差分方程特解形式表
差分方程介绍
例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
差分方程特解形式表
差分方程特解形式表1. 什么是差分方程？差分方程是一种用来描述离散时间系统行为的数学模型。
与连续时间系统不同，差分方程将时间视为离散的点，而不是连续的流。
差分方程通常用递推关系来表示系统的演化规律，其中每个时间点的状态依赖于前一个时间点的状态。
一个一阶差分方程的一般形式为：x(n+1) = f(x(n))其中，x(n)表示第n个时间点的状态，x(n+1)表示下一个时间点的状态，f(x(n))表示状态之间的关系。
2. 差分方程的特解形式差分方程的特解是指满足差分方程的特殊解。
对于一般的差分方程，特解的形式不是唯一的，可以根据具体情况选择合适的形式。
常见的差分方程特解形式有以下几种：2.1. 线性方程特解对于线性差分方程，特解的形式通常可以选择为线性函数。
例如，对于一阶线性差分方程：x(n+1) = a * x(n) + b特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n + d其中，r是差分方程的特征根，c和d是待定系数。
2.2. 指数方程特解对于指数差分方程，特解的形式通常可以选择为指数函数。
例如，对于一阶指数差分方程：x(n+1) = a * x(n) + b^n特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n其中，r是差分方程的特征根，c是待定系数。
2.3. 递推方程特解对于递推差分方程，特解的形式通常可以选择为递推函数。
例如，对于一阶递推差分方程：x(n+1) = a * x(n) + f(n)特解的形式可以选择为：x(n) = c * r^n + g(n)其中，r是差分方程的特征根，c是待定系数，g(n)是递推函数。
2.4. 其他特解形式除了以上几种常见的特解形式外，还可以根据具体情况选择其他形式的特解。
例如，对于非线性差分方程，特解的形式可以选择为多项式、三角函数等。
3. 差分方程特解的求解方法求解差分方程的特解可以使用多种方法，具体选择方法取决于差分方程的形式和特征。
常见的求解方法包括：3.1. 递推法递推法是一种简单直接的求解差分方程特解的方法。
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
★差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
代如方程(11)得
x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
(12)
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
特征方程的解
两个不相等的实根 1, 2 两个相等实根 1 = 2
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求 x, yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为 y*x C.
这里 a = 1, 设 yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
差分方程
§1 一阶常系数线性差分方程的求解形如1()0n n y ay f n ++=≡的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程，其中a 为非零常数，()f n 为已知函数，n 为非负整数；10n n y ay ++=为对应的齐次方程。
1. 10n n y ay ++=的通解可以由以下两种方法给出：（1） 10n n y ay ++=对应的特征方程为0a λ+=，则a λ=-为特征根，从而其通解为()n n n y C C a λ==-，于是0C y =，即通解为0()n n y a y =- 。
（2） 设0y 已知，将0,1,2,n = 依次代入1n n y ay +=-中，得10()y a y =-，220()y a y =-， ，0()n n y a y =- 。
2. 设1()0n n y ay f n ++=≡(0)a ≠有一个特解n y ，则1()0n n y ay f n ++=≡的通解为()n n n y C a y =-+其中()n n y C a =-为对应齐次差分方程10n n y ay ++=的通解。
3. 关于1()0n n y ay f n ++=≡，针对不同的()f n ，其特解的求取方法： （1） 设()f n 为关于n 的m 次已知多项式()m P n ，则特解为()k n m y n R n =其中()m R n 为n 的m 次待定多项式。
若1a ≠-，即1λ≠是特征根，则0k =；若1a =-，即1λ=是特征根，则1k = 。
（2） 设()()nm f n P n q =(1)q ≠，其中q 为已知的常数，()m R n 为n 的m 次待定多项式，则特解为()k n n m y n R n q =当q 不是特征根时，取0k =；当q 是特征根时，取1k = 。
（3） 设12()cos sin f n b n b n ωω=+，则12(cos sin )k n y n B n B n ωω=+其中12,B B 为待定系数，当cos sin i ei ωωω=+a ≠-时，取0k =；当c o s s i n i e i aωωω=+=-时，取1k = 。
差分方程
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。
现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。
设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。
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差分方程特解形式表
摘要：
一、差分方程简介
1.差分方程的定义
2.差分方程在实际生活中的应用
二、特解形式表的定义与性质
1.特解形式表的定义
2.特解形式表的性质
3.特解形式表与其他数学概念的关系
三、特解形式表的求解方法
1.常系数线性差分方程
2.非齐次线性差分方程
3.齐次线性差分方程
四、特解形式表在实际问题中的应用
1.信号处理
2.生物数学
3.经济学
正文：
一、差分方程简介
差分方程是一种数学模型，用于描述离散系统中变量之间的关系。
它可以用来解决许多实际问题，如生物种群的增长、经济波动、数据加密等。
在差分
方程中，特解形式表是一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和解决差分方程问题。
二、特解形式表的定义与性质
特解形式表是一个数学工具，用于表示差分方程特解的一般形式。
它具有以下性质：
1.特解形式表中的系数与差分方程的系数相对应；
2.特解形式表中的常数项与差分方程的初始条件相对应；
3.特解形式表中的特解部分与差分方程的自由项相对应。
特解形式表与其他数学概念的关系主要体现在：
1.特解形式表与常微分方程的通解形式相似；
2.特解形式表与偏微分方程的通解形式类似。
三、特解形式表的求解方法
特解形式表的求解方法有多种，下面介绍三种常见的方法：
1.常系数线性差分方程
对于常系数线性差分方程，我们可以使用特解形式表直接求解。
根据特解形式表，我们可以得到特解的一般形式为：
$$
s_n = c_1 e^{-a n} + c_2 e^{-b n} + sum_{k=1}^{m} c_k e^{-c_k n} $$
其中，$c_1, c_2, ldots, c_m$为待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
2.非齐次线性差分方程
对于非齐次线性差分方程，我们可以使用常数变易法求解。
首先求出对应的齐次线性差分方程的特解形式表，然后根据非齐次项的特性，逐步调整特解形式表中的系数，最终得到原非齐次线性差分方程的特解形式表。
3.齐次线性差分方程
对于齐次线性差分方程，我们可以使用特征方程的方法求解。
首先求出特征方程，然后根据特征方程的根，写出特解形式表。
四、特解形式表在实际问题中的应用
特解形式表在实际问题中有着广泛的应用，例如在信号处理中，可以用于滤波器的设计；在生物数学中，可以用于描述生物种群的增长；在经济学中，可以用于分析经济波动等。