单位脉冲函数

一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng[φ(t)] 的过程。
广义函数g(t)的定义为:

g(t) (t)dt N g [ (t)]
广义函数与普通函数的对应关系
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第 1 章 信号与系统的基本概念
广义函数的基本运算：
(1) 相等
若 N g1[ (t)] N g2[ (t)], 则定义 g1(t) g2 (t)

lim
0

d dt

(t)

d dt
δ函数的积分为单 位阶跃信号
阶跃信号的导
lim
0


(t
)
数为δ函数
δ
函
(t) lim
1
t2
e
d (t)
dt
数
0
的
(高斯函数序列 ）
其 他 定
(t) lim sin(t / ) 0 t
(取样函数序列)
3. δ
性质1 δ函数的微分和积分


(t)(t)dt (1) (t)(t)dt (0)


式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
(′t)
(1 )
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o (－ 1)
t
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激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数 奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.
普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t， 按一定的 运算规则 f 指定一个数值 y 的过程;
广义函数 g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1. 电路图表示
L
+
f(t)
i(t)
R
-
RL串联电路
2. 模拟框图表示
第 1 章 信号与系统的基本概念
上次课程回顾
1.0信号与系统 信号、系统的概念 1.1信号的描述和分类 确定信号与随机信号；连续信号与离散信
号；周期信号与非周期信号；能量信号 与功率信号 1.2信号的基本特性 时间、频率、能量和信息特性
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第 1 章 信号与系统的基本概念
注意Δ： (t) 信号ε(t) 在 t=0 处和ε((tt)-t0) 在 t=t0 处都是不连续(t－的0t) 。
1
1
1
oΔ
t
0 t 0
(a)

(t)


1
t
0t
2020/3/141 t
o
t
o
t0
t
(b)
(c)
图 1.4-1 单位阶跃信号
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冲激信号的取样特性与筛选特性。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列
离散时间单位阶跃序列定义为
(k)

(k
)

1
0
k 0 k0 1
…
－ 2－ 1 0 1 2 3 4
k
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狄拉克(Dirac)定义式：(t)=0 , t0 表明δ函数除原点以 (t)= , t=0 外，处处为零，但
(t) dt = 1 其面积为1。
2) 冲激信号的图形表示
(t)
(t t0 )
(1)
(1)
t
3)冲激信号实例
t t0
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流
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第 1 章 信号与系统的基本概念 性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
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第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 有
f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
i C (t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
说明： (1)冲激信号具有强度：
其强度就是冲激信号对时间的定积分值。 在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
(表f2()征t冲)作激 用信时号f间的(极物)短理(t，意作义)用：d值很大 的f 物(k理现)象(t的数k学模)型 k
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第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 – 2 计算下列各式：
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解：
第 1 章 信号与系统的基本概念
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第 1 章 信号与系统的基本概念
注意：
1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是
后向差分
(k) (k) (k 1) (k)
k
(k) (n)
迭分
n
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5 系 统 的 描 述
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
输入f(t)
防混迭 滤波器
1 a

1 an

(n)
(t)
当n=0和1时，分别有
(at) 1 (t)
a
'(at) 1 1 '(t)
aa
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第 1 章 信号与系统的基本概念
性质5 奇偶性
(n)(at)
1 a

1 an

(n)
(t)
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
1.4.2 连续时间冲激信号

(t)
lim
0
p
(t)
1
p (t)

d dt
(t)



0
0t 其他
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图 1.4-3 单位冲激信号
（δ函数）
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1)冲激信号的定义

(t) lim 0
p (t)
(2) 相加
若 N g [ (t)] N g1[ (t)] N g2[ (t)], 则定义
g(t) g1(t) g2 (t)
(3) 尺度变换
(4) 微分
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第 1 章 信号与系统的基本概念
2. δ函数的广义函数定义
按广义函数理论，δ函数定义为

f (t) '(t t0 )dt f ' (t0 )
单位冲激偶 的性质之二
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第 1 章 信号与系统的基本概念 性质4
设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可 将δ(n)(at)表示为
根据广义函数相等的定义， 可得到
(n)(at)
零，所以任一序列 f(k) 与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其
幅值等于 f(k) 在 k=0 处的值，
f (k) (k) f (0) (k)
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
(0)
(t
)
(t
)dt
根据广义函数相等的定义，得:
f (t) (t) f (0) (t)
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第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分



f (t) '(t)dt f (0) '(t)dt f '(0) (t)dt f '(0)



同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
上次课程回顾
1.3信号的基本运算 相加和相乘 翻转、平移和展缩 导数和积分 差分和迭分
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4 阶跃信号和冲激信号
1它.4(们t.1)在阶连信l跃续im号信时0 与号间系和(阶t)统冲跃分激信析信10号中号((tt具是有描00))重述要一意类义特。定物(t理现t0象) 的 数10学tt模型tt，00
f (0)
δ函数的筛 选性质



[
f
(t
)
(tf)(]t)(t
)(dt t
t0

)
f((tt)0)f(t()t(t0))dt
f (0)(0)

f(0f)(t) ((tt) (tt0))ddtt

f

(t0 )f
A/D
数字处 理系统
D/A
信号处理系统
平滑滤 波器
输出
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5.1 系统模型
所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。 形式(以电系统为例)： 电路图 模拟框图 信号流图 数学方程 按照一定规则建立的用于描述系统特性－－－－－数学模型
(3)冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
冲 关t激系 (信：x)号dt与阶1跃0 (信(tt号0的0)) (t)
(t)

lim
0
p (t)
第 1 章 信号与系统的基本概念 δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
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第 1 章 信号与系统的基本概念
性质2 δ函数与普通函数f(t)相乘
普通函数
f (t
)f(t)(与t)广dt义函f数(δ0()t)的 乘 积(t)，d有t :
(，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(tt0)
的t=t0时刻，则积分结果必为零。


(t) (t)dt (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的 展缩特性将其化为1/|a| (t+b/a)形式后，方可利用
第 1 章 信号与系统的基本概念
应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：
f1(t)
f2(t)
f3(t)
sin 0t 1
1
sin 0t
1
o
t
o
t0
t
－ 2 － 10 1 2 3 t
－1
－1
－1
(a)
(b)
(c)
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第 1 章 信号与系统的基本概念
义 ：
(t) lim
1百度文库
t
e
0 2
(双边指数函数序列)
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.3 广义函数和δ 常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。 单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
表明：单位冲(n激) (函t数) δ(t)(的偶1)阶n导(n数) (是t)t 的偶函数，
显然， 当n为而偶其数奇时阶，导数有是 t 的奇函数。
(n)(t) (n)(t)
当n为奇数时，有
(n) (t) (n) (t)
n 0,2,4, n 1,3,5,
2. 单位脉冲序列
第 1 章 信号与系统的基本概念
离散时间单位脉冲序列定义为

(k
)

1 0
k 0 k 0
((kt)
1
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－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3
k
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第 1 章 信号与系统的基本概念
因为只有当k=0时δ(k)的值为1，而当k≠0时δ(k)的值均为

(t) (t)dt (0)
上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。 通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
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