对偶单纯形、影子价格(1)

影子价格的定义
对
偶
问 题
对偶变量
y
* i
的意义——代表在资源最优利
用条件下对单位第 i 种资源的估价，这种
估价不是资源的市场价格，而是根据资源在
上页
生产中作出的贡献而作的估价，为区别起见，
称为影子价格（shadow price)。
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影子价格的经济意义
对
偶 问
1．资源的市场价格是已知数，相对比
5 2 1 15 24 5
0 0
1 0
题 24 y2 1 / 3 0 1 1 / 6 1 / 6 0
0 y5 1/ 3 5 0 2 / 3 1/ 3 1
上页
c j z j 15 0 1 4 0
24 y2 1 / 4 5 / 4 1 0 1 / 4 1 / 4
下页 5 y3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2
返回
基本思路
实质：保证原问题可行的条件下 向对偶问题可行的方向迭代
对偶单纯形法的计算步骤
对
偶
问 题
线性规划问题
max z CX
对偶问题 的解可行
上页
AX X
b 0
下页
不妨设 B(P 1,P2, ,Pm)为对偶 初始可行基，即 j cj z 0。
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若 b ~ i0,i1,2, ,m ，即表中原问题和
题
较稳定，而它的影子价格则有赖于资源
的利用情况，是未知数。由于企业生产
任务、产品结构等情况发生变化，资源
上页
的影子价格也随之改变。
下页
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市场价格
企业 影子价格
市场
影子价格的经济意义
对
偶
问 题
2．影子价格是一种边际价格。
上页
说在明（3y）i* 的式值中相，当于zb*i在资y源i* 得到最优。利
下页
用的生产条件下，b i 每增加一个单位时目
标函数 z的增量。
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引例数学模型
对 偶
max z 2 x 1 x 2
问 题
s.t.
5 x 2 15
6 x 1 2 x 2 24
min2(,1)2
对 偶 问 题
y4 换出换出
cj
15 24 5
例C、线B 用性Y对规B 偶划单问b纯题形：法求y1解 y 2
y3
0 y4
0 y5
0 y4 2 0 6 1 1 0
上页
0 y5 1 cj zj
5 2 1 15 24 5
0 0
1 0
下页 24 y2 1 / 3 0 1 1 / 6 1 / 6 0
基变量
非基变量
上页
XB
XN
Xs
下页 CB XB B1b cj zj
I 0
B1N
B
CNCBB1N CBB1
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当前基解 当前检验数
对偶单纯形法的基本思路
对
偶 问
单纯形法的基本思路：
C-CBB-1A≤0
题 原问题基可行解
最优解判断
X ~bB1b0
j cj zj 0
上页
对偶问题
对偶问题的可行解
下页 最优解判断 对偶单纯形法
对偶问题均为最优解，否则换基。
换基方法：
对
偶 问
•确定换出基变量
题
~
~~
br m i { ibn i bi 0}
上页
对应变量x r 为换出基的变量
•确定换入基变量
下页 返回
m j ic njarjzj arj0 csarszs
a rs 为主元素，x s 为换入基变量
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
Y=CBB-1是其对偶规划的最优解。
上页
下页
返回
对 偶 问 题
当线性规划原问题求得最优解 x*j(j1,,n) 时，其对偶问题也得到最优解 yi*(i1,,m)
，且代入各自的目标函数后有：
n
m
上页
z* cjx* j biyi*w* （3）
下页
j1
i1
返回
b i ——是线性规划原问题约束条件的 右端项，它代表第 i种资源的拥有量；
返回 024ym y52j in11c/ /4ja3rjzja51r5/5j40100
2/3 1/3 1
1 0
1
/4y42
换入0 1/ 4
5 y3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2
例、用对 z j 15 24 5 0 0
对
偶 问
m w i1 n y 5 2y4 5 y
1
2
3
题
s.t
6y y 2
2
3
5y 2y y 1
可作为
1
2
3
上页
y , y , y 0 初初始始可可行行基基
123
下页 返回
m m w w a a 1 1 x x y 1 1 5 2y 2 2 4 5 y 3 3 s.ts-.5t5yy11y1y66,221yyy,yy222y22,2 , yyy,y333y3,5yy5y440yy0552211
题
CB YB b
y1 y2 y3 y4 y5
0 y4 2 0 6 1 1 0
上页 0 y5 1 5 2 1 0 1 15 24 5 0 0
下页 24 y2 1 / 3 0 返回 0 y5 1 / 3 5
c j z j 15
1 1/6 1/6 0 0 2/3 1/3 1 0 1 4 0
题可行的前提下），普遍适用性较差。
返回
因此，对偶单纯形法一般不单独使用。
第四节 影子价格
在单纯形法的每步迭代中，
目标函数取值 zCBB1b ，
继续
和检验数 CNCBB1N 中都
返回
有乘子YCBB1 ，那么它的 经济意义是什么？
可编辑ppt
对
偶
问 题
书：定理4
若B是原规划的最优基，则最优单纯形乘子
第三节 对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思路
用对偶原理求解原问题的一种方法，
继续
而不是求解对偶问题解的单纯形法
对偶单纯形法的计算步骤
返回
可编辑ppt
对
偶
问 题
书：定理4
若B是原规划的最优基，则最优单纯形乘子
Y=CBB-1是其对偶规划的最优解。
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下页
返回
对
偶
问 题
当基变量为X B 时，新的单纯形表
返回 c j z j 15 / 2 0 0 7 / 2 3 / 2
最优解
对偶单纯形法的优点：
对 偶
不需要人工变量；
问
当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少
题
迭代次数；
在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法 处理简化。
上页 对偶单纯形法缺点：
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对初始单纯形表形式要求较严格（在对偶问
24 y2 1 / 4 5 / 4 1 0 1 / 4 1 / 4 5 y3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2
15 24 5 0 0
CB YB b
y1
y2 y3
y4
y5
例0、用y4对偶 单2 纯形0法求解线6 性规 1划问题1： 0
对 偶 问
0 cj
y 5
1 zj