学习单垂径定理
垂径定理优秀课件
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
垂径定理的讲义
2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线直径所在的直线都是它的对称轴;垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等;相关概念：弦心距：圆心到弦的距离垂线段OE;应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE;3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=10米,净高CD=7米,则此圆的半径OA=A5 B7 C375D377图1练习1、已知：在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求圆的半径.练习2、如图,在⊙O 中,AB 是弦,C 为的中点,若32=BC ,O 到AB 的距离为1.求⊙O 的半径.练习3、如图,一个圆弧形桥拱,其跨度AB 为10米,拱高CD 为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图2所示,则这个小孔的直径AB mm ．练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB 是 cm.DCO AB图3BA8mm图2三、求弦心距例3.如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .1求证：四边形OEHF 是正方形. 2若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.练习3.如图4,O 的半径为5,弦8AB =,OC AB ⊥于C ,则OC 的长等于 ．四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示,已知AB =16m,半径 OA =10m,高度CD 为_____m ．五、求角度例5.如图6,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠AOC =60º,则∠B = ．六、探究线段的最小值例6.如图7,⊙O 的半径OA =10cm,弦AB =16cm,P 为AB 上一动点,则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．七、其他题型例7、如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD 的长.B DCE O图4 COABD CAO图5CODA B图6C OABP图7例8、在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB ∥CD,求：AB 与CD 之间的距离.例9、如图所示,P 为弦AB 上一点,CP ⊥OP 交⊙O 于点C,AB ＝8,AP:PB ＝1:3,求PC 的长;例10、如图所示,在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E,求AB 和AD 的长;例11、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D,求证：AD=21BF. 例12、已知：如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是CABD EOABDEFC弦,于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.例13、某机械传动装置在静止状态时,如图所示,连杆PB 与点B 运动所形成的圆O 交于点A,测得PA ＝4cm,AB ＝5cm,⊙O 半径为4.5cm,求点P 到圆心O 的距离;。
垂径定理PPT演示课件
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
初中数学垂径定理的巧妙学习
初中数学垂径定理的巧妙学习垂径定理是“圆”中最基本、最重要的定理之一，是《圆》一章的重要考点，同时垂径定理及其推论在解决问题中有着广泛的应用．由于垂径定理及其推论涉及的弦 （线段）、弧以及相等、垂直等关系较多，初学者不易掌握，本讲将从三个方面介绍如何学好垂径定理．一、正确理解圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴．根据对称性，把图1中的圆按直径CD 对折，点A 和点B 重合，所以直径CD 垂直平分弦AB ．这个结论用文字叙述就是：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 从命题的角度来分析这个定理的结构，可知题设有两个：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD AB ）；结论有三个：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（）；⑤平分弦所对的劣弧（）．在具体运用时，常这样表述：因为CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， 所以AE=BE ，，．总之，理解圆的轴对称性是理解垂径定理的关键．二、巧妙记忆1．事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备下列五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个．①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．譬如：（1）①② ③④⑤，即是垂径定理；（2）①③ ②④⑤，即是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；按照这种方式，还可以得到其他一些真命题，如：②③ ①④⑤、①④ ②③⑤、……，它们都是正确的．相信同学们还能写出余下的结论．特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直．（2）垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据．2．熟悉以下基本图形、基本结论．⊥AC BC =AD BD =AD BD =AC BC =⇒⇒⇒⇒图1三、灵活运用例1 如图（1），⊙O 中，弦的长为cm ，圆心到的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm解析：过圆心O 作于C ，如图（2）则又由垂径定理得， 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：．即⊙O 的半径长为5cm ，故选C ．点评：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例），构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理和勾股定理来求解．例2 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图(1)所示，求这个小孔直径AB 的长．分析：小孔直径AB 正是⊙O 的弦，因此我们可利用垂径定理将半径OA 、弦长AB 的一半AC 及弦心距OC 转化到一个直角三角形中，从而使问题获解．解：连接OA （如图(2)），因为OC ⊥AB 且OC ＝9－6＝3，故在Rt △AOC 中， 有． 根据垂径定理，得．点评：垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长和弓形高等数量的计算，要能灵活运用．例3 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图(1)是水平放置的破裂管道的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．分析：把它抽象为数学问题，就是已知⊙O 中，弦AB=16cm ，弓形高是4cm ，求⊙O 的半径长．本题的解题关键是作垂直于弦的半径，然后构造直角三角形，应用勾股定理求解．但我们发现在构造的Rt△ADO 中（如图(2)），只知道一条边AD 的长，无法直接用勾股定理，因此我们可设△O 半径为x ， 则OD=x -4，然后利用勾股定理列出方程便可以求出圆的半径长．解：如图(2)，设圆形截面的圆心为O ，过O 作OC△AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OA ． △ OC△AB ， △AD ＝21AB ＝21×16＝8（垂径定理）． 由题意可知，CD ＝4cm ． AB 6O AB OC AB ⊥4OC cm =12AC AB ==3cm 2222345OA AC OC =+=+=22226333AC OA OC =-=-=263AB AC ==图(1) 图(2)图(1)图(2) 图(1) 图(2)设半径OA=x ，则OD ＝（x －4）．在Rt△AOD 中，由勾股定理得：OD 2＋AD 2＝OA 2， △( x －4)2＋82＝x 2．△x ＝10．点评：本题利用勾股定理列方程求解，这是方程思想在解几何计算题中的应用．在利用垂径定理解决计算问题时，用方程思想解题的关键是若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们便可用勾股定理建立方程求解．例4 如图（1），AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你写出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．答：OE=OF ．证法1：连接OA 、OB ，如图(2)．∵ OA=OB ，∴ ∠A=∠B ．又 AE=BF ，∴ △ADO ≌△ADO （SAS ）． ∴OE=OF ．证法2：作OM ⊥AB 于M ，如图(3)．∴ AM=BM （垂径定理）．∵ AE=BF ，∴ EM=FM ．∴ OE=OF （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．点评：比较本题的两种证明方法可以看出，运用垂径定理要简单的多．【小结】1．本讲主要学习的内容：垂径定理及垂径定理推论的应用．2．在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理和勾股定理来求解．3．在利用垂径定理解决计算问题时，若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们可用勾股定理建立方程求解．希望同学们通过本讲的学习能够掌握垂径定理，并能灵活运用垂径定理．图(1) 图(2) 图(3)。
垂径定理及其推论ppt课件
B
于点C．
3． 作AC、BC的 垂直平分线．
4． 三条垂直平分
线交于一点O．
O
点最新O版就整理是pptA⌒B的圆心．
28
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29
你
能
破
镜 重
A
圆
吗？
m
n
C
B O
作法：
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，
交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
B
圆中一个重
CD⊥AB,
要的结论,三
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
种语言要相
互转化,形成 整体,才能运 用自如.
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6
看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
zxxkw
学科网
学 科网
E
E
E
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7
典例精析
例1 如图，已知在⊙O中，弦
AB的长为8厘米，圆心O到AB的 A 距离为3厘米，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
E
B
.O
连结OA。则OE＝3 ∵AB＝8，
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
垂径定理方法总结
垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。
这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。
接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。
在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。
只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。
稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。
那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。
比如求弦长、弧长、圆心角等等。
优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。
举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。
这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。
哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。
赶紧把它用起来吧！。
垂径定理PPT课件(人教版)
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
垂径定理 (解析版)
垂径定理（解析版）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（如图 1 所示）2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（弦 AB 不是直径，如图 2 所示）图1 图2要点诠释：(1)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.（2）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【同步训练】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC 的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmOD 2 + AD2 42 + 323 【答案】D ；【解析】连接 OA ，∵ OC⊥AB∴ AD = AB =3 .Rt△AOD 中， AO = = = 5．∴ DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D ，若 AC=8cm ，DE=2cm ，求 OD 的长．【答案】 OD =3cm ．【解析】解：∵ E 为弧 AC 的中点，∴ OE ⊥AC ，AD AC =4.设 OD 的长为 x ，则：OE =OD +DE= x+2 =OA.在 Rt △OAD 中，∵ OA 2 =OD 2+AD 2∴（2+ x ）2= x 2+42，x =3 .∴ OD =3cm ．类型二、垂径定理的综合应用3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m ，拱的半径为 13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ． 5 m【答案】B ；【解析】如图 2 所示，由题意可知：AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为 AB 的中点，OC 与 AB 相交于点 D 。
27.3 垂径定理(2)学习单
27.3 垂径定理（2）
1. 垂径定理： 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径
这条弦，并且 这条弦所对的弧.
用数学语言表达为：
∵CD AB ⊥且CD 是直径
∴AM = ，
AD = .
2. 如图，已知O 的半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ，AD 长2厘米，弧AB 长5厘米. 求：（1）AB 的长；（2）弧AC 的长.
3. 如图，已知O 的弦AB 长为l0，半径长R 为7，OC 表示AB 的弦心距，求OC 的长.
4. 已知：O 的半径长为50厘米，弦AB 长50厘米.
求：（1）点O 到AB 的距离；（2）AOB ∠的大小
B A 5.阅读理解：概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，下题中的拱高也叫弓形高.（说明：弓形的弧可以是劣弧，也可以是优弧或半圆. 弓形中的曲线一定是圆弧，拱形中的曲线不一定是圆弧. ）
例 一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形. 已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）约为40米，拱高（弧的中点到弦的距离）约为10米，求桥拱所在圆的半径长.
解：如图，用 AB 表示桥拱， AB 所在圆的圆心为O ，O 的半
径长为R . 联结
AB ，过圆心O 作半径OC 垂直于弦AB ，垂足为
点D. 根据垂径定理，可知D 是AB 的中点，C 是 AB 中点，则CD 就是拱高. 由题设知
6.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径.
7. 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，求OB 的长.。
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
24.1.2 垂径定理 人教版九年级上册数学课件
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE，
A CED B
即 AC＝BD.
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
垂径定理九年级数学知识点
垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。
在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。
一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。
根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。
2. 直径的两个垂径互相垂直。
3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。
了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。
二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。
换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。
三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。
下面我们通过具体的例子来进行证明。
假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。
我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。
首先，连接OA和OB。
根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。
同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。
由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。
根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。
因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。
根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。
所以弧度CA等于角CBA的度数。
同理，弧度CB等于角CAB的度数。
既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。
所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。
四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。
通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。
此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。
初中数学垂径定理学习技巧
初中数学垂径定理学习技巧学习初中数学垂径定理时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义和性质：首先确保你清楚垂径定理的定义和性质。
垂径定理指的是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
理解这个定义是掌握垂径定理的基础。
2.绘制图形辅助理解：在纸上绘制一个圆，并标明直径AB。
沿AB对折，然后在两半圆上任找一重合点记为C和D。
打开纸张，连接C和D，然后将AB和CD的交点记作E，圆心记作O。
通过观察和操作，你会发现AC与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合。
这个过程可以帮助你直观地理解垂径定理。
3.掌握推论：垂径定理包含多个推论，如平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧等。
掌握这些推论可以加深对垂径定理的理解，并拓展其应用范围。
4.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对垂径定理和推论的理解。
从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。
5.关联和对比：将垂径定理与其他相关的数学概念（如圆心角、弧长等）进行关联和对比，找出它们之间的联系和区别。
这样可以帮助你更好地理解和记忆垂径定理。
6.总结归纳：将学习到的垂径定理和推论进行归纳整理，形成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
7.参加讨论和求助：与同学或老师讨论垂径定理相关的问题，通过交流和分享来加深对它的理解。
遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。
8.持续复习：定期复习垂径定理和推论，确保你能够长期记忆和应用它们。
在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧和方法，你将能够更好地掌握初中数学中的垂径定理知识，提高解题能力。
同时，也要保持对数学的热情和兴趣，不断探索和挑战自己。
3.3垂径定理(1)
2.如图，在⊙O 中，半径 OC⊥AB 于点 D，已知⊙O 的半径为 2，AB=3，求 DC 的长.
3.一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 5cm，瓶内液体的最大深度 CD=2cm（如图） ， 求截面圆中弦 AB 的长.
4.已知：如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD.求证：AC=BD.
温州市绣山中学 九年级上册 数学学习任务单
（课型：新授课
主备人：徐东旭
审核人：
）
Байду номын сангаас
3.3 垂径定理（1）
班级：
姓名： 摘记
【学习目标】经历探索垂径定理的过程，探索并掌握垂径定理，会运用垂径定理解决 一些简单的几何问题. 【学习重点】垂径定理的导出过程有一定的难度，是本节课重难点. 【学习过程】 任务 1.探索垂径定理 圆是轴对称图形吗？对称轴是什么? 有几条对称轴? 如图，沿着直径 CD 对折，哪些线段和哪些弧互相重合？你能证明它们吗？
垂径定理：___________________________________________________. 垂径定理的几何语言:
= BD . 练习：已知：如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径， OA⊥CD 于点 P，求证： BC
任务 2. 已知 AB ，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
A
B
任务 3. 例 2 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16.求截面 圆心 O 到水面的距离.
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班级：
姓名： ） 订正
1.⊙O 的弦 AB 的长为 8cm，弦 AB 的弦心距为 3cm，则⊙O 的半径为（ A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm
初三数学下垂径定理—知识讲解(提高)+巩固练习
垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，22552OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．∵∠OCA=30°，∴=33，即=3，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.垂径定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心COBDA3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75° D．15°或75°5.（•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．（•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（•杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．AEOFBPEODCBA【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ． 【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则()()22221R R =+-，由此得R=32， 所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C ；【解析】连接CD ，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD ，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB ﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】42 ．【解析】解：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=DE=CD=4cm ，∵OA=OC ，∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE 为△AOC 的外角， ∴∠COE=45°，∴△COE 为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm ， 故答案为：411．【答案】23cm .【解析】连接OC,易求CF= 3. CD=23cm . 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB =三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴222222227.5 4.562126335AE OA OE AB AE AC AE CE =-=-====+=+=，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB. 由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得210a =，2410AB a cm ==. 15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F.∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.A A E EP O P O F FC C PA=PC PA=PC16.【答案与解析】 解：（1）过点O 作AB 、CD 的垂线，垂足为M 、N ，如图1，图1NMEODC BA∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM=ON ， ∴AB=CD ；（2）如图2所示，A BC DOEMN图2由（1）知，OM=ON ，AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴DN=CN=AM=BM ，在Rt △EON 与Rt △EOM 中， ∵，∴Rt △EON ≌Rt △EOM （HL ）， ∴NE=ME ，∴CD ﹣DN ﹣NE=AB ﹣BM ﹣ME ， 即AE=CE ，∴DE ﹣AE=DE ﹣CE=DN+NE ﹣CE=CN+NE ﹣CE=2NE ，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．11 / 11。
《垂径定理》课件1
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
垂径定理——邵明峰
《垂径定理》专题
一、垂径定理地位与作用
垂径定理是圆的轴对称性最完美体现，是证明线段相等、角相等、直线垂直的重要依据。
是每年中考必考的知识模块。
二、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
垂径定理包含五个方面内容：
①过圆心②垂直于弦③平分弦
④平分弦所对劣弧
⑤平分弦所对优弧
“知二推三法”
三、应用
类型1：利用垂径定理求线段的长
1、已知AB是⊙O的弦，半径OA=20，∠AOB=120°，求线段AB的长。
2、CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，求BE的长。
总结归纳：如图是垂径定理应用的基本图形，设半径为R，CD=a，OE=d，BE=h，∠C=α，∠COB=β。
已知六个量中任意两个量（至少有一个是边）就可以求出其余的量。
类型2：利用垂径定理证明
3、已知两个同心圆，大圆弦AB交小圆于C、D两点，
求证：AC=BD。
类型3：利用垂直定理定圆心
残破叶片，请你用所学知识将其复圆。
类型4：利用垂径定理解决实际问题
有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米，求：
（1）桥拱的半径
（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺道过吗？
类型5：垂径定理的综合应用
AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
谢谢同学们！再见！。
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学习单：垂径定理
教学目标：理解并验证垂径定理，能用垂径定理解决实际问题重点：垂径定理及其运用．
难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程
一、复习
圆是轴对称图形，它的对称轴是
二．探究垂径定理
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？．
2．通过以上探究得到下面的定理：
垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的
用字母表达：
推论：平分弦（不是）的直径于弦，•并且平分弦所对的
用字母表达：
三．垂径定理的应用
B
A
O
M
（1）（2）（3）（4）1．（2014•广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为．
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为12cm圆心O到AB的距离为8cm则⊙O的半径是
3．如图，⊙O的直径为26，圆心O到弦AB的距离OM的长为5，则弦AB的长是
4．(2014年广西）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为
5．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
你认为AC和BD有什么关系？
6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长
(5) (6)
7.例题分析:书本P82例2
8.书本P83练习第2题
9.书本P89复习巩固第2题
四.拓展提高
1．如图，圆O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM
的长的最小值为了，最大值为
2．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，
求直尺的宽．
(1) (2)
3.已知⊙O的直径为10 cm，⊙O的两条平行弦A B＝8 cm，C D
＝6 cm，求平行弦A B、C D间的距离.
五．小结：垂径定理
垂径定理推论
利用垂径定理解决相关问题最常用的辅助线：过圆心作弦的线。