长.1.1.2Self-shrinker 的分类前面提到self-shrinker 描述了平均曲率流的奇点模型，因而其分类是一个重要的研究课题.在曲线情形（即n =1），1986年，U.Abresch 和nger [43]对满足(1.4)的所有完备的self-shrinker 曲线Γ⊂R m 做了完全分类.我们称这些曲线为Abresch-Langer 曲线，其中简单闭曲线仅有圆周这一类.事实上，任意的self-shrinker 曲线Γ⊂R m 必定落在R m 的一个二维线性子空间E 2⊂R m 中，此时self-shrinker 方程(1.4)就划归为一个二阶常微分方程.在维数n 2且余维数p =1时（即超曲面情形），Huisken [13]于1990年分类了所有紧致的具有非负平均曲率的self-shrinker ，证明了这样的self-shrinker 只可能是球面S n (√2n ).在1993年，Huisken [21]接着分类了具有非负平均曲率的完备非紧致self-shrinker.当加上第二基本形式及其第一、第二协变导数有界（即|A |,|∇A |,|∇2A |均有界），且self-shrinker 具有多项式体积增长的条件下，Huisken 证明了具有非负平均曲率的self-shrinker 只能是圆柱6曲率流的自相似解和应用面S k (√2k )×R n −k ，或Abresch-Langer 曲线Γ和平面的乘积流形Γ×R n −1.最近，Colding 和Minicozzi [2]去掉了Huisken 的分类定理中第二基本形式和其第一、第二协变导数有界的条件.注意在Huisken 和Colding-Minicozzi 的定理中，条件平均曲率非负是不能去掉的，因为Angenent [44]的例子就不满足平均曲率非负.另外，Kleene 和Møller [45]分类了所有嵌入完备的旋转对称的self-shrinkers.对任意余维数的self-shrinker 分类则变得更复杂，即使在条件|H |>0下也有新的例子，如Abresch-Langer 曲线的乘积Γ1×Γ2×···×Γm ⊂R 2m 是满足|H |>0的self-shrinker.2005年，Smoczyk [1]将Huiken [13,21]关于超曲面self-shrinker 的定理推广到了任意余维数情形.他将Huisken 定理中的条件“具有非负平均曲率”替换为“平均曲率向量H =0,∇⊥ν=0”，其中ν=H /|H |是主法向量，其余条件相同，则结论是满足这类条件的self-shrinker 只可能是球面S n +p −1(√2n )中的极小子流形，S k +p −1(√2k )中的极小子流形与R n −k 的乘积流形，或者Abresch-Langer 曲线与R n −1的乘积流形.受到Colding-Minicozzi [2]工作的启发，我们考虑将Smoczyk 分类定理中的条件：“第二基本形式及其第一、第二协变导数有界”去掉，即问题1.1在没有“第二基本形式及其第一、第二协变导数有界”的条件下，Smoczyk [1]的分类定理是否仍然成立？我们可以对这个问题给出一个部分的回答，这就是下面的定理.定理1.2(Li-Wei [46])设X :M n →R n +p 是完备非紧致的self-shrinker ，满足H =0和∇⊥ν=0，其中ν=H /|H |.进一步假设self-shrinker 具有多项式体积增长，且其第二基本形式满足|A |2−|A ν|2 c 对某个常数c 成立，其中A ν= ν,A 是沿主法方向上的第二基本形式.则M 必为下面两类之一：Γ×R n −1,N k ×R n −k .(1.10)其中，Γ是Abresch-Langer 曲线，N k 是球面S p +k −1(√2k )⊂R p +k 中的极小子流形，0<k =rank(A ν) n 为A ν的秩.定理1.2将Smoczyk [1]的分类定理中条件“第二基本形式及其第一、第二第1章引言7协变导数有界”减弱为非主法方向的的第二基本形式|A|2−|Aν|2有界.我们希望这一条件也不是必需的，虽然目前还不能证明.即便是如此，我们的定理1.2也已经能蕴含着Colding-Minicozzi[2]的定理了，因为在余维数为1时，主法向量ν自然平行且|A|2−|Aν|2为零，从而满足定理1.2的条件.作为定理1.2的应用，我们也将研究高余维self-shrinker的一些刚性定理.关于这方面的一些工作也见文献[47–51]等.1.1.3Self-shrinker的F-稳定性基于Huisken[13]1993年的论文，对欧氏空间中任意的子流形X:M→R n+p定义F-泛函F x,t0F x0,t0(M)=(4πt0)−n2Me−|X−x0|24t0dµ,x0∈R n+p,t0>0.(1.11)容易验证F-泛函是scaling不变的，即对任意的α>0,Fαx0,α2t0(αM)=F x0,t0(M).由Huisken[13]的单调性公式，若M t为平均曲率流的解且t>s,则F x0,t0(M t) F x,t0+t−s(M s).定义M的熵λ=λ(M)为λ(M)=supx0∈R n+p,t0>0F x,t0(M).(1.12)则对M t有λ(M t) λ(M s),(t>s).即熵λ(M t)在平均曲率流下关于t是单调非增的.在超曲面情形（即p=1），Colding-Minicozzi[2]证明了熵的临界点是self-shrinker.一个self-shrinker称为是熵稳定的，如果它是熵泛函的局部极小点.为了研究self-shrinker的熵稳定性，Colding-Minicozzi首先研究了self-shrinker的F-稳定性.首先他们计算了F x0,t0关于M,x0,t0的一阶全变分公式，证明了M是临界点当且仅当它是满足H=−(X−x0)⊥2t0,x0∈R n+p,0<t0∈R(1.13)的self-shrinker.满足式(1.4)的self-shrinker是上式中x0=0∈R n+p,t0=1的特殊情形.注意式(1.13)的self-shrinker可以看作是(R n+p,e−|X−x0|22nt0δij)中8曲率流的自相似解和应用的极小子流形，其中δij 为标准的欧氏度量.因为它是共形度量下的体积泛函(1.11)的临界点.然而，在通常意义下它是不稳定的，因为即使是将它在时空上平移一下，也能使其泛函的值减少.为此，Colding-Minicozzi 引入了F -稳定性的概念，将平移所产生的影响去掉：self-shrinker 称为是F -稳定的，如果对M 的任意变分，都存在x 0,t 0的变分使得F -泛函的二阶全变分非负.Colding-Minicozzi 随后证明了所有F -稳定的超曲面self-shrinker 都是球面或平面.我们下面将研究任意余维数的self-shrinker (p 1)的F -稳定性.沿着Colding-Minicozzi [2]的思路，我们首先计算了F -泛函的一阶和二阶变分公式，引入相似的F -稳定性概念，之后对一些特殊的任意余维数的self-shrinker 研究其F -稳定性.我们得到了如下定理，其证明思路借鉴了J.Simons [52]的球面中极小子流形的非稳定性的证明.定理1.3(Andrews-Li-Wei [53])设M n 是S n +p −1(√2n )的极小子流形，则X :M n →R n +p 作为self-shrinker 是F -稳定的当且仅当M 是球面S n (√2n ).我们也将研究具有平行主法向量场（即∇⊥ν=0,ν为平行于平均曲率向量的单位法向量）的self-shrinker 的F -稳定性.利用Smoczyk [1]的结论和定理1.2、定理1.3，我们可以得到如下的描述.定理1.4(Andrews-Li-Wei [53])设X :M n →R n +p 是紧致无边且具有平行主法向量场的self-shrinker ，如果M n 是F -稳定的，则M n 是球面S n (√2n ).定理1.5(Andrews-Li-Wei [53])设X :M n →R n +p 是嵌入的完备非紧无边，具有平行主法向量场和多项式体积增长的self-shrinker.如果进一步假定存在正常数c >0使得|A |2−|A ν|2 c ，其中A ν= ν,A 是主法方向上的第二基本形式.如果M n 是F -稳定的，则M 是平面R n .在证明定理1.5之前，我们先证明了如果N k 是球面S k +p −1(√2k )的闭的极小子流形，则N k 与R n −k 的乘积X :M n =N k ×R n −k →R n +p 作为self-shrinker 是F -非稳定的.当p =1时，这一结论以及定理1.4、定理1.5就回归到Colding-Minicozzi [2]的定理.在我们的论文[53]上传至arXiv 之后，第1章引言9我们了解到李莹英和吕杨凯[54]也计算了任意余维数self-shrinekr的F-泛函的一阶和二阶变分公式，并证明了Anciaux[55]发现的闭拉格朗日self-shrinker不是F-稳定的.关于self-shrinker的F-稳定性的其他研究，也可见最近C.Arezzo和J.Sun[56]、李嘉禹和张永兵[57]、L.Yang[58]的论文.1.1.4曲率流的非坍塌估计给定一个超曲面X0:M n→(N n+1,¯g)，设X:M n×[0,T)→(N n+1,¯g)为以X0为初值的嵌入超曲面曲率流，满足∂X(x,t)=−F(x,t)ν(x,t),X(·,0)=X0,(1.14)∂t其中ν是单位法向量，F为速度函数.本文我们假定F是超曲面主曲率κ= (κ1,κ2,···,κn)的一次齐次单调递增函数.超曲面的主曲率落在一个对称凸锥Γ⊂R n里.进一步假定F满足单位化条件F(1,1,···,1)=n.超曲面曲率流的非坍塌估计首先由汪徐家和盛为民[59]（一个相关的描述也见B.White[24]）对平均曲率流引进.他们证明了在欧氏空间中的平均曲率流下，如果初始超曲面为平均凸（即平均曲率H>0），则非坍塌性质在流下是保持的.一个平均凸的超曲面X:M n→R n+1称为是非坍塌的，如果任意点x∈M，都存在一个半径为δ/H(x)的球B(δ/H(x))包含着由X(M)所围成的区域Ω中，且x∈∂B(δ/H(x)).如果超曲面是非坍塌的，则最大内切球半径r in(x) δ/H(x).比较这里的非坍塌估计与Perelman[60]对Ricci流引进的非坍塌估计以及早期Cheeger-Gromov[61,62]对黎曼流形的非坍塌估计:在黎曼流形的情形，非坍塌估计是以一个与曲率有关的量来控制单射半径的下界；在超曲面情形，非坍塌估计是以超曲面的第二基本形式有关的量来控制超曲面内切球的半径.非坍塌性质保证了在作伸缩后，超曲面的第二基本形式一致有界.特别地，这样的超曲面序列可以容易地找到一个收敛子序列.汪徐家和盛为民的定理后来被Andrews[3]在2011年用极大值原理给出了一个简短的证明.Andrews发现非坍塌性质可以用一个函数不等式来等价地描述.这个函数定义在超曲面上的一对点上.随后在2012年，Andrews-10曲率流的自相似解和应用Langford-McCoy[4]进一步改进了这个想法：在欧氏空间R n+1中的曲率流，对任意的y=x和t 0，定义k(x,y,t)=2d2X(x,t)−X(y,t),ν(x,t) ,(1.15)其中d= X(x,t)−X(y,t) 是x,y的欧氏距离.函数k(x,y,t)在取遍所有y的上确界即为超曲面在x点的最大内切球的测地曲率.我们称¯k(x,t)= sup{k(x,y,t):y∈M,y=x}为流超曲面M t=X(M,t)在点(x,t)的内球曲率，k(x,t)=inf{k(x,y,t):y∈M,y=x}为流超曲面M t在(x,t)的外球曲率.注意由定义¯k(x,t)和k(x,t)是函数k(x,y,t)在非紧集合{y∈M:y= x}上的极值.但如文献[4]，可证得¯k(x,t) κmax(x,t)，且或者存在一点¯y∈M\{x}使得¯k(x,t)=k(x,¯y,t)，或者存在单位向量ξ∈T x M使得¯k(x,t)= h(x,t)(ξ,ξ)=κmax(x,t).类似地，k(x,t) κmin(x,t).曲率流(1.5)的解是内非坍塌的，如果存在常数C1>0使得k(x,t) C1F(x,t),∀(x,t)∈M×[0,T)；曲率流(1.5)的解是外非坍塌的，如果存在常数C2∈R使得k(x,t) C2F(x,t),∀(x,t)∈M×[0,T).在几何流的研究中，考虑定义在一对点上的函数这一想法首先被Huisken[63]和Hamilton[64,65]用在了曲线流和二维曲面上Ricci流的研究中.最近Andrews-Bryan[66–68]进一步改进Huisken和Hamilton的想法，给出了原文中定理的直接证明，不需要外在的辅助工具.在2012年，Brendle[69]利用Andrews[3,4]的想法证明了Lawson猜想.随后Andrews-Li[70]用类似的想法证明了Pinkall-Sterling猜想，并通过研究周期函数的单调性给出了三维球面中CMC环面的完全分类.本文我们将Andrews的非坍塌估计推广到单连通空间形式中的超曲面曲率流.单连通空间形式有三类，即欧氏空间R n+1、球面S n+1和双曲空间H n+1.我们统一记为N n+1(c)，c=0,±1.其中c=0对应欧氏空间；c=1对应S n+1={X∈R n+2: X,X =1}；c=−1为双曲空间H n+1，即Minkowski空间R n+1,1中满足{X∈R n+1,1: X,X =−1}的上半部分.函数k(x,y,t)形式上如(1.15)定义，不过此时内积 ·,· 分别替换为R n+2，或R n+1,1中的内积.。