第10讲 数列的实际应用

数列的实际应用

主讲教师：庄肃钦

【知识概述】

数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。

实际应用题常见的数列模型：

1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n.

2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n.

3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明.

【学前诊断】

1．[难度] 易

某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（）

A．511个B．512个C．1023 D．1024个

2．[难度] 易

某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______.

3．[难度] 中

某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______.

【经典例题】

例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本

金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一

年增加30%的利润；

乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获

利5千元.

两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按

年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元，

参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==）

例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产

业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15

，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14

。 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写

出,n n a b 的表达式；

（2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的

6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

例4.

【本课总结】

对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力.

解题方法

1.主要模型：

（1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)；

（2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)；

（3） 等差数列与等比数列综合模型；

（4） 递推数列模型等等.

2.勇闯四关：

（1）阅读关：读懂题意，明确问题的实际背景；

（2）语言关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；

（3）模型关：通过对数学知识的检索，认定或构建相应的数学模型，如等差(比)数列、递推数列模型，完成从实际问题向数学问题的转化；

（4）计算关：构建出数学模型后，综合其他相关知识，通过正确的计算得到问题的解答.

【活学活用】

1．[难度] 中

一个家庭为了给孩子将来上大学付学费，从孩子一出生起，每年到银行储蓄一笔钱，假设大学四年学费共需5万元，银行储蓄利率为月息4.725‰，每年按复利计算，为了使孩子到18岁上大学时本利共有5万元，他们每年要存入银行元钱.（精确到1元）

2．[难度] 难

假设某市2009年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2009年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？3．[难度] 难

某市位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2008年底全市的绿地已占总面积的30%．从2009年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．

（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全市绿地面积超过80%？

（Ⅱ）至少在多少年底，该市的绿地面积才能超过总面积的60%？