解析几何 4.1 柱面锥面

x2 = - 4y
L
x2+(z – 2)2 = 4
O
y
x
2 x1 ( y1 1)2 ( z1 1)2 14
x1 2 y1 2 z1 3 0
且过（x1 , y1 , z1 )的母线为 x-x1 y y1 z z1 1 2 2
消去x1 , y1 , z1得圆柱面的方程为 8 x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 8 yz 18 y 18z 99 0
空间曲线作为射影柱面的交线
2 2 2 x z 4 y 4 z, L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
2 2 2 2 x z 4 z , x z 2 4, L: 2 L: 2 z x x 4 y 0. 4 y.
r r t uv
x f t Xu y g t Yu z h t Zu
z
M1
M
0
y
x
二、柱面的方程
例3 P84 例7 求以 z 轴为对称轴，半径为 R 的圆柱面的参数方程. 例4 P147 3
求过三条平行直线 l1 : x y z, l2 : x 1 y z 1 与 l3 : x 1 y 1 z 2
设点M(x,y,z)为圆柱面上的任意点，那么有
| M0 M v | 117 |v| 3
化简可得圆柱面的方程为 8 x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 8 yz 18 y 18z 99 0
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程 准线参数方程为 r t f t , g t , h t , 母线的方向数为 X , Y , Z
的圆柱面的方程
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系 吗？ z
o
x
y
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方
程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标） 的同名坐标轴。
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
F1 x Xt , y Yt , z Zt 0 F x, y, z 0 F2 x Xt , y Yt , z Zt 0
v
M1
例1 柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1, 2 2 2 2 x 2 y z 2,
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.

F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
《解析几何》 －Chapter 4
§1 柱面
cylinder
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
平面
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 定方向叫做柱面 族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder）， 的方向， 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
还有其它方 法吗？
解法2：把圆拄面看成是动点到轴线等距离的 点的轨迹，
因为轴的方向向量为v={1，-2，-2}，轴上的定点为
M 0 (0,1, 1), 而圆柱面上的点为M1 (1, 2,1), 所以 M 0 M 1 {1, 3, 2},
因此点M 1 (1, 2,1)到轴的距离为 | M 0 M1 v | 117 d |v | 3
Байду номын сангаас
再设
x x1 y y1 z z1 t 1 0 1
那么
x1 x t , y1 y, z1 z t ,
（x t ) 2 y 2 ( z t ) 2 1, 2(x t ) 2 2 y 2 ( z t ) 2 2,
(6)
(7) (8)
而母线与平面
解
x z 0 垂直，求这个柱面的方程 .
设M1(x1 ,y1 ,z1 )是准线上的点，那么过M1的母线为
x x1 y y1 z z1 1 0 1
2 2 2 且有 x1 y1 z1 1,
(4)
2x 2 y z 2
2 1 2 1 2 1
(5)
(6)代入（4）和（5）得：
由（7）和（8）得： ( z t ) 0
2
即
tz
（x+z) y 1
2 2
代入（7）或（8）得柱面方程为
x y 1 z 1 , 例2 已知圆柱面的轴为 1 2 2
点
(1, 2,1) 在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.
解 圆可以看作是球面与平面的 交线，这里圆拄面 的准线圆可以看成以轴上的点（0，1，-1）为中心
v
准线
母线
一、柱面的概念
母线
v
准线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 惟一的，而柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都 相交的曲线都可以作为柱面的准线.z
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
F1 x, y, z 0 Ⅰ 准线方程 C： F2 x, y, z 0
Ⅱ 母线l 的方向数：X , Y , Z
M1 C 分析： M1 x1, y1, z1 S M1 l
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0 x x y y1 z z1 1 t X Y Z
点（0，1，-1）到已知点（1，-2，1）的距离为
14为半径的球面，与过已知点（1，－2， 1）且垂直于 轴的平面的交线
x 2 ( y 1)2 ( z 1)2 14, x 2 y 2 z 3 0.
(10)
设（x1 , y1 , z1 )为准线圆上的点则有
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
三、柱面的判定定理
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交 线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱 面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z z y
O
o
y
x
o
x
y x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F1 x, y 0, F1 x, y 0, F2 x, z 0, L : 空间曲线 G x , y , z 0. F2 x, z 0, F3 y, z 0, F3 y, z 0,