24.1 圆的有关性质(第4课时)
九年级数学下 第24章 圆24.2 圆的基本性质第4课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系说课
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系教材分析：本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系。
目的分析：知识与技能目标：（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。
（2）结合图形让学生理解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。
过程与方法目标：培养学生观察，分析，归纳的能力，渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。
情感与态度目标：进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
人教版九年级数学上册《圆的有关性质(第4课时)》示范教学课件
连接OA，OB．
根据圆周角定理，得∠C1＝
1 2
∠AOB，
∠C2＝
1 2
∠AOB，∠C3＝
1∠AOB， 2
∴∠C1＝∠C2＝∠C3．
由此可得，同弧所对的圆周角相等．
C2
C1
C3
O
A
B
（2）等弧所对的圆周角
如图，在⊙O中，如果 AB ＝DE ，那么它们所对的圆周角∠C1 和∠C2的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？
它们所对的弧一定相等．
O B
理由：在同圆或等圆中，如果两个圆周
角相等，那么它们所对的圆心角相等，因此 它们所对的弧也相等．
C
E
D
探究 仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？
如果确定，它是多少度？
探究 仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？
如果确定，它是多少度？
A
O
B
∴∠AOD＝∠BOD， ∴AD＝BD．
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
D
∴AD＝BD＝ 2 AB＝5 2
2 (cm) ．
巧用圆周角定理及其推论解决两类问题 （1）解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是 圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利 用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半 等关系求解． （2）在圆中有直径即可连接圆一点与直径的两个端点，构 造直径所对的圆周角，这是圆中添加辅助线的一种常用方法．
如图，∠C＝90°，
C
根据圆周角定理：圆周角∠C的度数等
O
于它所对的圆心角∠AOB度数的一半，
A
B
∴∠AOB＝180°．
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆圆的有关性质PPT
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求
人教版九年级上册数学圆的有关性质 四课时教学设计(教案)
教学时间课题24.1.1 圆课型新授课教学目标知识和能力探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．过程和方法体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．情感态度价值观在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．教学难点圆的运动式定义方法教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．图1学生活动设计：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．教师活动设计：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情．二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）图2学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？图3学生活动设计：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．教师活动设计：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC．活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？（课件：车轮；课件：方形车轮）学生活动设计：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．教师活动设计：引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．图4三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动5：如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由师生活动设计：教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？图5师生活动设计：首先求出半径，然后除以20即可．〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）．平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）．小结：圆的两种定义以及相关概念．在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OA M与△OB M都是直角三角形，又O M为公共边，所以两个直角三角形全等，则A M＝B M．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此．AM=B M，AC=BC，同理得到AD BD教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动3：如图3，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，图7 图8师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．〔解答〕如图8所示，连接作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于则AE =21AB = 30 cm ．令⊙的半径为R ，情感培养学生积极探索数学问题的态度及方法．态度价值观教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由AB AC=，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．〔证明〕∵AB AC=∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．图3学生活动设计：学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝23×180°＝120°．教师活动设计：此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？师生活动设计：小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．图4教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系．作业设计必做习题24．1 第2、3题，第10题．选做P88：11、12教学反思教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课教学目标知识和能力1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．3．能运用圆周角的性质解决问题．过程和方法1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情感态度价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”问题与情境师生行为设计意图[活动1 ]演示课件或图片：教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．教师结合示意图，给出圆周从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．引导学生对图形的观察，发问题1如图：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，他们的视角（AOB ∠和ACB ∠）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，他们的视角（ADB ∠和AEB ∠）和同学乙的视角相同吗？角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（AB ）所对的圆心角（AOB ∠）与圆周角（ACB ∠）、同弧所对的圆周角（ACB ∠、ADB ∠、AEB ∠等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．教师关注：1．问题的提出是否引起了学生的兴趣；2．学生是否理解了示意图； 3．学生是否理解了圆周角的定义；4．学生是否清楚了要研究的数学问题．现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．［活动2］问题1同弧（弧AB ）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 的大小关系是怎样的？问题2同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？O BAC BOA C D E教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论． 在活动中，教师应关注：1．学生是否积极参与活动； 2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化．1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2．改变圆心角的度数； 3．改变圆的半径大小．活动2的设计是为 引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．问题5如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？问题6如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．问题6提出后，教师关注：1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解；3．学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD．［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．教师布置作业．通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加DBOAC。
24.1.4圆周角定理及其推论(教案)-2023-2024学年九年级上册数学(人教版)
一、教学内容
本节课选自人教版数学九年级上册第24章“圆”的24.1.4节，主要教学内容包括圆周角定理及其推论。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
2.圆周角定理推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
首先，我发现学生们在理解圆周角定理的基本概念时，普遍感到比较困难。尽管我通过动态演示和模型操作来帮助他们形象地理解，但似乎效果并不如预期。在今后的教学中，我需要寻找更直观、更贴近学生生活实际的教学方法，让他们能够更容易地接受和理解这个定理。
其次，在案例分析环节，我注意到学生们对实际问题的解决能力还有待提高。他们往往知道定理，但在应用时却不知道从何下手。针对这个问题，我计划在后续的教学中增加一些典型例题的讲解，并引导学生从多个角度去思考问题，培养他们的解题技巧和思维灵活性。
-强调圆周角为90°的圆弧为四分之一圆，通过画图展示。
-圆内接四边形对角互补，通过具体例子让学生理解内接四边形的性质。
-实践应用：通过典型例题，让学生应用定理和推论解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：圆周角定理及其推论的理解和运用。
-难点解析：
-理解难点：
-圆周角与圆心角的关系：学生可能难以理解圆周角为何等于圆心角的一半，需要通过动态演示或模型操作来直观展示。
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
圆的有关性质——弧、弦、圆心角_PPT
∴ CD=AB
弦等
弧等
19
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
20
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：A△CO⌒=EBFD的⌒形状，并说明理由；
2）如果OAEB与=C⌒ODF，相⌒那等么吗？为A什B=，么CD？ AOB CO。D
3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB ，CD AB。=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等
知A E B
一 得
O· D
二三 C F 16
例1 如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C,∠ACB=60°,
一个角度．
30°
N
N′
15°
O
可以看出，点 N′在圆O上．
4
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一个角度．
60°
N′
N
30°
O
可以看出，点 N′也在圆O上．
5
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一°
O
可以看出，点 N′还在圆O上．
6
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
ED C B
O
弧等
圆心角等
18
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
圆周角的概念和圆周角定理
24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。
24.1.1 圆
4.顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是( )
(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形 C
5.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( D )
(A)70°(B)60°
(C)50°(D)40°
6.下列语句中,正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等A ;
类型二:圆的定义应用 例2 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD交于点O. 求证:点A,B,C,D在以O为圆心的圆上.
证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴OA=OB=OC=OD, ∴点A,B,C,D在以O为圆心的圆上.
【方法技巧】 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.
1.下列命题中,其中正确的有( A )
(2)圆的静态定义:到
的距离等于
的点的集合.
定点
定长
2.与圆的有关概念
(1)弦:连接圆上任意两点的 线段 叫做弦,
直径:经过圆心的 弦 叫做直径.
直径:经过圆心的 弦 叫做直径.
(2)弧:
任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.半圆:圆的任意一条
半圆.
弧
的两 直径
优弧: 大于 半圆的弧叫做优弧.用 三 个点表示,如图中 是优弧.
⑦等弧的长度相等
【规律总结】 直径是圆中经过圆心的特殊的弦,是最长的弦,并且等于半径的2倍, 是在研究圆的问题中出现次数最多的重要线段,但弦不一定是直径,过圆上一点和圆 心的直径有且只有一条;半圆是弧,而弧不一定是半圆;“同圆”是指圆心相同,半径 相等的圆,“同心圆”“等圆”指的是两个圆的位置、大小关系;判定两个圆是否是 等圆,常用的方法是看其半径是否相等,半径相等的两个圆是等圆;“等弧”是能够 互相重合的两条弧,而长度相等的两条弧不一定是等弧.
人教版九年级数学上册第24章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1
圆
导入新知
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新知
骑车运动
看了此画,你有何想法?
【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形
可以吗？
素养目标
2. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心
圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了
解它们之间的区别和联系.
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
A
D
O
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
巩固练习
变式题1如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于
点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两
三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
即(2x)2 x 2 102
解得：x=2 5
AO 2
巩固练习
变式题3 如图，在扇形MON中， ∠MON=45°，半径
MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，
顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
N
A
D
x
x
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
探究新知
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长
的点都在同一个圆上吗？
有间隙吗？
圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.
满足什么条件的？
人教版九上数学第24章 圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时1圆周角定理及其推论教案【教材内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】知识与技能：1．了解圆周角的概念；2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；【教学重点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导．【教学难点】1．探究圆周角的定理的存在；2．运用数学分类思想证明圆周角的定理．【教学过程设计】一、情境导入进行中的足球比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究知识点一：圆周角定理例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．例3 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长例4 如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明例5 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算例6 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD ＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明例7如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补．三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【板书设计】24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1 圆周角定理及其推论1.圆周角的概念2.圆周角定理及推论3.圆内接四边形的性质4.应用圆周角定理及推论进行计算【课堂检测】C1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin cC =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin bB=2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin cC =2R教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．人教版九年级数学（上）第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 课时1圆周角定理及其推论学案【学习目标】 知识与技能1．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题； 3．了解拱高、弦心距等概念．过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法．情感、态度与价值观在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质 进行证明，培养学生的创新意识． 【学习重点】垂径定理及其推论． 【学习难点】探索并证明垂径定理． 【自主学习】一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【新知探究】一、小组合作1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53 __cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．【学习总结】学生总结本节课的收获与困惑．(2分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．教师点拨：圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。
九年级数学上册第二十四章《圆》PPT课件
证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
·O
C
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的 弦，但弦不一定是直径.
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等 圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区 别和联系.（难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于 定长r的点的集合．
D
r
A
C
r O· r
r r
E
要点归纳
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
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典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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C
∵ CD 平分ACB，
∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ． ∴ AD=BD．
A
O
B
在 Rt△ABD 中，
AD2+BD2=AB2 ，
∴ AD=BD=
D
= （cm）．
6．课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样探究圆周角定理的？在证明过程 中用到了哪些思想方法？
所对的圆心角的一半？
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA=OB，
A
∴ ∠BAD=∠B．
又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B，
∴
O
同理， ∴
B D
C
3．证明猜想
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
4．探究
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A
D
O
B
C
4．探究
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
A
O
B
5．应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
3．证明猜想
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学 们完成证明．
（2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴
B
C
3．证明猜想
（3）如图，如何证明一条弧所ห้องสมุดไป่ตู้的圆周角等于它
7．布置作业
教科书第 88 页 练习 第 2，3，4 题 ．
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第4课时）
课件说明
• 本课是在学习了垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角 的关系的基础上探究同弧（或等弧）所对圆周角之间 以及圆周角与圆心角之间的数量关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解并证明圆周角定理及其推论； 2．经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的 思想方法．
• 学习重点： 圆周角定理．
1．思考和练习
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 如：∠ACB．
C
O
A
B
1．思考和练习
教科书 88 页 练习 1．
2．探究
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？ C
O
A
B
2．探究
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角
C 解：连接 OD，AD，BD，
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ACB=ADB=90°． 在 Rt△ABC 中，
A
O
B
BC= = =8（cm）
D
5．应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．