应用向量解决立体几何问题

应用向量解决立体几何问题

【摘要】利用空间向量解决立体几何问题，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。

【关键词】立体几何利用向量解题提高效率

立体几何问题一直是高考和竞赛中的热点问题，解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。

设a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)为三个非零向量，则空间向量的数量积、矢量积和混合积的定义为：

1．数量积（内积）：a·b=|a||b|cos(a,b)=x1x2+y1y2+z1z2，其中(a,b) 表示向量a与向量b的夹角。

几何意义：向量a与向量b的数量积等于|a|与向量b在向量a方向上的投影|b|cos(a,b)的乘积。

2．矢量积（外积）：向量a与向量b的矢量积记为a×b，它仍是一个向量，且它的大小为|a×b|=|a||b|sin(a,b) ；它的方向由右手法则确定，即右手手掌先伸开，四个手指先指向a的方向，然后手指自然弯曲指向b的方向，则大拇指的指向就是a×b的方向（如图1所示）。

几何意义：记a=AB,b=AC ，则|a×b| 等于以AB和AC为邻边的平行四边形的面积。

坐标形式：记|abcd|=ad-bc(a,b,c,d) ，则a×b=(|y1z1y2z2|,-|x1z1x2z2|,|x1y1x2y2|)

3．混合积：对于向量a,b,c，取其中任意两个的矢量积，再和第三个作数量积，所得结果为一个数量，称为这三个向量的混合积，记为(a,b,c)

几何意义：记a=OA,b=OB ,c=OC，则以OA,OB,OC为共顶点的棱的平行六面体的体积为：V=|(a,b,c)|

1.判断线、面之间的位置关系

在立体几何问题中，考查线、面之间的位置关系主要有种，包括线与线之间的平行、相交和异面，线与面之间的平行和垂直，面与面之间的平行和垂直。

这些位置关系除了用常规方法判断外，借助空间向量通过计算可以更加快捷的达到目的。

定义1：如果非零向量n 垂直于平面α ，则称n为平面α的一个法向量。

显然，AB×AC 是平面ABC的一个法向量。

根据向量的数量积、矢量积和混合积的定义及几何意义，我们有下列结论：结论1：AB⊥CD AB·CD=0 ；

结论2：若A，B，C，D四点不共线，则AB∥CD AB×CD=0；

结论3：设n是平面α的一个法向量，ABα，则AB∥αAB·n=0，AB⊥

αAB×n=0；

结论4：设n1,n2分别是平面α，β 的法向量，则α∥βn1×n2=0，α⊥

βn1·n2=0

例1：如图2所示，在底面是等腰直角三角形的直棱柱ABC-A1B1C1 中，B1C1=A1C1 ，A1B⊥AC1,求证：A1B⊥B1C

证明：如图，建立直角坐标系，不妨设B1C1=A1C1=1 ，CC1=α(α＞0) ，则C（0，0，0），A（-1，0，0），B（0，1，0），C1(0,0,α),A1(-1,0,α),A1(-1,0,α),B1(0,1,α)所以A1B=(1,1,-α)，AC1=(1,0,α) ，CB1=(0,1,α),因为A1B⊥AC1，所以A1B·AC1=1- α2=0，得α=1，所以A1B·C1B=1-α2=0 ，所以A1B ⊥B1C

例2：已知正方体ABCD-A’B’C’D’ ，求证：平面A’BD⊥平面AB’C’D

证明：不妨设正方体的棱长为1 ，以A为坐标原点，如图3所示建立直角坐标系，则A’(0,0,1) ，B(0,1,0) ,D(-1,0,0),B’(0,1,1)，于是A’1B=(0,1,-1) ，A’1D=(-1,0,-1) ，A1B’=(0,1,1) ,AD=(-1,0,0)，所以平面A’BD的一个法向量为n1=A’B×A’D=(-1,-1,1) ，平面AB’C’D 的一个法向量为n2=AB’×AD=(0,-1,1) ，因为n1·n2=0+1-1=0，所以n1⊥n2 ，所以平面A’BD ⊥平面AB’C’D

2.计算体积

根据向量混合积的几何意义，我们易得：

结论5：平行六面体ABCD-A’B’C’D’的体积V ABCD-A’B’C’D’=|(AB,AD，AA’)| ；

如图4所示，利用三棱柱体积与平行六面体体积之间的关系，四面体体积与三棱柱体积之间的关系，可得：

结论6：三棱柱ABD-A’B’D’ 的体积V ABD-A’B’D’=12|(AB,AD,AA’)| ；

结论7：四面体D’-ABD的体积VD’-ABD=16|(AB,AD,AA’)|

例3：在棱长为1 的正方体AC’中，E,F分别是棱BC,DD’的中点，则四面体AB’EF的体积为。

解：如图5所示建立直角坐标系，则AE=(12,1,0) ，AB’=(0,1,1) ，AF=(-1,0,12)，∴AE ×AB’=(1,-12,-12),(AE,AB’,AF)=(1,-12,-12)·（-1,0,12）=-1+0-14=-54所以V AB’EF=16 |(AE,AB’,AF)|=16×54=524

说明：本题如果不利用向量解决，则会在求四面体的高时会遇上困难，十分繁琐；如果利用体积变换求解，不仅技巧性高，而且理解起来也较费力。

3.计算空间角与距离

3.1求异面直线之间的夹角和距离。

由于异面直线的夹角范围为(0,π2] ，于是有：

结论8：设异面直线AB,CD的夹角为θ，则cosθ=|cos(AB,CD)|

由于两异面直线之间的距离可以转化为两平行平面的距离，故我们可以构造一个平行六面体，通过求该平行六面体的高来求出异面直线之间的距离。

如图6所示，a,b为两异面直线，在直线a上取两点A,D，在直线b上取两点M,N ，从而构造平行六面体ABCD-MNPQ，则a,b之间的距离即为平面ABCD 与平面MNPQ的距离，也即是平行六面体ABCD-MNPQ的面ABCD上的高，于是我们有：

结论9：异面直线之间的距离d= (AD,MN,AM)|AD×MN|

例4：在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD ，PB与平面ABCD 所成角为60°，E是PB的中点，