(精品)数学讲义9Q-3相似三角形的综合应用(学生)

第3课时相似三角形的综合应用

课时目标

1、掌握比例的性质，了解黄金分割的意义。

2、理解两条线段的比和比例线段的概念。

3、掌握平行线分线段成比例定理；掌握三角形一边的平行线的判定方法。

4、理解相似三角形的概念，掌握判定两个三角形相似的基本方法。

5、掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质。

6、会用相似三角形的判定和性质解决简单的几何问题和实际问题。

7、知道三角形的重心及其性质。

知识精要

1、比例线段及性质

(1)比例线段的概念

(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项

2、三角形一边的平行线性质定理及其推论

3、相似三角形的判定及性质

(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA、SSS、ASA、HL、传递性

(2)相似三角形的性质

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

4、三角形相似的基本模型：

(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；

常见条件：

①//

=，③AD AC AE AB

⋅=⋅，④ADE B

AD AB AE AC

DE BC，②::

∠=∠

F

E

B

C

D

(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.

常见条件：①AD AB AE

AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE ∠=∠ (3)旋转型：

常见条件：已知△BAC ∽△

DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE. (4)嵌入型：

已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形. 已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.

常见条件：

① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.

② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：

常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)

E

A

B

C

D D C

B A

常见条件：①，2AC AD AB =⋅③2BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅

(7)双高型推广：

左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE

右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程

)

常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比

(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n

(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.

(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=22:m n 6、平面向量的线性运算

精解名题

例1.

如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，联结AP ，过P 点做PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B 。 (1)求证：△ABP ∽△PCE ； (2)求等腰梯形的腰AB 的长；

(3)在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE ：EC=5：3？如果存在，求出BP 的长；如果不存在，请

O

D

C B

A

说明理由。

例2.已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交于点F。

(1)求证：△BDF∽△BEC；

(2)如果AB=12，BD=4，求S△BDF：S△BEC

例3. 如图，已知在△ABC中，D为AC上一点且CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD 于点E，联结AE。

(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；

(2)图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；

(3)求△BEC与△BEA的面积之比。

例4：如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC

边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。

(1)找出图中的相似三角形，并证明；

(2)求DF的长；

(3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。

例5 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，

BA﹒BD=BC﹒BE。

(1)求证：AE=AD；

(2)如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD2=BE﹒BF

例6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一动点，且点P不与A和B重合，过点P作PE⊥AB 交AC边(或者CB边)于E点，点E不与点C重合，可将△ABC分割成一个小三角形和一个四边形，若AB=5，AC=4，设AP的长为x，分割的四边形周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求出x 的取值范围。

例7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点，将一把三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E。设CP=x，DE=y.

(1)当点P在线段CD上时，求证：△BPC∽△PED；

(2)当点P在线段CD的延长线上时，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；

(3)当DE=1时，求CP的长。