超静定梁的影响线及移动荷载最值求解

题目：作出如下图所示长为16米的活均布荷载通过3跨36米长的等截面连续梁的弯矩最不利位置和剪力最不利位置。均布活载为q=45kN/m。

│←12m→│←12m→│←12m→│

题目图形

解：首先作出各跨（单元）分别承受活载的弯矩图（如图1、2、3所示）

图1. 单元（1）承受均布荷载的弯矩图（单位：kN∙m）

图2. 单元（2）承受均布荷载的弯矩图（单位：kN∙m）

图3. 单元（3）承受均布荷载的弯矩图（单位：kN∙m）

为了求解所求活载的弯矩最不利位置，只需按以下五种情况来研究弯矩最值：（a）活载布满单元（1）弯矩正值部分（如图1中所示单元（1）弯矩正值部分距杆端1端10.0m范围内）；（b）活载刚好全部在连续梁上；（c）活载中点位于支座2；（d）活载前端位于支座3；（e）活载中点位于单元（2）中点，即活载到达连续梁中点。我们分别求出图1.中对应于弯矩最值点、支座2点、连续梁中点处3个点的弯矩值，通过对比找到弯矩的最值。

运用力矩分配法求出上述3个点处对应于情况（a）下的弯矩值，如表1.所示。

图4.（a）情况下的荷载图

运用力矩分配法求出上述3个点处对应于情况（b）下的弯矩值，如表2.所示。

图5.（b）情况下的荷载图

运用力矩分配法求出上述3个点处对应于情况（c）下的弯矩值，如表3.所示。

图6.（c）情况下的荷载图

运用力矩分配法求出上述3个点处对应于情况（d）下的弯矩值，如表4.所示。

图7.（d）情况下的荷载图

表4. （d）情况下的弯矩值（单位：kN∙m）

运用力矩分配法求出上述3个点处对应于情况（e）下的弯矩值，如表5.所示。

图8.（e）情况下的荷载图

对比表1-5，可以得出，正弯矩最大值发生在情况（a）下图1.中的弯矩最值点处，最大值为586.06kN∙m；负弯矩最大值发生在情况（c）下的支座2点处，最大值为608.00 kN∙m。

首先作出各跨分别承受活载的弯矩图（如图9、10、11所示）

图9. 单元（1）承受均布荷载的剪力图（单位：kN）

图10. 单元（2）承受均布荷载的剪力图（单位：kN）

图11. 单元（3）承受均布荷载的剪力图（单位：kN）

为了求解所求活载的剪力最不利位置，可以按以下3种情况来求剪力最值：（f）活载布满单元（1）剪力正值部分（如图9中所示单元（1）剪力正值部分距杆端1端5.16m范围内）；（b）活载刚好全部在连续梁上；（c）活载中点位于支座2；（d）活载前端位于支座3；（j）活载中点位于单元（2）中点，即活载到达连续梁中点。。我们分别求出图9.中对应于支座1、支座2点2个点处的剪力值，通过对比找到剪力的最值。

运用力矩分配法求出上述2个支座点处对应于情况（f）下的剪力值，如表6.所示。

图12.（f）情况下的荷载图

运用力矩分配法求出上述2个支座点处对应于情况（b）下的剪力值，如表7.所示。

运用力矩分配法求出上述2个支座点处对应于情况（c）下的剪力值，如表8.所示。

运用力矩分配法求出上述2个支座点处对应于情况（d）下的剪力值，如表9.所示。

表9. （d）情况下的剪力值（单位：kN）

运用力矩分配法求出上述2个支座点处对应于情况（e）下的剪力值，如表10.所示。

对比表6-10，可以得出，正剪力最大值发生在情况（b）下图1.中的支座1点处，最大值为224.78kN；负剪力最大值发生在情况（b）下的支座2点处，最大值为315.22 kN。