解指数,对数及三角不等式

x
下用此法……
即
(x 1 6)(x 1 2) 0
x
x
x 1 6 0 x
即
[x (3 2
2)][ x (3 2 x2
2)]( x 1)2 0
x 3 2 2
解得 3 2 2 x 3 2 2或x 1 ……
二、解三角不等式
（一）基础型——背诵法
1.若 sin x 0 ,则 x 2.若 cos x 0 ,则 x 3.若 tan x 0 ,则 x 4.若 sin x cos x ,则 x 5.若 sin x tan x ,则 x
若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个排列,
则称 S a1c1 a2c2 ancn 为乱序和
称 S1 a1bn a2bn1 anb1 为反序和
称 S2 a1b1 a2b2 anbn 为顺序和
反序和≤乱序和≤顺序和
sin x＞tanx sin x＜tanx
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
练习2.解三角不等式 (5)解不等式 cos( - 2x) ≥0
【析】 整体代换 代表+kT
6
法1.
2k
2
≤≤
266
2x2≤x ≤2 2k
2
k ≤x ≤ - k
6
3
k ≤x ≤ k
13 柯西不等式 i：一般式
(a21＋a22＋…＋an2)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi 时等号成立
ii：向量式
a •b | a | | b |
14 排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
(2).解不等式 3x1 18 3x 29
解：原不等式等价于 3(3x )2 293x 18 0
即 (3x 9)(3x 2) 0 3
解得 3x 9或 3x 2
3
故
x
2或x
log
3
2 3
所以原不等式的解集为
x
|
x
2或x
log
3
2
3
(3).(2008年江西)不等式
x 3 1
2x
2.“上下”去分母法
解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型：大于号要中间,小于号要两头 2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 3.双绝对值号型：
①零点分段法 ②函数图象法 ③绝对值几何意义法
数法
“纯”不等式法 函数(单调性)法
3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根
标根法解一元n次不等式
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
解一元二次不等式
1.图象(标根)法：
2.公式(口诀)法：
口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
解分式不等式
1.“左右”去分母法
小于号要中间 无根大全小为空
即 2sin( x )＞0
3
2k ≤x ≤2k
3
2k ≤x ≤2k 4
3
3
法3：cos tan
x＞0 x＞
或cos 3 tan
x＜0 x＜
3
(8)(2011年四川)在⊿ABC中，sin2 sin2 B sin2 C sin Bsin C
则A的取值范围是
A. (0, ]
6
4
2
故所求定义域为
x
|
2k
≤x
≤2k
4
或2k
2
＜x
≤2k
百度文库,k
Z
（7）解不等式 sin x＞ 3 cos x
法1：画出函数 y sin x， y 3 cos x 的图象
数形结合周期性 上大下小中方程
（7）解不等式 sin x＞ 3 cos x
法2：原不等式等价于 sin x 3 cos x＞0
当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时,取""
解不等式概述
整式不等式
1.题型：
分式不等式 不等式组
绝对值不等式
一元不等式 根式不等式
连不等式
指数不等式
对数不等式
三角不等式
二元不等式 线性规划
含参不等式 四成立…… 抽象不等式
解不等式概述
1.题型： 2.解法：
函数图像
形法
线性规划
1 x 3 0 x 1
故
2
x
或0
x
2
0 x 3 0 x 3
即 0＜x＜1或 2 ＜x＜3
作业： 1.解不等式 2cos 2x 3sin x 3 0
2.《固学案》P：44 左 Ex5
2.《固学案》P：44 右 Ex10
预习：
线性规划
解根式不等式
1.数法：陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍
2.形法：
§152 解指数,对数及三角不等式
一、解指数及对数不等式
形法
巧构函数是关键 上大下小中方程
数法
同底法 取对数法
单调性法
其他法
注：对数不等式要注意Domain
二、解三角不等式
（一）基础型——背诵法
（二）其他型——图象法
数形结合周期性 上大下小中方程
11 均值不等式： 若a,b, c R ,则
3 111
3
abc
abc 3
abc
3 a3 b3 c3 3
2
1 1 ab
ab
a b a2 b2
2
2
(调和平均值) (几何平均值) (算数平均值) (幂平均值)
当且仅当a=b=c时，“=”成立
12 三角形(绝对值)不等式
| a | | b || a b || a | | b |
1
的解集为_______
2
2 2 解：由题意得
x 3 1 x
1
即
x 3 1 1 x
整理得
x2 2x 3 0 x
即 x(x 1)(x 3) 0
x0
解得 (, 3] (0,1]
(4).(2006年江苏)解不等式
log
2
(x
1 x
6)
3
解：由题意得 0 x 1 6 8 到此解法甚多，
§152 解指数,对数及三角不等式
一、解指数及对数不等式
形法
巧构函数是关键 上大下小中方程
数法
同底法 取对数法
单调性法
其他法
注：对数不等式要注意Domain
二、解三角不等式
（一）基础型——背诵法
（二）其他型——图象法
数形结合周期性 上大下小中方程
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
⑧ 正值同向可乘： 如果a> b >0，且c>d>0，那么ac>bd a> b >0，c>d>0 ⇒ ac>bd
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
⑨同号可倒：
若a>b,ab>0,则
1 a
1. b
3.重要的(经典)不等式
⑩ x2+y2≥2xy
（二）其他型——图象法
数形结合周期性 上大下小中方程
（一）基础型——背诵法
sin x cos x
1.若 sin x 2.若 cos x
3.若 tan x
4.若 sin x 5.若 sin x
0 ,则 x
sin x＞cosx
0 ,则 x
0 ,则 x
sin x＜cosx
cos x ,则 x
tan x ,则 x
如果a>b,且c<0,那么ac<bc a>b,c<0 ⇒ ac<bc
⑥方： 正值可方奇无限
若 a b 0,则an bn (n N且n 1)
若 a b 0,则n a n b(n N且n 1)
⑵对多个不等式的运算(变形)
⑦同向可加： 如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d a>b， c>d ⇒ a+c>b+d
②对称性
如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b
③传递性
a＞b b＜a
如果a＞b, b＞c,那么a＞c
a>b，b>c ⇒ a>c
2.运算性质
⑴对一个不等式的运算(变形)
④加(减): 如果a>b，那么a+c>b+c a>b ⇒ a+c>b+c
⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc a>b,c>0 ⇒ ac>bc
一、解指数及对数不等式
形法
巧构函数是关键 上大下小中方程
数法
同底法 取对数法
单调性法
其他法
注：对数不等式要注意Domain
练习1：解指对不等式
(1).解不等式 lg 2 x lg x2
(1).解不等式 lg 2 x lg x2 解：由题意得 lg x(lg x 2) 0
即 lg x 0或lg x 2 解得 0 x 1或x 100 即 x (0,1][100,)
2
3
(9)(2002年北京）已知f（x）是定义在（0，3)上的函数
f（x）的图象如图所示，那么f（x）cosx＜0的解集是
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1， ）∪（ ，3）
2
2
C.（0，1）∪（
2
，3）
D.（0，1）∪（1，3）
f (x) 0 f (x) 0
析：f（x）cosx＜0 等价于 cos x 0或cos x 0
6
3
即x∈ [k , k ](k Z )
6
3
法2.原不等式等价于 cos(2x ) ≥0
6
……
(6)求函数 y sin x 1 tan x 的定义域
解： 因
sin x ≥0 tan x ≤1
2m ≤x ≤2m , m Z
即
n
2
＜x
≤n
4
,
n
Z
解得 2k ≤x ≤2k 或2k ＜x ≤2k , k Z
B. [ , )
6
C.
(0, ]
3
D.
[ , )
3
析：由正弦定理得 a2 b2 c2 bc b2 c2
c2 a2 bc即 b2 c2 a2 1 cos A 1 0
bc
2
c b2 由c余2 弦a定2 理 1得 cos A 1 0 A
bc
2
3
1
1 cos A 故 0 A
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
如果a-b是正数，那么a＞b； a b a b 0 ；
如果a-b是等于零，那么a =b； a b a b 0 ；
如果a-b是负数，那么a＜b； a b a b 0 .