§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念

xi=xixi1 Wi=F(i)xi
(2)近似求和
n
n
W Wi F (i )xi
i 1
i 1
(3)取极限 =max{x1,x2,...,xn}
n
W
lim
0
i 1
F (i )xi
原型3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [a,b] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
取i=xi , (i=1,2,...,n)
n
n
n
f (i )xi i 2xi xi 2xi
i 1
i 1
i 1
n ( i )2 i1 n
1 n
1 n3
n
i2
i 1
1 n3
n(n
1)(2n 6
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1)
1 6
(1
1 n
)( 2
1 n
)
1 x2dx 0
n
lim
0
i 1
i
2xi
(0n)
lim 1 (1 1 )(2 1 )
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
原型2 求变力所作的功 mF
oa
bx
设质点m受水平力F的作用沿x轴由
点a移动到点b
若F是常量,则它对质点所作的功为:
W=F(ba)
若F不是常量,而是质点所在位置x的连 续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?
(1)分割 a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b
在每个小区间[xi1, a
xi]上任取一点i o x1
b
x xi1ixi xn1
以[xi1,xi]为底, f(i)为高的小矩形面积为
Si=f(i)xi
曲边梯形面积的近似值为
n
S f (i )xi i 1
当分割无限加细,即小区间的最大
长度=max{x1,x2,...,xn}0时,
曲边梯形面积为:
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
如图, 在区间[a, b]内插入n1个分点
a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b
把区间[a,b]分成n y 个小区间[xi1,xi], 长度为xi=xixi1
曲边梯形面积
y
A1
a
A2
曲边梯形面积的负值
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx 0
解: 将[0,1]n等分
分点为:
xi
i n
(i=1,2,...,n)
子区间[xi1,
xi]的长度xi
1 n
(i=1,2,...,n)
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
i 1
（3）取极限 t max{ t1 , t2 , , tn }
n
路程的精确值
s
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
上述三个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、 定积分的概念
分割、近似求和、取极限
定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn1<xn=b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xixi1
((i=i1,2x,.i.).,,作n).乘在积每f个(i子)区xi的间和上式任取n 一f (点i )ixi i 1 n 记=max{xi},当0时, f (i )xi i 1
的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以f(x及)在i区的间取[法a,b无]上关的,则定该积极分限,记值作称为ab f函( x数)dx
积分上限
即
b
a
积
分
号
积分下限
f ( x)dx 被被 积积 函表 数达
式
n
lim 0
积 分 变 量
f
i 1
积 分 和
(i )xi
积 分 元 素
[a,b]:积分区间
注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的
(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
定积分的几何意义:
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
y
y
oa
bxo a
bx
(四个小矩形)
(九个小矩形)
显然,小矩形越多,矩形总面积越接 近曲边梯形面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
第六章 求总量的问题——定积分
§6.1 特殊和式的极限 ——定积分的概念
一、 抽象定积分概念的两个现实原型
1.求曲边梯形的面积 2.求变力所作的功
原型1. 求曲边梯形的面积
如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x) ( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所 围成
y y=f(x)
S=?
oa
bx
思路：把整段时间分割成若干小段，每小 段上速度看作不变，求出各小段的路程再 相加，便得到路程的近似值，最后通过对 时间的无限细分过程求得路程的精确值．
（1）分割 a t0 t1 t2 tn1 tn b
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）近似求和 s v( i )ti
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
n 6
n
n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.