2.3垂径定理ppt课件
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2.3垂径定理(第2课时)课件(共12张ppt)
D D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C,
·Ｏ
A (E)
B 推论1：
⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， C 并且平分弦所对的两条弧．
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
C
ED F B
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，
r
O
得: r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
A F
O· E C
B
AF=√OA2-OF2=√62-1.52=
3√15 2
AB=2AF= 3√15
9.如图,圆O与矩形ABCD交
AH
于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.
BE
BE=2
MG D
·ON F C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
M
B
图中相等的线段有 :AE=EB CF=FD . 图中相等的劣弧有: A⌒MC⌒=NB⌒=MN⌒D. .A⌒C=B⌒D. .
A
E
O·F
D
CN
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,
垂径定理精品PPT课件
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
B
O
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
它的对称轴．
二、
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
⌒AD
⌒
=BD.
D
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
B
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
B
O
A
AB的距离为3cm，求⊙O的
半径。
E
B
.
O
解 A ： 1
A 2 A E B O A 2 + O 2 = A E 5 E
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理ppt
3
在实际生活中，垂径定理也广泛应用于工程、 建筑、天文、航海等领域
02
证明垂径定理
准备知识：圆和直径的定义
圆定义总结
圆是一种几何图形，由点到点的距离等于定长的点的集合构成。
直径定义总结
直径是圆上任意两点处于圆心的一条直线，或者说是圆的一侧到另一侧的直 线距离。
证明过程概述
证明思路
通过证明圆弧的中垂线与直径的交点为直径的中点来证明垂径定理。
定理的历史背景
最早的文字记载可 以追溯到古希腊数 学家欧几里得
之后的数学家如欧 拉、高斯等也对垂 径定理进行了深入 的研究和应用
在中国，东汉时期 的数学家赵爽也有 记载
定理的重要性和应用场景
1
定理是圆几何中的基本定理之一，也是几何学 中最基本的定理之一
2
垂径定理是圆相关问题中最常用的工具之一， 也是解决许多几何问题的关键
证明步骤
根据定义和性质，将圆等分，然后证明等分点与直径的关系，最后得出结论。
证明过程详细步骤
证明步骤一
首先将圆分成两个半圆，然后分别 在半圆上任取一点，分别连接该点 与直径的两个端点，得到两条弧。
证明步骤二
证明两条弧相等。因为它们所对的 圆心角相等，所以根据圆的定义可 知它们的弧长相等。
证明步骤三
应用场景
垂径定理在几何、建筑、工程等领域都有广泛的应用。例如，在桥梁设计和 建造中，需要应用垂径定理来保证桥梁的形状和稳定性；在几何中，垂径定 理可以用于证明各种线段相等、圆周角相等等问题。
反思定理在现代数学中的地位和作用
地位
垂径定理是平面几何中的重要定理之一，也是初中数学竞赛中的热点和难点之一 。
作用
垂径定理在数学、工程、建筑等领域都有着广泛的应用，同时也是培养数学思维 和解决问题能力的重要载体。
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
《垂径定理》课件
垂径定理的证明
1
几何证明
我们可以使用几何方法证明垂径定理，通过绘制图形、构造垂直线段等方法来说 明定理的正确性。
2
代数证明
垂径定理也可以使用代数方法进行证明，通过使用坐标系和向量来推导出定理的 结果。
3
三角证明
三角学中的一些关系可以用来证明垂径定理，例如正弦定理和余弦定理。
垂径定理的拓展
1 平面几何
垂径定理的定义
垂径定理
垂径定理，又称为垂径垂直定理，是指当两条线段相互垂直时，它们的垂径相连的线段也垂 直。
垂径定理的应用
建筑设计
垂径定理在建筑设计中扮演着重 要的角色，帮助工程师确定建筑 物的垂直度和平衡性。
圆的性质
坐Hale Waihona Puke 系垂径定理也可以用来证明圆的性 质，例如切线与半径的垂直关系。
在数学中，垂径定理可以用来证 明两条直线是否垂直，从而确定 坐标系中点和直线的关系。
《垂径定理》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索《垂径定理》。通过这个课件， 我将向你展示垂径定理的定义、应用、证明和拓展，以及实例演示。让我们 开始吧！
问题背景
在几何学中，我们经常遇到求解线段或角问题的情况。垂径定理是一种重要 的几何定理，可以帮助我们解决这些问题。让我们来了解一下问题的背景。
垂径定理可以扩展到三维空间中，用于解决立体几何问题。
2 向量几何
在向量几何中，垂径定理可以扩展到多维空间，用于解决向量的正交性问题。
3 复数几何
在复数几何中，垂径定理可以应用于解决复数平面中点和直线的关系。
实例演示
几何构造
我们将通过实例演示来展示如何 使用垂径定理进行几何构造，解 决实际问题。
演示文档垂径定理课件PPT.ppt
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
..........
7
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1 D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D..........
D D
O
AE
B
C
8
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
..........
9
判断下列图形，能否使用垂径定理？
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
..........
14
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
..........
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
垂径定理公开课用的课件
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4. 根据全等三角形的对应边相等，我们得出 $AM=BM$。
证明中的数学思想
01
垂径定理的证明涉及了圆的性质 、三角形的全等关系以及逻辑推 理等数学思想。
02
通过构造辅助线和利用已知条件 ，逐步推导出结论，体现了数学 证明中的严谨性和逻辑性。
03
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
01
02
03
确定圆心位置
在垂径定理中，如果弦变为直径，则直径所对的圆周角为直角。
从平面图形到立体图形
将垂径定理从平面图形推广到立体图形，例如球体，可以得到类似 的性质。
推广后的应用场景
建筑设计
在建筑设计时，可以利用 垂径定理的推广情势来确 保建筑结构的稳定性。
工程测量
在测量中，可以利用垂径 定理的推广情势来确定某 些线段或角度是否满足设 计要求。
数学教育
在数学教育中，垂径定理 的推广可以帮助学生深入 理解几何图形的性质，提 高解题能力。
对推广情势的进一步思考
统一性
视察垂径定理的各种推广情势，可以发现它们都遵循“从特 殊到一般”的逻辑，这种统一性有助于理解几何图形的本质 。
局限性
虽然垂径定理的推广情势具有广泛的应用价值，但在实际应 用中仍需考虑图形的复杂性和具体条件，避免生搬硬套。
答案及解析
题目2答案及解析
答案：解得，CD:AB=3:5。
解析：根据垂径定理，我们知道OE垂 直于CD，所以E是CD的中点。又因为 OE:BE=5:1，所以AB:OE=5:3。然后 利用勾股定理计算出CE的长度为 sqrt(AB^2OE^2)=sqrt(5^2*3^2)=sqrt(75)=5 *sqrt(3)。最后得出CD的长度为 2*CE=2*5*sqrt(3)=10*sqrt(3)。所 以弦CD与直径AB的比值为 CD:AB=10*sqrt(3):5=2*sqrt(3):1=6 :5。
垂径定理PPT课件
A
B
E
.
O
C
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
结论
⌒CD⊥⌒AB A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
D
B
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/20
可编辑
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
D B
.O
N
证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
O
A C G DB
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理的推论2
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总结： C
条件
CD为⊙O的直径 CD⊥AB
. O
E
A
B
D
结论
AE=BE
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
9
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
练习1
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
O
O
E
C
D
AE
B
B
D
O
D D
O
AE
B分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
D
B
20
讲解
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦
C
所夹的弧相等吗？
A
已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒
⌒
M D B
. O
N
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，
CM＝DM（垂直平分弦的直径平⌒分弦所对⌒的弦） ⌒
⌒
AM－CM ＝ BM －DM
∴AC＝BD
⌒
C
A
┗●
B n由 ① CD是直径
M●O
③ AM=BM
可推得
平分弦（不是直径）的直．径 D 垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC, ⌒⌒
⑤AD=BD.
不是直径
12
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
21
垂径定理的推论2 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
22
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
E
A
┌ D
B
D 60C0
23
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直
O
线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三
角形。
E
CA
BD
24
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与
大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大
小有什么关系？为什么？
O
AC G
DB
25
随堂训练
已知P为
D
A
B
.E O
C
15
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是
。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是
。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。
2 3cm
O AE B
O
8cm
AE B
2 3cm
O
AE
B
16
练习 2：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为
.
5cm
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径
为
.
13cm
A
4C ∟3
B
O·
C
A
8
D
12
B
O
(1)题
(2)题
17
方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
⊙o 内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
3 c m ，则过P点的最长
条件
CD为直径 ACDE⊥=BAEB
D
结论
CD⊥AB ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
CD⊥AB吗？ C
Ｏ·
Ｏ
A
·
B
(E)
C
E
A
B
D
11
垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. n 过点M作直径CD.
n 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
条弦增加”不是直径”的限制.
13
讲解
垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
A
E
B
.
O
解：连接OA，作OAEB于E. 1
AE=2AB=4 OA= AE2+OE2=5
14
变式： 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥ＡB 垂足为E，DE＝2cm,求⊙O的半径。
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C A
M└ ●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合,
AD和BD重合.
⌒⌒⌒ ⌒
∴AC =BC, AD =BD.
B
8
5
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE ⌒ ⌒⌒ ⌒
·O
弧:AC=BC,AD=BD
E
A
A
●O
C n大于半圆的弧叫做优弧,如记作
D
(用三个字母).
⌒ AmB
2
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
3
4
赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦
的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确 到0.1m).
18
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
A
D
r
•
O
B
19
练习：在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，Ｏ Ｅ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
C
E
·O
垂径定理
1
⌒ 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
n以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”A⌒.B n 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
n 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).
B
m
⌒
n小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). AB
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重
合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合．
D
⌒⌒
⌒
⌒
6
即直径CD垂直于弦AB，平分
弦AB,并且平分AB及ACB
C
⌒
⌒
·O
E
A
B
D
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
7
垂径定理
如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.