3.4极化电荷
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dq 电荷（-q）留 在 内，此时加“－”号以保证 0。
P(E) θ n S
P(E)
2
n
θ
S
2 dq 电荷（+q）留 在 内，此时加“－”号以保证 0。
（2）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dS 时， 0，而 E ‖P ， 所截偶极子的正 cos
（ 又 ql p，nql 为单位体积的电偶极矩的矢量和 P） dq nqlcosdS P cosdS P dS
R
- +
dS dE z dE cos cos 2 4 0 R
总场强
A O
+ + + + +
n θ P z
E dEz
S
dS cos 2 4 0 R
2
- +
+
d
0
2
0
P cos R sin d cos 2 4 0 R
§3.4 极化电荷
一 极化电荷 定义：由于电介质的极化而在介质内部或表面上 出现的宏观电荷叫做极化电荷，这些宏观电荷不能离 开电介质，也不能在电介质内自由移动，故也称为束 缚电荷。 二 极化电荷体密度与极化强度的关系 在介质中取一任意形状的体积 ， 的边界面为S， 下面求 内的极化电荷量 q。
偶极子 对q 无贡献。 设介质中单位体积内的分子数为 n，则夹层的体积为
l E θ P n
l cos dS
中心在夹层内的偶极子数（分子数）为
nl cos dS
dS
所贡献的电荷量为
dq qnlcosdS
说明：（对上式中的“－”号） （1） 时， 0，而 E ‖P ， 所截偶极子的负 cos dS
ΔS1 ΔS
介质1 介质2
q q 1 q 2 q 侧 S S S
∵
h S1 S 2
S
ΔS2
q 1 S ，将q 侧忽略 ∴ q 侧 S S S q 2
由 dq P dS 得
n2
放大图
q 1 P dS1 q 2 P2 dS 2 S 1 S q P dS1 P2 dS 2 1 S1 S 2 S （S1、S2相距很近） ˆ n n1 n2 ˆ ˆ
q ˆ P2 P1 n P2 n P1n S ˆ ˆ n n1 ：介质2指向介质1的法向单位矢。
2、讨论 （1）几何面 S 位于两种介质的交界面上，通常 P n P n ，所以 0。 1 2
（2）若S面并非两介质交界面，而为均匀介质内一 P 几何面：当介质均匀极化时， 1n P2 n ，则 0。
分析：那些被 的边界面S截为两段的偶极子对 极化电荷 q 有贡献。
在dS 两侧作两个 与dS 平行的面元 dS1及dS2，它们
的垂直距离都为l cos 与dS
壁围成一个夹层，显然，中心在夹层内的偶极子一定
2
dS 。 1、dS2加上两个侧
被dS 所截，对极化电荷 q有 贡献，中心在夹层外的
+ 金属板 E
各点相同时 P 0 E 必须E各点相同 才能P各点相同 证明：将均匀介质放入（充满）平行板电容器中，
-
A B
C D
金属板 P
在均匀极化介质中取一长方体， P 垂直，由于极化， 与 只有AB和CD所代表的侧面才与偶极子相截。 P 处处 而
（3）介质1是真空（介质和真空的交界面上） n P1=0 S 真空中 P 0 Pn 0 1 1
ˆ P2 n P2n Pn
P2
ˆ n 由介质指向真空
介质1（真空） 介质2
无特别声明时空气均认为是真空，均有
Pn
（4）介质1是金属（介质和金属的交界面上）
3、特例：对均匀介质（不要求均匀极化），只要 （ 该点自由电荷体密度为零 0 0）， 则极化电荷体密度 q 0（第5节小字部分给出证明P102）。
三 极化电荷面密度与极化强度的关系 1、 与 P 的关系 对两介质交界处，求交界面上的极化电荷面密度。
在两介质界面上取一小“薄层”（h很小的圆柱体）， 柱高h满足条件
相等，所以AB和CD两侧面所截的偶极子数相等，即
dq B P dS AB A dq CD P dS CD
P相等 dS AB dS CD
A B
C D
dq B 与 dqCD 等值异号 A
这说明：如果AB面所截偶极子把正电荷留在长方 体内，则CD面所截偶极子必然把负电荷留在该长方 体内，因而此长方体内极化电荷 q为零。 由于长方体的任意性，可见均匀极化介质内部处 处没有极化电荷，将长方体缩为物理无限小（就是 一个宏观点），那么均匀极化介质内任一点 0。
（2）求极化电荷在球心处产生的场强
+ + + +
P z
极化电荷以z为轴对称地分布在球表面上，在球心 处产生的场强只有z轴的分量，且方向为z轴负方向。
dq dS ，其在球心O处产生场强为
dS ˆ dE R 4 0 R 2
在球表面上任意选取一面元 dS ，面元所带电荷量
1、 与P的关系
就是该点 若 趋于物理无限小，则比值 的极化电荷体密度。
q
-
+
P
dS
τ
E
θ
n
S
dS
在S上取一个小面元 dS ，其上 P 与该点 E 同向， ˆ 并假设 P 与面元法向 n 夹角为 。 dS 很小，认为其上各点P相同，并认为dS附近 的偶极子都有相等的偶极矩p，即p与P平行。
（3）对S积分得内 的极化电荷总量
q dq P dS
S S
（4）当 很小时（物理无限小即宏观点），得该点 的极化电荷体密度为
q
P dS
S
（点函数）
2、证明：对均匀极化的介质（不要求介质均匀），
0。
介质中各点相同， 相同 P相同（均匀极化）。 E
ˆ P nA
ˆ P n A P cos A A
任一点有
P cos
R
- +
+ A
n θ
所以极化电荷分布为
O
右半球 在1、象限 ， 0 4 + - + 左半球 在2、象限 ， 0 3 左右两极处 0， ， 最大 P 3 上下两极处 ， ， 最小 0 2 2
ˆ n 由介质2指向介质1
例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化
电荷的分布，以及极化电荷在球心处产生的电场强度， 已知极化强度为 P。 n 解：（1）取球心O为原点， θ A P R 极轴与 P 平行的球极坐标，选 z O 球表面任一点A（这里认为置 于真空中），则
而定，即
由于均匀极化，故极化电荷的分布由 nA与P 的夹角 ˆ
E金属内 0 P 0 E金属内 0，P n 0 1 1 ˆ P2 n P2n Pn
S P1=0（E1=0） n P2
介质1（金属） 介质2
ˆ n 由介质指向金属
（5）两种介质的交界面上
ˆ P2 P n P2n P n 1 1
ˆ ˆ ˆ q P n1S P2 n1S P2 P nS P2 n P n S 1 1 1
因为h很小，当场点与薄层的距离远大于薄层的厚 度h时，从宏观上可以认为 q 就集中在几何面 S 上，
故S 上的极化电荷面密度为
2 P 3 0
0
P cos 2 sin d 1 d 4 0 2 0
0
P cos 2 d cos
P E 的方向为z轴负方向，大小为 3 。
0
习题： 3.4.1；3.4.5；3.4.6
h s1 s2
小“薄层”取为物理无限小，即宏观上它可视为S面 上的一宏观点，而微观上它却足够大，大到可以包含 足够多的分子（偶极子）。 交界面S n1(n) n1
ΔS1 ΔS ΔS2
介质1 介质2
ΔS1
S
ΔS2
ΔS h 介质1
n2
n2
放大图
介质2
“薄层”内的极化电荷由三部分组成
n1(n)
P(E) θ n S
P(E)
2
n
θ
S
2 dq 电荷（+q）留 在 内，此时加“－”号以保证 0。
（2）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dS 时， 0，而 E ‖P ， 所截偶极子的正 cos
（ 又 ql p，nql 为单位体积的电偶极矩的矢量和 P） dq nqlcosdS P cosdS P dS
R
- +
dS dE z dE cos cos 2 4 0 R
总场强
A O
+ + + + +
n θ P z
E dEz
S
dS cos 2 4 0 R
2
- +
+
d
0
2
0
P cos R sin d cos 2 4 0 R
§3.4 极化电荷
一 极化电荷 定义：由于电介质的极化而在介质内部或表面上 出现的宏观电荷叫做极化电荷，这些宏观电荷不能离 开电介质，也不能在电介质内自由移动，故也称为束 缚电荷。 二 极化电荷体密度与极化强度的关系 在介质中取一任意形状的体积 ， 的边界面为S， 下面求 内的极化电荷量 q。
偶极子 对q 无贡献。 设介质中单位体积内的分子数为 n，则夹层的体积为
l E θ P n
l cos dS
中心在夹层内的偶极子数（分子数）为
nl cos dS
dS
所贡献的电荷量为
dq qnlcosdS
说明：（对上式中的“－”号） （1） 时， 0，而 E ‖P ， 所截偶极子的负 cos dS
ΔS1 ΔS
介质1 介质2
q q 1 q 2 q 侧 S S S
∵
h S1 S 2
S
ΔS2
q 1 S ，将q 侧忽略 ∴ q 侧 S S S q 2
由 dq P dS 得
n2
放大图
q 1 P dS1 q 2 P2 dS 2 S 1 S q P dS1 P2 dS 2 1 S1 S 2 S （S1、S2相距很近） ˆ n n1 n2 ˆ ˆ
q ˆ P2 P1 n P2 n P1n S ˆ ˆ n n1 ：介质2指向介质1的法向单位矢。
2、讨论 （1）几何面 S 位于两种介质的交界面上，通常 P n P n ，所以 0。 1 2
（2）若S面并非两介质交界面，而为均匀介质内一 P 几何面：当介质均匀极化时， 1n P2 n ，则 0。
分析：那些被 的边界面S截为两段的偶极子对 极化电荷 q 有贡献。
在dS 两侧作两个 与dS 平行的面元 dS1及dS2，它们
的垂直距离都为l cos 与dS
壁围成一个夹层，显然，中心在夹层内的偶极子一定
2
dS 。 1、dS2加上两个侧
被dS 所截，对极化电荷 q有 贡献，中心在夹层外的
+ 金属板 E
各点相同时 P 0 E 必须E各点相同 才能P各点相同 证明：将均匀介质放入（充满）平行板电容器中，
-
A B
C D
金属板 P
在均匀极化介质中取一长方体， P 垂直，由于极化， 与 只有AB和CD所代表的侧面才与偶极子相截。 P 处处 而
（3）介质1是真空（介质和真空的交界面上） n P1=0 S 真空中 P 0 Pn 0 1 1
ˆ P2 n P2n Pn
P2
ˆ n 由介质指向真空
介质1（真空） 介质2
无特别声明时空气均认为是真空，均有
Pn
（4）介质1是金属（介质和金属的交界面上）
3、特例：对均匀介质（不要求均匀极化），只要 （ 该点自由电荷体密度为零 0 0）， 则极化电荷体密度 q 0（第5节小字部分给出证明P102）。
三 极化电荷面密度与极化强度的关系 1、 与 P 的关系 对两介质交界处，求交界面上的极化电荷面密度。
在两介质界面上取一小“薄层”（h很小的圆柱体）， 柱高h满足条件
相等，所以AB和CD两侧面所截的偶极子数相等，即
dq B P dS AB A dq CD P dS CD
P相等 dS AB dS CD
A B
C D
dq B 与 dqCD 等值异号 A
这说明：如果AB面所截偶极子把正电荷留在长方 体内，则CD面所截偶极子必然把负电荷留在该长方 体内，因而此长方体内极化电荷 q为零。 由于长方体的任意性，可见均匀极化介质内部处 处没有极化电荷，将长方体缩为物理无限小（就是 一个宏观点），那么均匀极化介质内任一点 0。
（2）求极化电荷在球心处产生的场强
+ + + +
P z
极化电荷以z为轴对称地分布在球表面上，在球心 处产生的场强只有z轴的分量，且方向为z轴负方向。
dq dS ，其在球心O处产生场强为
dS ˆ dE R 4 0 R 2
在球表面上任意选取一面元 dS ，面元所带电荷量
1、 与P的关系
就是该点 若 趋于物理无限小，则比值 的极化电荷体密度。
q
-
+
P
dS
τ
E
θ
n
S
dS
在S上取一个小面元 dS ，其上 P 与该点 E 同向， ˆ 并假设 P 与面元法向 n 夹角为 。 dS 很小，认为其上各点P相同，并认为dS附近 的偶极子都有相等的偶极矩p，即p与P平行。
（3）对S积分得内 的极化电荷总量
q dq P dS
S S
（4）当 很小时（物理无限小即宏观点），得该点 的极化电荷体密度为
q
P dS
S
（点函数）
2、证明：对均匀极化的介质（不要求介质均匀），
0。
介质中各点相同， 相同 P相同（均匀极化）。 E
ˆ P nA
ˆ P n A P cos A A
任一点有
P cos
R
- +
+ A
n θ
所以极化电荷分布为
O
右半球 在1、象限 ， 0 4 + - + 左半球 在2、象限 ， 0 3 左右两极处 0， ， 最大 P 3 上下两极处 ， ， 最小 0 2 2
ˆ n 由介质2指向介质1
例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化
电荷的分布，以及极化电荷在球心处产生的电场强度， 已知极化强度为 P。 n 解：（1）取球心O为原点， θ A P R 极轴与 P 平行的球极坐标，选 z O 球表面任一点A（这里认为置 于真空中），则
而定，即
由于均匀极化，故极化电荷的分布由 nA与P 的夹角 ˆ
E金属内 0 P 0 E金属内 0，P n 0 1 1 ˆ P2 n P2n Pn
S P1=0（E1=0） n P2
介质1（金属） 介质2
ˆ n 由介质指向金属
（5）两种介质的交界面上
ˆ P2 P n P2n P n 1 1
ˆ ˆ ˆ q P n1S P2 n1S P2 P nS P2 n P n S 1 1 1
因为h很小，当场点与薄层的距离远大于薄层的厚 度h时，从宏观上可以认为 q 就集中在几何面 S 上，
故S 上的极化电荷面密度为
2 P 3 0
0
P cos 2 sin d 1 d 4 0 2 0
0
P cos 2 d cos
P E 的方向为z轴负方向，大小为 3 。
0
习题： 3.4.1；3.4.5；3.4.6
h s1 s2
小“薄层”取为物理无限小，即宏观上它可视为S面 上的一宏观点，而微观上它却足够大，大到可以包含 足够多的分子（偶极子）。 交界面S n1(n) n1
ΔS1 ΔS ΔS2
介质1 介质2
ΔS1
S
ΔS2
ΔS h 介质1
n2
n2
放大图
介质2
“薄层”内的极化电荷由三部分组成
n1(n)