1.1.2 命题的四种形式

有而且仅有下面四种情况 :
原 逆 否 逆否 命题 命题 命题 命题
真真 真真
真假 假 真
假真 假假
真假 假假
它们有相同的真假性 ;
2两个命 题 为互逆命题或
互否命题 ,它们的真假 性 没 有关系 由于原命题 和它的逆否 命 题 有 相 同 的 真 假 性, 所 以 我
由于逆命题和否命 题也 是互为逆否命题,因此这 四种命 题的真假性之间 的关系如下 :
但：若两个三角形全等，则它们不相似 这是“若p，则﹁q”，为命题的否定形式，只否定命题 的结论，与否命题不一样，是两个不同形式的命题。
(4)逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等。 即先交换原命题的条件与结论，再同时否定，故我们叫做 逆否，它是“若﹁ q，则﹁q”
一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题，这四种 命题之间的相互关系，如下图所示：(书本P5) .
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了 例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似 即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
逆否命题 若四边形的两条对角线不互相平分，则它不是矩形
(2)原命题 若a -5, 则a 2 25 逆命题 若a 2 25,则a -5
否命题 若a -5, 则a 2 25 逆否命题 若a 2 25,则a -5
小结：写命题的四种形式，关键是写好原命题的条件p 和结论q
练习P8 1
四种命题的真值
若 p ,则q 原命题
互逆 互为 逆否
若q,则p 逆命题
互
互
否 互为
逆否 否
否命题 若 p,则q
互逆
逆否命题 若 q,则 p
例1 分别写出下列两个命题的四种形式。
(1)若 600,则sin 3 ;
2
(2)设a 0, b 0,若a b,则a2 b2
解:(1)原命题 若 600 ,则sin
即：第一步 假设命题的结论不成立（﹁q） 第二步 把﹁q当作新的条件，从﹁q出发，推理
得出矛盾 第三步 由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。 练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
3;
2
逆命题 若sin 3 ,则 600
2
否命题 若 600，则sin
3
逆否命题 若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题 设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆否命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
例2 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们 的逆命题、否命题和逆否命题。
(1) 矩形的两条对角线互相平分； (2) 小于-5的数的平方大于25.
解:(1)原命题 若四边形是矩形，则它的两条对角线互相平分 逆命题 若四边形的两条对角线互相平分，则它是矩形 否命题 若四边形不是矩形，则它的两条对角线不互相平分
问题：当原命题为真时，逆命题可以为真也可以为假，
那么，它的否命题和逆否命题的真假性如何呢？
P7 例3 （见书本）
解:(1)原命题 两个角相等的三角形是等腰三角形 真
逆命题 等腰三角形有两个角相等
真
否命题 两个角不相等的三角形不是等腰三角形 真
逆否命题 若一个三角形不是等腰三角形，则它有两个角不相等 真 (2)原命题 若a 0, b 0, 则ab 0 真
否命题"若 p q 2,则 p2 q2 2"为真命题,从
而达到证明原命题为真命题的目的.
证明
若p q
2,则 p2
q2
1 2
p q2
p q2
1 2
p
q2
来自百度文库
1 2
22
2,
所以 p2 q2 2.
这表明, 原命题的逆否命题为真命题, 从而原命题 也为真命题.
反证法
因为原命题与逆否命题的真值相同，即它们等价，所 以，证明原命题比较困难时，可采用证明它的逆否命题
逆命题 若ab 0, 则a 0且b 0 假 否命题 若a 0或b 0, 则ab 0 假 逆否命题 若ab 0, 则a 0或b 0 真 小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也
不一定为真，但逆否命题一定为真，另外，逆命题与否命
题的真假性相同。“且”的否定是“或”。
一般地,四种命题的真假性, 1两个命 题互为逆否命题,
们在证明某一个命 题为真 命 题 时, 可 以 通 过 证 明 它 的 逆 否 命 题 为 真 命 题, 来 间 接 地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析 将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆