Z反变换方法

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7.2反Z变换

7.2反Z变换
k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j

C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义:离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义:离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1

Z反变换

Z反变换

s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时,X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时,Cs
( z
(1), z 3时,x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时,x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时,双边序列
n 1时,围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时,围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)

附_z反变换

附_z反变换
于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT

已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解:
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ,则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
(8-48)
9

已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异,则
F ( z) z
是复变量z的有理分式,
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式:

Z反变换方法

Z反变换方法
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义,因果序列的象函数是z-1的 幂级数,其各项的系数就是相应的序列值,再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0,1,2,N)
N
z反变换,原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)

F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时,利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似,所不
同的是,一般是对 F(z) 展开为部分分式,以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1

已知F(z)后,应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
(1) F(z)仅有一阶单极点,则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N

ch14双边z变换与反变换

ch14双边z变换与反变换
公式表示
若信号序列为x(n),其双边z变换为X(z) = ∑_{n=-infty}^{+infty} x(n)z^{-n}。
双边z变换的性质
线性性质
若x1(n)和x2(n)的z变换分别为 X1(z)和X2(z),则对于任意常数a 和b,有aX1(z) + bX2(z)的z变换 等于a*X1(z) + b*X2(z)。
分类
收敛域可分为两类,一类是绝对收敛 域,另一类是条件收敛域。
条件收敛域
在条件收敛域内,只有在满足特定条 件下,双边z变换才存在且收敛。
02 双边z反变换的定义与性 质
双边z反变换的定义
01
定义
双边z反变换是通过对双边z变换 的逆过程,将z域的函数转换为 时域的函数。
02
03
公式
意义
双边z反变换的公式为 (x(n) = frac{1}{2pi j}int_{C_0} X(z) z^{n}dz)
时移性质
若x(n)的z变换为X(z),则x(n-d) 的z变换为X(z*z^d)。
频移性质
若x(n)的z变换为X(z),则x[n*a] 的z变换为X(z/a^2)。
双边z变换的收敛域
收敛域
双边z变换的收敛域是指能使双边z变换 存在的z值范围,通常由极点、留数和
奇点决定。
绝对收敛域
在绝对收敛域内,无论z取何值,双 边z变换都存在且收敛。
在实现控制算法时,双边z变换可以用于离散化连续时间 系统,将连续时间系统转化为离散时间系统进行计算和控 制。
在信号处理中的应用
01
信号滤波和处理
双边z变换可以用于信号滤波和处理,通过设计滤波器函数并进行双边z
变换,可以实现信号的降噪、增强和特征提取等处理。

05第五讲 Z 反变 换

05第五讲  Z 反变 换

(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res[X(z)zn-1, zk ]表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式(1-67)说明,函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式(1-66)及式(1-67),可得
该积分路径c在半径为R的圆上,即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e


jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式(1-65)也称为柯西积分定律。因此
有三种: 围线积分法(留数法)、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析, 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j

Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )

6.3.4 z反变换

6.3.4 z反变换
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题,然 后通过求x(z)的原函数,可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法:(长除法)
Z变换函数,通常可表示为两个Z的多项式之比,一般可写成:
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1

b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )

1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列,因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点,都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程,
这是一件困难的事,因此在应用上有一定的局限性,
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制,通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦,而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点


F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0



F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z

第二章 反z变换【VIP专享】

第二章 反z变换【VIP专享】
某圆环内
z-1 z z-1与z
例2.5:已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解:将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 :已知 解:
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地,Z变换式为有理分式的情形,可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列,不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列,不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例: X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列,同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X(z)可以分解成
其中
是简单的分式,可以通过Z变换表
3
1
,显然, X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点:z1=1 及 z2 = 1/3,故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外,围
线c之内包含X0(z)的两个极点,所以有:

序列Z变换与反变换

序列Z变换与反变换
ROC 包含 Rx1 Rx2
注:若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时,收敛域会扩大!
例:已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2)当n≤-2时,X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点:z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点;而在C外 的无穷远处没有极点,仅有 z=4这个一阶极点;且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm

第二章 反z变换

第二章 反z变换

留数定理:设函数 在区域 D内除有限个孤立奇点 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则
外处处解析,C为D
D
zn C3 z 3
Cn C2
z1 z2
C
1
C
留数法思路
1. 2. 由于积分围线c在X(z)的收敛域内,所以首先要确定收敛域, 如未给定要根据其极点确定。 考虑被积函数X(z)zn-1在c内或c外的极点的情况确定用(a)式或 (b)式来计算。原则是选择X(z)zn-1有有限个极点且极点阶次有 限的区域来求留数,而尽量避免求z=∞的留数。 如收敛域在一圆外,应计算n>0时的x(n),选择(a)式,因 为此时在c内有有限个阶次有限的极点,zn-1在z=0处解析; 如收敛域在一圆内,应计算n<0时的x(n),选择(b)式; 当收敛域在某一圆环内,应利用X(z)在c内的极点求得n>0的 x(n),而利用c外的极点求得n<0的x(n). n=0的情形要单独地与n>0的情况同样处理
2 z z 2
2 2 2n
在c内只有一个一阶极点z=0,此时
z
综上可知
2 所以 x 0 Re s X 1 z , z 0 0 1 z 2 x n 2n u n
1 X z z n 1 , z z 0 Re s s 1 !
若z0是一阶极点,即s=1,则此留数为
d s 1 z dz s 1
z z 0
Re s X z z n 1 , z z 0 z 0
1 1 u n 5 u 5 n 2 2
一般地,Z变换式为有理分式的情形,可以利用长除法 来得到其幂级数展开式

第05讲_Z反变换

第05讲_Z反变换

用幂级数展开法求解反变换
已知: X Z
1 3z
3 z 1
1 2
,
z 3
求它的 z反变换 x( n)
用幂级数展开法求解反变换
试用长除法求 X ( z )
1 , z 4 1 4 (4 z )( z ) 4
z
2
的z反变换
1 2

x(0) z x(1) z x( 2) z
在给定的收敛域内,把X(z)展为幂级数,其系数就是序列x(n) 如收敛域为|z|>Rx+,x(n)为因果序列,则X(z)展成z的负幂级数;降幂排列 如收敛域为|z|<Rx-,x(n) 为左边序列,则X(z)展成z的正幂级数;升幂排列
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
部分分式展开法
X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 k n 0 k 1 1 z k z k 1 (1 z i z ) MN N r
其中,M≥N时,才存在Bn;Zk为X(z)的各单极点, Zi为
X(z)的一个r阶极点。而系数Ak,Ck分别为:
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k d r k 1 x( z ) C k ( z zi )r k r k ( r k )! dz z z z , k 1, 2r i
数字信号处理
主讲教师:沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第5讲:Z反变换
本讲内容
Z反变换
Z反变换的求解
Z反变换
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的

2.7 Z反变换(补)

2.7 Z反变换(补)

根据收敛域判断x(n)的性质,在展开成相应 的z的幂级数 X(z)的 x(n) 分子分母 按z的 右边序列 负幂级数 降幂排列
左边序列 正幂级数 升幂排列
将X(z) 展成z的
z Rx z Rx
C
F ( z )在c内有一阶极点z a
x(n) Re s[ F ( z )]z a a n 当n 0时 F ( z )在c内有一阶极点z a和-n阶极点z 0 在c外有一阶极点z a 1 , 且分母阶次比分子高两阶以上
x(n ) Re s[ F ( z )]z a 1 a n
n
0 a
Re[ z ]
x(n) a u(n) a u( n 1) a
n
n
2、部分分式展开法
X(z)是z的有理分式,可分解成部分分式:
P( z ) X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) X K ( z) Q( z )
对各部分分式求z反变换:
x(n) IZ [ X ( z )]
Ak 可由极点上的留数求得,即
Ak (1 d k z ) X ( z )
1
z dk
X ( z) ( z dk ) z z dk
当M N,则X ( z )可展开成如下形式
X ( z ) BM N z ( M N ) BM N 1z ( M N 1) Ak B1 z B0 1 d k z 1 k 1 M N N Ak n Bn z 1 n 0 k 1 1 d k z
x(n) Re s[ F ( z )]z a Re s[ F ( z )]z a 1
a n ( a n ) a n a n x(n) (a n a n )u( n 1)

z反变换

z反变换
1 d n−1 K1n = (z − z1 )m X (z ) (n − 1)! dz n−1 z
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子:
解:
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2.X(z)仅含有重极点
设X(z)在z=z1处有m阶极点,
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法, X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。

z反变换的留数法

z反变换的留数法

z反变换的留数法
反变换的留数法是一种计算反向Laplace变换的方法,也称为留数方法。

它将Laplace变换的积分转换为复平面上的留数计算,并使用留数定
理来计算反变换。

设 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$,其中$s$为复平面上的复变量。


变换的留数法的基本思路是,先找出函数$F(s)$在复平面上的所有孤立奇点,然后计算这些奇点上的留数,最后使用留数定理将反变换表示成积分
形式。

留数定理的表述如下:
设$f(z)$在$z_0$处有一个$n$阶极点,则$f(z)$在$z_0$处的留数为:$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^n f(z)]$$。

根据留数定理,反变换的留数法可以写作:
$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to
\infty} \int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} F(s)e^{st}ds=\sum_i
Res[F(s)e^{st},s_i]$$。

其中,$\gamma$是收敛线,$s_1,s_2,...,s_n$是复平面上$F(s)$的
所有孤立奇点。

因此,要计算反变换,需要先找出函数$F(s)$的所有奇点,并计算它
们上的留数,然后将这些留数相加即可得到反变换。

此方法适用于计算一
些简单的反变换,但对于具有复杂奇点分布的函数,计算留数非常困难,
需要采用其他方法。

信号与系统§8.3Z反变换

信号与系统§8.3Z反变换

jIm( z)
0

X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1,并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1

xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0

xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统

§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一.部分分式展开法
1.z变换式的一般形式
X (z)

N(z) D(z)

b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2

br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三.围线积分法求z反变换
1.z逆变换的围线积分表示
已知z变换

X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn

1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内,选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C, 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2.右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列

X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3.左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n

z变换反演积分法

z变换反演积分法

z变换反演积分法
Z变换反演积分法是通过利用逆Z变换的公式,将Z变换的结果反变换成时域信号。

具体步骤如下:
1. 根据信号的Z变换结果,确定其逆Z变换的公式。

2. 将Z变换结果的极坐标形式转换为分数形式,即将Z变换
结果表示为分子和分母的比值。

3. 将分数形式的Z变换结果进行部分分式展开,得到Z变换
结果的逆Z变换表达式。

4. 反变换的结果通常是关于n的时域信号,其中n为正整数。

5. 根据逆Z变换的公式,对得到的逆Z变换表达式进行展开,得到最后的时域信号。

需要注意的是,逆Z变换涉及到部分分式展开,通常需要使
用拉普拉斯反演公式、维特公式等方法来求解。

对于复杂的Z
变换结果,逆Z变换可能会比较繁琐或难以求解,因此在实
际应用中,常常利用Z变换表格或数值计算方法来进行逆Z
变换。

3z反变换 PPT

3z反变换 PPT

z 4, z 1 是极点。 4
z n1对应的一定是零点?
当n10时,zn1对应的是极点
如图所示,取收敛域的一个围线c, 分两种情况讨论: (1)n≥-1时,
zn1不构成极点,所
以这时C内只有一个一阶
极点 z1/4 ,
因此
x(n) Res[zn1 /(4z)(z 14)]z1
4
[zn1(z
1)/(4
4
z)(z
14)]z1
4
(1/4)n1 1 4n,n1
41/4 15
或记 x(n)作 14 : nu(n1) 15
(2)当n<-1时, zn+1构成|n+1|阶极点,极点为z=0。
因此C内有极点:z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶 极点;而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
x(n) Re[szn1/(4z)(z14)]z4 4n1 1 4n2,n1 41/4 15
现作逆运算,已知X(z)和它的收敛域,求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) . . x ( 2 . ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 .
求x(n),实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
或记 x(n 作 )1: 4n2u( n2) 15
因此 x(n)11115544nn2,,
n1 n2
或记 x (n ) 4 作 nu (n : 1 ) 4 n 2u ( n 2 ) 15 15
[例2-6]: 已知 X(z) z2 , z 4 ,
(4z)(z1)
求z反变换。
4
解:由收敛域可知,

2.3z反变换

2.3z反变换
数字信号处理
第二章 z变换(2.3)
主 讲:熊美英 E-mail:wax8301@ 九江学院电子工程学院
1
第二章 z变换



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数及频率响应
6
二、求z反变换的方法: 1、围线积分法(留数法); 2、部分分式展开法; 3、长除法。
7
1、围线积分法(留数法) 根据复变函数理论,若函数X(z)在环状区域 内解析,则在此区域可展开 成罗朗级数的形式:
其中:
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
如果能将X(z) 展开成几个简单的分式的和的 形式,而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接 求得。
21
如果能将X(z) 展开成几个简单的分式的和的形式, 而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接求得。 也就是:
x(n) z 1[ X ( z )] z 1[ X 1 ( z )] z 1[ X 2 ( z )] ... z 1[ X K ( z )] x1 (n) x2 (n) ... x K (n)
26
求系数A1、A2:
27
又|z|>2,收敛域在两个极点之外,是什么序列?
28
若用待定系数法求系数A1、A2:
则分子相等
应对所用z成立。
令z 0.5,可求A2 1 / 3 令z 2,可求A1 4 / 3
29
[例]:利用部分分式法,求 的z反变换。 解: 又|z|<0.5,收敛域在两个极点之内,是什么序列?

双边z变换及反变换

双边z变换及反变换

收敛域 (ROC): R |z| R+
双边z变换
(1)有限长序列
N2
X ( z ) x[k] z k
ROC 0 z
k N1
例:试求矩形脉冲序列RN[k]的双边z变换及其收敛域
解: X (z) RN [k] z k
k
N 1
= 1 zk
k0
1 z N 1 z1
,
|z| > 0
有限长序列的z变换的收敛域都是 |z| > 0或者 |z| ≥ 0
za z< b
[例] 已知 解:
X (z)
z2
, 求不同收敛域对应的x[k]。
(z 2)(z 3)
X1(z)
X2(z)
X (z) 2z 3z
z2 z3
(1) |z|3 ,X1(z)和 X2(z)均对应右边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k]
(2) 2<|z|<3,X1(z)对应右边序列, X2(z) 对应左边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k 1]
(3) |z|<2 ,X1(z)和 X2(z)均对应左边序列
x[k] 2 2k u[k 1] 3 3k u[k 1]
双边z变换及反变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累,来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流,难以一一注明出处,特 此说明并表示感谢!
2 z 4
Im (z) ROC
Re(z)
双边z变换
(4)双边序列
X ( z ) x [k ] z k
k
双边序列z变换的收敛 域为:Rx < |z| < Rx+

Z反变换方法范文

Z反变换方法范文

Z反变换方法范文Z反变换方法是一种在控制系统设计和信号处理领域广泛应用的数学工具。

它能够将复平面上的频域信号转换回时域信号,提供了一种有效的逆变换方法,可以将频域系数转换成原始信号。

在本文中,我们将详细介绍Z反变换的原理、应用和计算方法。

首先,我们来了解一下Z变换。

Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的频域表示的方法。

它在控制系统设计和信号处理中具有重要的作用。

Z变换将离散时间序列表示为复数序列,这些复数的模长表示信号的幅度,相位角表示信号的相位信息。

Z变换的数学定义如下:X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)], n=-∞ to +∞其中,X(z)表示Z变换后的频域信号,x(n)表示时域信号,z是一个复数变量。

Z变换的作用类似于傅里叶变换,它能够将时域信号转换为频域信号,提供了一种分析和处理信号的有效方法。

Z反变换是Z变换的逆运算。

它的作用是将Z变换后的频域信号转换回时域信号。

Z反变换的数学定义如下:x(n) = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中,x(n)表示反变换后的时域信号,X(z)表示Z变换后的频域信号,∮表示沿着闭合曲线的积分,j是虚数单位。

Z反变换的计算方法有多种,下面我们将介绍两种常用的计算方法。

一种常用的计算方法是使用留数定理。

留数定理是复变函数理论中的重要定理,它提供了一种计算复变函数积分的方法。

对于Z反变换的计算,我们可以首先将X(z)分解为部分分式的形式,然后计算每个留数对应的积分,最后求和得到反变换。

另一种常用的计算方法是使用逆Z变换表。

逆Z变换表是一种预先计算好的Z反变换的结果表格。

通过查表可以直接得到反变换的结果。

逆Z 变换表通常包含了一些常用的频域信号的反变换结果,可以方便地应用于实际计算中。

Z反变换在控制系统设计和信号处理中有广泛的应用。

在控制系统设计中,Z反变换可以用于恢复控制信号的时域波形,从而实现对系统的控制。

在信号处理中,Z反变换可以用于恢复被Z变换后的频域信号,从而实现对信号的处理和分析。

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已 知F (z)
z2
z 2z 1
,
z 1, 求f (n)。

z 1 2z 2 3z 3 4z 4
z2 2z 1 z
z 2 z1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z1 6z 2 3z3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
z
z
12
z1
1
所以
F(z)
z z1
z (z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
(n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例2:
F(z)
(z
1 1)2
,
z
1, 求f
(n)。

F(z)
1
z z(z 1)2
k11 z1
k12 (z 1)2
k2 z
1
k2 z zz 12 z0 1
k12
z
12
zz
1
12
z1
1
k11
(2
1 1)!
d dz
z
12
1
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
• 幂级数展开法 • 部分分式展开法
幂级数展开法
F(z) f (n)zn n0 f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义,因果序列的象函数是 z-1的幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
• 对 F(z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
• F(z) z z
• 查反变换表
部分分式展开法:
➢ 已知F(z)后,应先对F(z) 展开部分分式。
z
(1)若 F(z)仅有n个一阶单极点,则可展开为
F (z) n ki ,
式中系数 z
i0 z zi
z0 0
ki
F(z) z
(z
zi )
(2) F(z)仅含重极点
则可展开为
F(z)
N (z) (z z1)m
各系数
F(z) z
k11 (z z1)m
k12 (z z1)m-1
k1m z z1
k0 z
k1n
(n
1 dn1 1)! dzn1
( z
z1 ) m
F(z) z
z z1
( n = 1,2,m )
注意:除了对F(z) 展开分式外,方法与拉氏变换一
z zi
( i = 0,1,2,n )
例 则 系数
故 反变换
F(z)
5z
(z 1)(z 2)
F(z)
5
k1 k2
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
k1
(z
1)
F
(z) z
z 1
5
k2
(z
2)
F(z) z
z2
5
F(z) 5z 5z z 1 z 2
f (n) 5 2n (n) 5 (n)
第5章 离散系统的Z域分析
•本章导读: •如同拉普拉斯变换在分析连续时间系统的作用一样,通 过Z变换可以将描述离散系统的差分方程变换为代数方程, 简化离散系统响应的求解。 •描述离散系统的单位脉冲响应经Z变换得到离散系统的Z 域系统函数,观察Z域系统函数的零、极点分布,可进一 步分析系统的时域特性和稳定性等。
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
所以
f
( n)
0,
1,
2,
3,
4,
部分分式展开法
z变换式的一般形式
步骤
F(z)
N (z) D(z)
b0 b1z b2 z 2 a0 a1z a2z2
br 1z r 1 br z r ak1zk1 ak zk
样。
z
例1:已 知F (z)
z2
,ROC : z 2, 求f (n)。
(z 1)( z 2)
解 F (z) 除 以 z F(z)
z
z (z 1)( z 2)
将 F(z) 展 开 为 部 分 分 式 z
F (z) k1 k2 zห้องสมุดไป่ตู้z1 z2 1 2 z1 z2
部分分式乘以 z F(z) z 2z z1 z2
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