复数的有关概念(上课)

解：由mm22

m m

6 2

0 0
得m32或m m2 1
m(3,2) (1,2)
一种重要的数学思想：数形结合思想
练习1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i
在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上， 求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
1 i56
原式=
11
0
1i 1i
分析二 ：因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，
即i的连续四个幂的和等于0, 从1到i55，共有56项，所以, 原式 =0．
例3：计算： i·i2·i3·…·i99 解法一 ：原式=i1+2+3+…+99
=i99·50=(i50)99=(i2)99=-1
对应平面向量
uuur OZ
uuur 的模| OZ
|，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
z=a+bi O
Z (a,b)
| z | = a2 b2
x
复数的有关概念
y
Z=a+bi
6．复数的模
复平面上复数表示的点到原点的距离。 O
x
实数的绝对值是数轴上的点到原点的距离， 所以复数的模是实数绝对值概念的扩充；
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
复数的几何意义（一）
z=a+bi Z(a,b)
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
注:原点既属Baidu Nhomakorabea实轴。又属于虚轴。
所以，实轴上的点表示实数,虚轴上的点(除原点) 都表示纯虚数。
小结:
一一对应
1.复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
2.建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 ------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴 y轴------虚轴
OuuZur 3.复数z=a+bi 一一对应 平面向量
4.复数的模: | z | = a2 b2
(5)z5=4a-3ai(a<0) (－5a )
复数的有关概念
7．共轭复数：实部相等，虚部为相反数的两 个复数叫互为共轭复数，
z=a+bi, 则 z =a-bi
•实数的共轭复数是它的本身。两个互为共 轭复数在复平面上对应的关于实轴对称。
8 ．复数的大小问题
在复数集中是不规定大小关系的。
两个复数如果不全为实数，是不能比较它们 的大小的。
第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.2 复数的有关概念
知识回顾:
1.复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
2.虚数单位: i
3.全体复数组成的的集合叫: 复数集,用C表示.
4.复数的代数形式: Z=a+bi
5.复数的实部与虚部分别是: a,b
6.a+bi是实数 b=0
7. a+bi是虚数
（4）

m4

2
m=-2
m2 4 0
例7：已知关于x、y的方程组
(2x 1) i y (3 y)i (2x ay) (4x y b)i 9 8i
有实数解，求实数的a、b值。
解：∵x、y是实数，根据复数相等的条
件，得方程：
2 1
2
2
3i 2
例9:设x∈C，解方程x2+|x|=0．
分析:x∈R，因为x2≥0，|x|≥0， 所以x=0．
x∈C，显然这一解法就不完善．因此 在解题时，要充分考虑复数的特点．
x2+|x|=0, x2=-|x|≤0， 所以x是纯虚数， 又|x2|=|x|， ∴|x|=0或 |x|=1，
因此x=0，±i．
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的
想
表示，可以
一
用什么来表
想
示复数？
？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点A(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi A(a,b)
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
∴m=1或m=-2。
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
z=a+bi Z(a,b)
a
y 注意:相等的向量表 示同一个复数.
b
思考：两个复数可 以比较大小吗？
ox
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义:
例6：下列四个命题中正确的命题是
（A）2i-1的共轭复数是2i+1；
（B）若两个复数的差是纯虚数，则 它们一定为共轭复数；
（C）若两个复数的和是实数，则它 们为共轭复数；
（D）若两个复数的和与积都是实数， 则它们为共轭复数；
例2：计算：1+i+i2+i3+…+i55．
分析一 ：把上式看成一个以i为公比的等比数 列,前56项的和，由等比数列的求和公式，
b≠0
8.a+bi为纯虚数 a=0且b≠0
10.数的分类:
正有理数
有理数
实数 (b=0)
复数z=a+bi
无理数
(a、bR)
虚数 (b0)
零 负有理数 正无理数
负无理数
虚数集 复数集
实集
纯虚数集
数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
求m的取值范围； (4)若z= -2，求m的取值范围．
解：（1）由m2-4=0,得;m=±2；
2m2
3m

2

0
（2） m 4
m2 4 0
得:m=- 1 ； 2
2m2 3m
（3） m 4

2

0
m∈(-∞,-2)∪(2,4)
m2 4 0
2m2 3m 2
例10：求同时满足两个条件的所有 复数z. (1)1<z+ 10 ≤6；
z
（2）z的实数和虚数都是整数。
• 分析：由1<z+ 10 ≤6
z
知：z+
10 z
∈R，否则是不能与实数
比较大小，所以，可以复数问题
实数化来解决。
解：设z=x+yi(x,y∈R)
则：z+ 10 = x+yi+
z
10 x yi
a c
a bi c di b d
特别地，
例1 已知 (2 x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R
求 x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
实数的几何意义
=(x+
10 x x2 y2
)+(y-
10 y x2 y2
)i，
∵1<z+ 10 ≤6，∴得：y=0或x2+y2=10
z
若y=0，代入，得： 1若<xx+2+1yx02≤=160,而，x代+入1x0，≥得2 ：10 >6矛盾，∴y≠0; 0.5<x≤3，又x、y是整数 ∴x=1或x=3， ∴z=1±i或z=3±3i。
x
1 y (3 y)


x y

5 2 4
代入另一式：（5+4a）-(6+b)i=9-8i;
∵a、b是实数，
∴
5 6

4a 9 b8

a b

1 2
例8：已知虚数z，使得
z1

z 1 z2
和
z2
z2 1 z
都为实数，求z.
解：设z=x+yi(x,y∈R，且y≠0)，
解法二：因为i·i2·i3·i4 = i·(-1)·(-i)·1 =-1
原式=i·i2·i3·…·i99 = i·i2·i3·(-1)16 =-1．
例4.z= 2m2 3m 2 -(m2-4)i, (m∈R)
m4
(1)若z∈R，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的取值范围； (3)若z在复平面上对应的点在第三象限
D 例2.(1)下列命题中的假命题是（ ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都 在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点 都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应 的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。
例3:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m的取值范围。
则 z2=x2-y2+2xyi
∴
z1

x(x2 (x2
y2 1) (1 x2 y2 )i y2 1)2 4x2 y2
∵z1∈R，∴Im(z1)=0，又y≠0， x2+y2=1，
∴同理，由
z2∈R,Im(z2)=0.∴x2+2x+y2=0
解得:x=-
1 2
,y=

3 ；∴z= 1
两个复数差的模|z1-z2|可以理解为平面上两 点间的距离。
复数的模有：
|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
|z|2=|z2|=|z |2=z·z =a2+b2
例4:求下列复数的模：
(1)z1=-5i ( 5 ) (2)z2=-3+4i ( 5 )
(3)z3=5-5i (5 2)
(4)z4=1+mi(m∈R) ( 1 m2 )