高等数学题库常微分方程
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
，( ＼、
＿1…秒 －1e' dt)
d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
1( － l
－ e1' 命 ·－ dt ＋l－ e'
·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
《高等数学II》第6章常微分方程练习题
第六章 常微分方程与差分方程一、单项选择题1．微分方程0)'()''(3)'''(5423=++-x y y y 阶数是 （ ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是 （ ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是 （ ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是 （ ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为 （ ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y 6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7．微分方程y xy xy -='是 （ ）A 可分离变量方程B 齐次方程C 一阶齐次线性方程 D.一阶非齐次线性方程8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是 （ ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 为 （ ）A 齐次方程B 一阶线性齐次方程C 一阶线性非齐次方程D 可分离变量的微分方程10．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）A x x y x y cos )(tan '2-+=B 0ln '=--y y y xey x C dxdy xy dx dy x y =+22 D 0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy 11．微分方程02=+'-''y y y 的一个特解是 （ ）A x e x y 2=B x e y =C x e x y 3=D x e y -=A 0'''=-y yB 0'''=+y yC 0''=-y yD 0''=+y y13．微分方程052=+'+''y y y 的通解y 等于 （ ）A.x c x c 2sin 2cos 21+B. )2sin 2cos (21x c x c e x +C.)2sin 2cos (21x c x c e x +-D.)2sin 2cos (21x c x c x +14．微分方程：0''=+y y 满足初始条件2|',1|00====x x y y 的特解为 （ ）A x x y sin cos +=B x x y sin 2cos +=C 122++=x x yD x C x C y sin cos 21+=15．设21,y y 是二阶常系数微分方程0=+'+''qy y p y 的两个解，则下列说法不正确的是( )A ．21y y +是此方程的一个解 B.21y y -是此方程的一个解C ．2211y c y c +是此方程的通解 (21,c c 为任意常数)D ．若21,y y 线性无关，则2211y c y c +是此方程的通解(21,c c 为任意常数)16．用待定系数法求微分方程x xe y y 2''=-的一个特解时，应设特解的形式为 （ ）A.x e Bx Ax y )(2*+=B.x e B Ax y )(*+=C.B Axe y x +=*D. x e Ax y 2*=17．用待定系数法求微分方程x e y y y 396=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）A.x e Ax y 32*=B.x e x y 32*=C.x Axe y 3*=D.x Ae y 3*=18．二阶线性微分方程5y 3y 4y '''=-+对应的齐次方程的特征方程为 （ ）A ．5342=-+r r B.0342=-+r r C.534=-+r r D.0342=-+r r r19．已知722-=x y 是微分方程32"2-=+x y y 的一个特解，则其通解为 （ ）A 72sin cos 221-++=x x c x c xB 72221-++=-x ec e c x x x C 72221-++=-x ec c x x D ()72221-++=x e x c c x x 20．微分方程x xe y y y 2'"44=+-的特解形式为 （ ）A x eB Ax 2)(+ B x e B Ax x 2)(+C x e B Ax x 22)(+D xe Ax 23 21．下列函数中哪组是是线性无关的 （ ）Ａ.2x ln ,x ln Ｂ.x ,x ln Ｃ.x 2ln ,x Ｄ.2x ln ,x lnA.0'''=-y yB.0'''=+y yC.0''=-y yD.0''=+y y二、填空题1．微分方程()03"')4(3=++y y y y 的阶数为______； 2．微分方程0=+y dxdy 的通解是_______ ___； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是______________； 4．微分方程0e y y x =+'+的通解是_______ ___；5．微分方程x y sin ''=的通解是________________； 6．微分方程04'4''=+-y y y 的通解为_________；7．微分方程02'"=+y y 的通解为_____________； 8．微分方程x e y y 2'=+的通解为____________ 9．求微分方程x x e y y 2''y =+'+的特解的形式为_________________________________；10．若)(x f 是方程x y dx y d 2sin 422=+的一个特解，则方程的通解为__________________； 三．求解下列常微分方程1．0ln ln =+ydy x xdx y 2．dxdy xy y dx dy x=+3．x e y y =-' 4．0,cos 0sin ==+'=-x x y e x y y5．0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 6．()01=+-xdy dx y7．0'=-y xy 8．y2x y 2dx dy -=9．x ey y -=+' 10．0)6(22=-+dy x y ydx11．1='+''y y 12．x y y +'=''13．1)1(,12=-=y x dx dy xy14．02='+''y y15．1x y y +='+'' 16．02'''=--y y y17．0y 'y 4''y 4=++ 18．09'6"=++y y y ，1',000====x x y y19．x e y y y 232'''=-+ 20．233'2"+=--x y y y四．已知特征方程的两个根为：i r +-=21，i r --=22，求相应的二阶常系数的齐次线性微分方程及其通解。
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
考研数学一-高等数学常微分方程(一)
考研数学一-高等数学常微分方程(一)(总分：178.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(A) y=C1x2+C2x+C3． (B) x2+y2=C．(C) y=ln(C1x)+ln(C1sinx)． (D) y=C1sin2x+C2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)．2.微分方程y"+2y'+y=3xe-x的特解形式为(A) axe-x． (B) (ax+b)e-x． (C) (ax+b)xe-x． (D) (ax+b)x2e-x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方程对应的特征方程为λ2+2λ+1=0，故特征根为重根λ1=λ2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且Q(x)=3x为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x2e-x．故应选(D)．3.微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为(A) (ax+b)e x． (B) (ax+b)xe x．(C) (ax+b)+ce x． (D) (ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于特征方程为λ2-3λ+2=0，所以特征根为λ1=1，λ2=2．从而方程y"-3y'+2y=3x待定特解形式为；方程y"-3y'+2y=-2e x待定特解形式为，是原方程的一个特解，故选(D)．4.微分方程y"+2y'+y=(x+1)e-x+2x+1有一个特解y*形式为(A) y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)． (B) y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)．(C) y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)． (D) y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为特征方程为λ2+2λ+1=0，特征根为重根λ1=λ2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e-x应设特解，对应非齐次项2x+1，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)．5.若A，B为非零常数，c1，c2为任意常数，则微分方程y"+k2y=cosx的通解应具有形式(A) c1coskx+c2sinkx+Asinx+Bcosx． (B) c1coskx+c2sinkx+Axsinx．(C) c1coskx+c2sinkx+Axcosx． (D) c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于对应的齐次方程的通解为c1coskx+c2sinkx．这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解．如果非齐次方程的特解有形式Asinx+Bcosx，说明此时k≠1，经验证可知特解为，即A=0，．而根据题设，A，B均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误．如果k=1，则特解应具有形式Axsinx+Bxcosx，B=0，由此可见，应选(B)．6.设y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则此微分方程的通解是(A) C1y1+C2y2+y3． (B) C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．(C) C1y1+C2y2-(C1+C2)y3． (D) C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为y1(x)，y2(x)，y3(x)是线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3和y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解．由于y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有k1=k2=0，故y1-y3和y2-y3线性无关．所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)．7.已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为(A) y"-y'-2y=e x-2xe x． (B) y"+y'+2y=e x-2xe x．(C) y"-y'-2y=-e x+2xe x． (D) y"+y'+2y=-e x+2xe x．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(λ-2)(λ+1)=λ2-λ-2=0，从而对应齐次方程为y"-y'-2y=0．把特解y1代入方程得y"1-y'1-2y1=e x-2xe x，因此所求方程为y"-y'-2y=e x-2xe x．所以应选(A)．8.设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据题设，y1(x)与y2(x)应线性无关，也就是说(常数)．反之若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，则y1(x)与y2(x)线性相关．由y1(x)=λy2(x)可得：y'1(x)=λy'2(x)，所以y1(x)y'2(x)-y2(x)，y'1(x)=0，因此应选(B)．9.下列结论不正确的是(A) 若已知y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程．(B) 若微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0有积分因子μ(x，y)，则μ(x，y)必定满足(C) 是微分方程y'+y2=0的解，则y=Cy1也是该方程的解．(D) 方程y"-y'2+2y=0的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 对于(A)：设y*是微分方程y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解．令y=z+y*，代入方程化简得z'=[Q(x)+2R(x)y*]z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确．对于(B)：函数μ=μ(x，y)是微分方程Pdx+Qdy=0的积分因子的充分必要条件是即．故(B)正确．对于(C)不满足方程y'+y2=0，故(C)不正确．对于(D)：用反证法．假设下半平面(y＜0)的点(x0，y0)是积分曲线的拐点，则y"(x0)=0，于是与题设条件矛盾．故(D)正确．综上分析，应选(C)．10.在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是(A) y'"+y"-4y'-4y=0． (B) y'"+y"+4y'+4y=0．(C) y'"-y"-4y'+4y=0． (D) y'"-y"+4y'-4y=0．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1方程是(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，因此所求的微分方程是y'"-y"+4y'-4y=0．选(D)．11.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y'"-y"-y'+y=0． (B) y'"+y"-y'-y=0．(C) y'"-6y"+11y'-6y=0． (D) y'"-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y'"+y"-y'-y=0．应选(B)．二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 原方程可化为，这是一阶线性微分方程，所以其通解为13.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：[解析]y(x-1)=Cx．14.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程．若以y为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x为未知函数的微分方程，即这是以x为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：15.微分方程2x3y'=y(2x2-y2)的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ 是不为零的任意常数)）解析：[解析] 原方程可改写为，从而是齐次微分方程，令得方程(*)是变量可分离的，其通解为(C是不为零的任意常数)．16.微分方程x3yy'=1-xyy'+y2的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 原方程经整理后化成可分离变量的方程两边积分得17.微分方程3e x tanydx+(1-e x)sec2ydy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：[解析] 在原方程两边同乘以，经分离变量可化为积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为tany=C(e x-1)3．18.微分方程(2y-x)dy=ydx的通解是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y2-xy=C）解析：[解析] 题设方程可变形为2ydy-(xdy+ydx)=0即d(y2-xy)=0，故通解为y2-xy=C．19.y(0)=1的特解为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 方程是齐次微分方程，令，则原方程变为，由此可得方程的通解为，由y(0)=1可得C=1．20.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为，令，则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方稗的通解为21.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny=Ce-x+x-1．）解析：[解析] 因为y'cosy=(siny)'，令u=siny，则原微分方程化为u'+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1．22.设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性微分方程y"+a(x)y'+b(x)y=f(x)该微分方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]）解析：[解析] 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)都是原方程所，所以函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)线性无关．根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]．23.已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x-(x2+x+1)，y*=-x2-1是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的两个解，则此方程的通解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1x+C2e x-x2-1）解析：[解析] 由非齐次方程(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2①的两个特解与y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y"-xy'+y=0②的另一特解．事实上 y2=(e x-x)+x=e x也是②的一个解，又e x与x线性无关，因此非齐次方程①的通解为y=C1x+C2e x-x2-1．24.已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2-2x)y"-(x2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3）解析：[解析] 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3．25.设二阶线性微分方程y"+p(z)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=e x，y3=e x+e-x，则该方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为y2-y1，y3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得，q(x)=，再将y1代入原方程可得f(x)=e x．．26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-4y'+7y=0）解析：[解析] 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为．由根与系数的关系知：相应的特征方程为λ2-4λ+7=0．因此该二阶常系数线性齐次方程为：y"-4y'+7y=0．27.以y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中C1，C2为任意常数)为通解的微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"+2y'+y=2e-x）解析：[解析] 设所求微分方程为y"+py'+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1)2=0，即r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．非齐次微分方程对应的特解为y*=x2e-x，代入微分方程即得=2e-x．故所求微分方程为y"+2y'+y=2e-x．28.以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-y'-2y=-3sinx-cosx）解析：[解析] 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为λ1=-1与λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ+2)=0，即λ2-λ-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)"-(sinx)'-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx．故以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y"-y'-2y=-3sinx-cosx．29.微分方程y"+2y'=12x2-10的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+2λ=0，所以特征根为λ=-2，λ=0．从而对应的齐次方程有二线性无关特解y*1=1与y*2=e-2x．设原方程的一个特解为y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2．故非齐次方程有一个特解y*=2x3-3x2-2x．因此原方程的通解为：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x．30.微分方程y"+4y=cos2x的通解为y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+4=0，它的特征根为λ1，2=±2i．因此对应齐次方程二线性无关的特解为．设原非齐次方程的一个特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．所以A=0，．因此原方程的通解为．31.微分方程y"-3y'+ay=e-x有一特解为Axe-x，则a=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4）解析：[解析] 将y=Axe-x代入方程y"-3y'+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x．所以a=-4．32.微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 令P(x，y)=2xsiny+3x2y，Q(x，y)=x3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且，故方程是全微分方程，它的通解为33.已知，及相应的齐次方程，分别有特解则方程满足y(0)=1的特解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由y(0)=1C=-1．因此特解为三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程xy'=y(1+lny-lnx)的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可变形为，是一阶齐次微分方程．令，则原方程变为(*)(*)是变量可分离的微分方程，分离变量得．上式两端求不定积分得u=e Cx．从而原方程的通解为y=xe Cx．)解析：35.求微分方程(1+y2)dx+(x-arctany)dy=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程可变形为，这是一阶线性微分方程，其通解为)解析：36.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程两边同除以x，得当x＞0时，这是齐次微分方程．作变换，有，即．解之，得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lncx)．)解析：37.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程变形为，是齐次微分方程．令，则，两边积分得所以有即代回即得原方程通解为)解析：38.设求微分方程y(0)=0的连续解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当0≤x≤1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，微分方程为，这是变量可分离的微分方程，通解为y=C2e-x．根据y(x)的连续性知：，所以C2=C1+2e．故原方程的通解为由于y(0)=0，所以C=-2，故满足条件的特解为)解析：39.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1+e-x+sin2x的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将方程右端作变形，得(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ1=-1，λ2=3，则相应齐次微分方程通解(2)求原方程一个特解y*．因为有特解=ax+b；y"-2y'-3y=e-x有特解有特解=dcos2x+esin2x，所以其中a，b，c，d，e为待定系数．将y*代入原方程得待定系数于是(3)原方程通解为)解析：40.求微分方程y"+4y'+4y=cos2x满足条件y(0)=y'(0)=0的特解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先求方程对应的齐次方程的通解．特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，所以对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．再求原方程的一个特解．设y*=acos2x+bsin2x是原方程的一个特解，代入原方程得：a=0，，因此是原方程的一个特解．从而原方程的通解为．又因为y(0)=y'(0)=0，代入通解可得C1=0，．所以满足初始条件的特解为)解析：41.求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当-π≤x≤0时，方程为y"+4y=-3sinx，可求得该方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x-sinx．当0＜x≤1T时，方程为y"+4y=3sinx，可求得此方程的通解为y=C3cos2x+C4sin2x+sinx．由于方程的解y(x)及其导函数y'(x)都在分段点x=0处连续，所以从而C1=C3，C2=C4+1．故原方程通解为又因为因此所求特解为)解析：42.求常数a，b，c，d的值，使得微分方程y"+ay'+by=(cx+d)e2x有一个解是y=e x+x2e2x．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将y=e x+x2e2x代入原方程得(1+a+b)e x+[2+(8+2a)x+(4+2a+b)x2]e2x≡(cx+d)e2x，从而)解析：43.求微分方程3y'-ysecx=y4tanx的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程上述方程的通解为因此原方程的通解为)解析：44.已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，y)=(8xy3+x3y4)f(x)，由得(8y3+3x3y4)f(x)+(8xy3+x3y4)f'(x)=(24y2+5x2y4)f(x)．消去y3得 16f(x)-8xf'(x)+y[2x2f(x)-x3f'(x)]=0，有且全微分方程为(6y4+x2y5)C1x2dx+(8xy2+x3y4)C1x2dy=0，故微分方程的通解为 10x3y4+x5y5=C．)解析：45.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(这是欧拉方程，令x=±e t即t=ln|x|，方程变成(*)特征方程λ2+2λ+1=0，特征根λ1=λ2=-1．(*)的通解为y=e-t(C1t+C2)．因此，原方程的通解为，C1，C2常数．)解析：46.设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于对任意x∈(-∞，+∞)，由于f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，所以f(0)=0，因此=2f(x)+f'(0)cosx=2f(x)+cosx．从而得到f(x)满足的微分方程f'(x)-2f(x)=cosx．这是一阶线性微分方程，其通解为记所以从而．由f(0)=0，可得，所以)解析：47.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(u)]=u，从而上式变为令x=e t-1，且f'(t)=e t-1，积分得f(t)=e t-1+C．由f(1)=3可得C=2，故f(x)=e x-1+2．)解析：48.设f(x)f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况．令x-t=u，原方程变为，即．将以上方程求导两次可转化为微分方程为f"(x)=2+f(x)且f(1)=0，f'(1)=0．方程f"(x)=2+f(x)的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-2．由f(1)=0，f'(1)=0可得：C1=e，C2=e-1．因此f(x)=e1-x+e x-1-2．) 解析：49.若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件求y(x)的表达式．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原方程两边关于x求导两次，得到分离变量后再积分，得．因为函数y(x)在点x=0处右连续，则所以方程的通解为将初始条件y(1)=2代入，得C=2e，故所求函数为)解析：50.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足求f(t)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x=rcosθ，r=sinθ，由可得所以f'(t)=4πt3f(t)+4t3，且f(0)=0，即，且f(0)=0．因此，将，f(0)=0代入可得C=0)解析：51.设函数u的全微分du=[e x+f'(x)]ydx+f'(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f'(0)=3，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(，且由于f有二阶连续的导数，则u，即f"(x)-f'(x)=e x．方程的通解为 f(x)=C1+C2e x+xe x，由条件f(0)=4，f'(0)=3求得C1=2，C2=2．因而 f(x)=2+(2+x)e x．)解析：52.设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且，求证：微分方程x→+∞时都趋于1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为因为，所以存在X＞0，当x＞X时，．因此当x＞X时，．于是)解析：53.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f'(0)=1，求u(x，y)，使du=y[f(x)+3e2x]dx+f'(x)dy．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：，从而f"(x)-f(x)=3e2x，解此微分方程得f(x)=-e x+e2x．于是)解析：54.设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f'+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据高斯公式可得即 f(x)+xf'(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x2=0，解得：．由于f'+(0)存在，所以C=0．)解析：55.作变换t=tanx y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于，，解之得：y=(C1+C2t)e-t+t-2．故原方程的通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．)解析：56.若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为，且过点，求此曲线方程．又当x取何值时，．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解令，方程可化为，其通解为从而原方程的通解为，由得，故所求曲线方程为欲使即，解得y=x，代入曲线方程程得，即当时，切终斜率为1/4．)解析：57.在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为Y-y=y'(X-x)，它与x轴交点Q坐标为，从而所围成三角形的面积为这是以x为未知函数，并以y．由初始条件y(1)=1，可确定C=1-k，于是所求曲线为xy=(1-k)y2+k．)解析：58.对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y[0，x2]上的平均值，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，它在y轴上的截距等于f(x)-f'(x)x．由题设可得：，即．上式两端求导数可得-x3f"(x)一2x2J。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-1
专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-1(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程y"=y"的通解是______（分数：2.00）A.y=c1x+c2exB.y=c1+c2ex √C.y=c1+c2xD.y=c1x+c2x2解析：2.对于微分方程y"+3y"+2y=e -x，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是______ （分数：2.00）A.y*=Ae-xB.y*=(Ax+B)e-xC.y*=Axe-x √D.y*=Ax2e-x解析：3.对于微分方程y"+y=sinx，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是______（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx) √D.y*=asinx+bcosx解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程y"+py"+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)，其中c 1，c 2为任意常数．5.二阶常系数齐次线性微分方程y"+2y=0的通解为 1．（分数：2.00）6.二阶常系数齐次线性微分方程y"-4y"+4y=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=(c 1 +c 2 x)e 2x．7.微分方程y"+y"=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 +c 2 e -x．三、解答题(总题数：10，分数：86.00)解下列微分方程．（分数：27.00）(1).(Gompertz方程) y"=rye -kx，r和k是常数，k≠0，y| x=0 =y 0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记e x =exp{x}，(2).xy"-ylny=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e cx．(3).ydx+(y-x)dy=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：本题x和y处于平等地位．(1)x看作自变量，是齐次方程，令则，对u≠0(即y≠0)，，方程的解为和y=0．(2)y看作自变量，y≠0，是x的一阶线性微分方程，可解出(4).(e y -1)e x dx+(e x +1)e y dy=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1+e x )(1-e y )＝c．(5).y"=(x+y) 2．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设x+y=u，方程的解y=-x+tan(x+c)．(6).y"=(x+y) -2．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：arctan(x+y)=y+c(提示：将y看作自变量)．(7).y"+y=e -x，y| x=0 =5．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e -x (x+5)．3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=x(ln|lnx|+c)．(9).(x 2 -1)y"+2xy-cosx=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()8.求（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=x+c．9.已知f"(x)=1+x 2，且f(0)=1，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()10.求y| x=1 =0的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是，且该曲线经过点 4.00）(1).求曲线y=f(x)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).求由曲线y=f(x)，y＝0，x＝1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()11.设f(x)是连续函数，由f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因f(x)是连续函数，故可导，由此得到可导．对，两端关于x求导，得xf(x)=2x+f"(x)．记y＝f(x)，则该式化为y"-xy=-2x是一阶线性微分方程的标准形式，积分可得当x=0时，有，从而f(0)=0，即y| x=0=0，代入，得0=y| x=0=ce 0+2，知c=-2，故为所求． [解析] 对于含有积分上(下)限的关系式，一般可利用求导法，将其化为微分方程形式．另外，此类题目要注意微分方程的初始条件隐含在所给出的关系式中，即隐含y| x=0 =0．12.设f(x)连续且满足f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：先证f(x)已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．（分数：4.00）(1).y 1 =e x，y 2 =e -4x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"+3y"-4y=0；(2).y 1 =e 2x，y 2 =xe 2x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"-4y"+4y=0；(3).y 1 =sin2x，y 2 =cos2x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"+4y=0；(4).y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"-2y"+2y=0．解下列微分方程（分数：33.00）(1).y"-5y"+6y=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=c 1 e 2x +c 2 e 3x．(2).y"+6y"+13y=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e -3x (c 1 cos2x+c 2 sin2x)．3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(4).s"+4s"+29s=0，s| t=0 =0，s"| t=0 =15．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：s=3e -2t sin5t．(5).4y"+43y"+y=0，y| x=0 =2，y"| x=0 =0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(6).y"+6y"+5y=e 2x．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(7).x"+x"-2x=8sin2t．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(8).y"+y=sinx-cos2x．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(9).x"+9x=tsin3t．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x=c 1 cos3t+c 2 sin3t-36t(3tcos3t+sin3t)．(10).s"-a 2 s=t+1．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(11).x"+9x=6e 3t，x(0)=x"(0)=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()13.设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)(总分：91.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A. (y')2+2y=x∙ B. y'+2y2=x∙ C. y'+y=x∙ D. y"+y'=x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C)2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)．3.微分方程y"=y的通解是______∙ A. y=C1+C2e x∙ B. y=e x+e-x∙ C. y=C1e x+C2e-x∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去．选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解．选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)4.y|x=1=1的特解是______∙ A. y=e x∙ B. y=e-x∙ C. y=e x-1∙ D. y=e1-x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法，分离变量[*]，两边积分，得lny=-x+C1，即原方程的通解为y=Ce-x(其中[*])．将初始条件y|x=1代入通解，得C=e，所求特解为y=e·e-x=e1-x．(答案为D)5.微分方程y"=y'的通解为______∙ A. y=C1+C2e2x∙ B. y=C1+C2e x∙ C. y=C1+C2x∙ D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解为y=C1+C2e x．(答案为B)6.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A.y'+xy3=x∙ B.xy'+y=x3∙ C.y·y'+xy=sinx∙ D.y"+5y'-6y=xe-x（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：7.微分方程y'=的通解是______ A． B． C． D其中C为任意常数) （分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.微分方程y'+xy=0的通解是______ A． B． C． D．其中C为任意常数) （分数：2.00）A. √B.C.D.解析：9.微分方程ylnxdx=xlnydy满足初始条件y|x=1=1的特解是______∙ A.ln2x+ln2y=0∙ B.ln2x+ln2y=1∙ C.ln2x-ln2y=0∙ D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：10.微分方程y"+4y'-5y=0的通解是______∙ A.y=C1e x+C2e5x∙ B.y=C1e-x+C2e5x∙ C.y=C1e x+C2e-5x∙ D.y=C1e-x+C2e-5x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：11.对于微分方程y"+4y'+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是______∙ A.y*=Ae-2x∙ B.y*=(Ax+B)e-2x∙ C.y*=Axe-2x∙ D.y*=Ax2e-2x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为______∙ A.y"-y'+6y=0∙ B.y"-y'-6y=0∙ C.y"+y'-6y=0∙ D.y"+y'+6y=0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是y1=1与y2=e2x，则此方程为______∙ A.y"-2y'=0∙ B.y"+2y'=0∙ C.y"-3y'+2y=0∙ D.y"+3y'+2y=0（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程xy'=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x|+C）解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法． [*] y=ln|x|+C．15.微分方程y'=x的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量微分方程． [*]，即dy=xdx，则[*]16.y|x=2=4的特解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=20）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量方程微分方程，分离变量ydy=-xdx，两边积分[*]，即方程的通解为x2+y2=C(其中C=2C1)．将初始条件y|x=2=4代入通解，得C=20，所求的特解为x2+y2=20．17.微分方程y'-y=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce x-1）解析：[解析] 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程．解法Ⅰ [*]，ln(y+1)=x+C1，y+1=Ce x(其中[*])，即通解为y=Ce x-1．解法Ⅱ p(x)=-1，q(x)=1．y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]-e∫dx[∫e∫dx dx+C]=e x[∫e-x dx+C]=e x[-e-x+C]=Ce x-1．18.微分方程xyy'=1-x2的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=2lnx+C）解析：19. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-y=e-x+C）解析：20.微分方程y'-3y=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce3x）解析：21.设y1(x)，y2(x)是二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1y1(x)+C2y2(x)）解析：22.微分方程y"-3y'+2y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1e x+C2e2x）解析：23.微分方程y"-6y'+9y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=(C1+C2x)e3x）解析：24.微分方程y"+2y'+5y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：44.00)设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为，（分数：4.00）(1).求函数y=f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]， [*]．由[*]知C=0，故[*]．)解析：(2).求由曲线y=f(x)，y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：设函数y=f(x)（分数：35.98）(1).求函数y=f(x)的表达式（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可化为[*]，则[*]．将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．)解析：(2).讨论函数y=f(x)在(0，+∞)内的单调性（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因[*]，故[*]在(0，+∞)内单调增加．)解析：(3).求连续函数f(x)，使其满足．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(对关系式两边求导，得f'(x)+2f(x)=2x.这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．其通解为y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dx dx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dx dx+C]=e-2x·[∫2x·e2x dx+C]=e-2x·[xe2x-∫e2x dx+C]=e-2x[*]，由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，所以所求函数为[*]．)解析：(4).设y=e x是微分方程xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将解y=e x代入给定的微分方程，有xe x+g(x)e x=x，解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得y'+(e-x-1)y=1．这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解[*]．将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为[*])解析：(5).求解下列微分方程．求微分方程y-y'=1+xy'的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y-1=C(x+1))解析：(6).求解下列微分方程．满足初始条件y|x=0=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(7).求解下列微分方程． 2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(8).求解下列微分方程．求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(9).设f(x)f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]，xf(x)=f'(x)+2x，整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，其中p(x)=-x，q(x)=-2x，y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdx dx+C][*]把x=0代入[*]，得f(0)=0．把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，所求的函数为[*]．)解析：(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'+y=e x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'-3y=x+1的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(14).设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得[*]，即得f'(0)=0．原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x．自由项f(x)=6x，其中P m(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-6x，将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．所以[*]．)解析：已知可导函数y=f(x)满足关系式y"+y'=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线x-y=1平行．（分数：4.00）(1).求f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由题意可知本题实际上是求二阶常系数齐次线性微分方程y"+y'=0在一定初始条件下的特解．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1，齐次方程的通解为y=C1+C2e-x．y'=-C2e-x，y'(0)=-C2．由题意有y(0)=C1+C2=0，已知直线x-y=1的斜率k=1．由平行条件可知y'(0)=-C2=1，解得C1=1，C2=-1，所求函数y=f(x)=1-e-x．)解析：(2).求曲线y=f(x)，与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷2
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.下列方程是一阶微分方程的是 ( )（分数：2.00）A.2y '' +x 2 y ' +y=0B.(7x一6y)dx+(x+y)dy=0 √C.(y ' ) 2 +xy (4)一y 2 =0D.(y '' ) 2 +5(y ' ) 2一y 5 +x 7 =0解析：解析：A、D项是二阶微分方程，C项是四阶微分方程，只有B项是一阶的，故选B．2.下列哪组函数是线性相关的 ( )（分数：2.00）A.e 2x，e －2xB.e 2＋x，e x－2√C.e x2，e －x2解析：解析：=e 4，是常数，故B项的函数是线性相关的；而A、C、D 项函数都是线性无关的，故选B．3.y ' ( )（分数：2.00）A.arctany—arctanx=CB.arctany+arctanx=CC.arcsiny—arcsinx=C √D.arcsiny+arcsinx=Carcsiny=arcsinx+C，C为任意常数，故选C．4.设函数y(x)满足微分方程cos 2 x．y ' +y=tanx，且当y=0，则当x=0时，y= ( )（分数：2.00）C.一1 √D.1解析：解析：方程两边同时除以cos 2 x，得y ' +sec 2 x．y=tanxsec 2 x．此为一阶线性非齐次方程，由其通解公式可得y=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e ∫P(x)dx dx+C]=e －∫sec2xdx[∫tanxsec 2xe sec2xdx dx+C] =e －tanx[∫tanxsec 2 xe tanx dx+C]=e －tanx [tanxe tanx一∫sec 2 xe tanx dx+C] =e －tanx [tanxe tanx一e tanzx +C]=tanx一1+Ce －tanx，又当时，y=0，则C=0，即y=tanx一1．所以x=0时，y=0—1=一1，故选C．5.微分方程y ''一2y ' =x的特解应设为 ( )（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +Bx √D.Ax 2 +Bx+C解析：解析：因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r 2一2r=0，得特征根为r 1 =0，r 2 =2．于是特解应设为y * =(Ax＋B)x=Ax 2 +Bx．6.设方程y ''一2y '一3y=f(x)有特解y*，则它的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e －x +C 2 e 3x +y* √B.y=C 1 e －x +C 2 e 3xC.y=C 1 xe －x +C 2 e 3x +y*D.y=C 1 e x +C 2 e －3x +y*解析：解析：考虑对应的齐次方程y ''一2y '一3y=0的通解．特征方程为r 2一2r一3=0，所以r 1 =一1，r 2 =3，所以y ''一2y '一3y=0的通解为=C 1 e －x＋C 2 e 3x，所以原方程的通解为y=C 1e －x＋C 2 e 3x +y*，其中C 1，C 2为任意常数．7.已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y ''一6y ' +9y=e 3x，则此曲线方程为y= ( )（分数：2.00）A.sin2x2 e 3x +sin2xx(x+4)e 3x√D.(x 2 cosx+sin2x)e 3x解析：解析：原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程r 2一6r+9=(r－3) 2=0，所以其特征根为r 1=r3x，λ=3是方程的二重特征根，原方程特解形式为y *=Ax 2 =3，二阶齐次方程对应通解为y=(C 1 +C 2 x)e2 e 3x，(y * ) ' =(3Ax 2 +2Ax)e 3x，(y * ) '' =(9Ax 2 +12Ax＋2A)e 3x．代入到方程中可得A= ．则原方程通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x．由题意可得y ' (0)=2，y(0)=0，代入可得C 1 =0，C 2 =2，故所求曲线方程为y=( x 2 +2x)e 3x x(x+4)e 3x．8.微分方程y ' = 的通解为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：设=μ，y=xμ，y '=μ＋=tanμ．所以，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C｜，sinμ=Cx，原方程的通解为=Cx(C为任意常数)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.微分方程的解中含有独立的任意常数的个数若与微分方程的 1相同，则该解叫作微分方程的通解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：阶数）解析：解析：由微分方程通解定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．10.微分方程3e x tanydx+(1一e x )sec 2 ydy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：tany=C(e x一1) 3）解析：解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜e x一1｜+1n｜C｜．所以方程有通解为 tany=C(e x一1) 3，其中C为任意常数．11.微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=ln｜xy｜+x+C）解析：解析：分离变量，(1+x)ydx+(1一｜x｜+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜＋C，C为任意常数．12.方程y ''一2y ' +5y=e x sin2x的特解可设为y*= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：xe x (Asin2x+Bcos2x)）解析：解析：由特征方程为r 2—2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为e x sin2x，因此其特解应设为y*=xe x (Asin2x+Bcos2x)．13.满足y '' =x，且经过点(0，1)，在该点与直线相切的积分曲线为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对等式积分得y ' = x 2 +C 1，再积分得y= x 3 +C 1 x+C，且直线过点(0，1)，则C=1，又直线在该点与y= +1相切，所以y ' (0)= ，故所求积分曲线为＋1．三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.求方程y ' =e 3x－2y满足初始条件y｜x=0 =0的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原题可改写为，即e 2y dy=e 3x dx，两边积分得 e 2y= e 3x+C，代入初始条件y｜x=0 =0，得＋C，所以．)解析：15.求微分方程(1+y 2 )arctanydx+(1+x 2 )arctanxdy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，，即ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜+ln｜C｜，则方程的通解为arctany．arctanx=C，其中C为任意常数．)解析：16.求方程(1+x 2 )ydy＋(1+y 4 )dx=0，满足y｜x=0 =1的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，丙边积分有arctany 2 =一arctanx+C，将初始条件y｜x=0 =1代入得C= ，则方程的特解为arctany 2．)解析：17.求微分方程(x 2 +3)y ' +2xy—e 2x =0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将原方程改写成y ' + ，则．其中C为任意常数．)解析：18.设f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，两边对x求导得 f ' (x)+2f(x)=2x，这是一个一阶线性常微分方程，由通解公式得 f(x)=e －∫2dx(∫2xe ∫2dx dx+C)=e －2x(∫2xe 2x dx+C) =x一+Ce －2x．又由题意可得f(0)=0，则 e －2x．)解析：19.已知连续函数f(x)满足f(x)=∫ 03x＋e 2x ,求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：等式两端对x求导得f ' (x)一3f(x)=2e 2x，利用通解公式得 y=e ∫3dx[∫2e 2x e －∫3dx dx+C]=e 3x[∫2e －x dx+C] =e 3x (一2e －x +C)=Ce 3x一2e 2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，故f(x)=3e 3x一2e 2x．)解析：20.求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f 2(x)=∫ 0x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：据题意，f 2(x)=∫ 0x f(t)．两边同时对x求导，可得 2f(x)．f '(x)=f(x)．，即f ' (x)= ，解微分方程两端积分得又因f(0)=0，可得C=ln3，所以所求函数ln3．)解析：21.假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e x一1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e x一1分别相交于点P 1和P 2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所封闭图形的面积S恒等于线段P 1 P 2的长度，求函数y=f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设可得示意图如图6—1所示．由图可知∫ 0x f(t)dt=e x一1一f(x)，两端求导，得 f(x)=e x一f ' (x)，即 f ' (x)+f(x)=e x．由一阶线性微分方程求解公式，得 f(x)=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C] =e －x (∫e x ．e x dx+C)=Ce －x+e x． 由f(0)=0，得C=． 因此，所求函数为f(x)= (e x一e －x)．)解析：22.求9y ''＋6y '+y=0的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应的特征方程为9r 2+6r ＋1=0，解得r= ，为二重根，故原方程的通解为(C 1 +C 2 x)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：23.求微分方程y ''一2y '一3y=3x+1的一个特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：这是二阶线性常系数非齐次线性微分方程，其中f(x)=3x+1， 方程的特征方程为r2一2r 一3=0． 其特征根为r 1 =一1，r 2 =3． 由于λ=0不是特征根，所以设特解为y *=Ax+B ． 把y *=Ax+B 代入所给方程，得 一3Ax 一2A 一3B=3x+1， 比较系数，得A=一1，B=． 于是求得所给方程的一个特解为 y *=一x ＋．)解析：24.求y ''－4y '+5y=e 2x(sinx+cosx)的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为，r 2—4r+5=0，解得r=2±i，所以对应的齐次方程的解为=(C 1 sinx+C 2 cosx)e 2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故设原方程的特解为y=xe 2x(Asinx+Bcosx)，则 Y '=e 2x(Asinx+Bcosx)+xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]， Y ''=e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]， 代入原方程得 e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e 2x(Asinx+Bcosx)一4xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe 2x(Asinx+Bcosx)=e 2x(sinx+cosx)， 解得 ，故原方程的通解为 y=(C1sinx+C 2 cosx)e 2x(sinx 一cosx)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：25.已知函数f(x)满足方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0，且f '(x)+f(x)=2e x，求表达式f(x)． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解微分方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0， 特征方程r 2+r 一2=0，解得r 1 =一2，r 2 =1， 所以微分方程的通解为f(x)=C 1 e －2x +C 2 e x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． 则f '(x)=一2C 1 e －2x+C 2 e x，又f '(x)+f(x)=2e x， 所以一C 1 e －2x+2C 2 e x=2e x，得C 1 =0，C 2 =1，所以f(x)=e x．) 解析：26.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程化为为齐次方程，令=μ，dy=μdx+xdμ，代入上式再分离变量cosμdμ=dx．两边积分得sinμ=一ln｜x｜+C，将μ=代入得通解为=一ln｜x｜+C，C为任意常数．)解析：27.的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令y '=p，y ''= －p=0，分离变量得，两边积分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C 1｜即p=C 1 y，即y ' =C 1 y，再分离变量得dy=C 1 dx，两边积分得ln｜y｜=C 1 x+C，即通解y=C 2 e C1x，其中C 1，C 2为任意常数．)解析：。
考研数学(二)题库(高等数学)-第八章 常微分方程【圣才出品】
2．设 y＝f（x）是 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，若 f（x0）＞0 且 f′（x0）＝0，则 f（x） 在点 x0 处（ ）。
A．取得极大值 B．某邻域内单调递增 C．某邻域内单调递减 D．取得极小值 【答案】A 【解析】因为 y＝f（x）是微分方程 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，故对于 x＝x0，有 f″ （x0）－2f′（x0）＋4f（x0）＝0。又因为 f′（x0）＝0，f（x0）＞0，可得 f″（x0）＜0， 故函数在 x＝x0 处取极大值。故应选（A）。
11．设 y1＝excos2x，y2＝exsin2x 都是方程 y″＋py′＋qy＝0 的解，则（ ）。 A．p＝2，q＝5 B．p＝－2，q＝5 C．p＝－3，q＝2 D．p＝2，q＝2
B．1/β＋1/α ＝1
C．1/α －1/β＝1
D．1/β＋1/α ＝－1
【答案】A
【解析】将 y＝zm 代入微分方程，则有 mzm－1dz/dx＝axα＋bzmβ，
dz ax bzm a+ bzm x
dx
mz m1
mzm1 x
根据题意 dz/dx＝f（z/x），因此可得到 mβ＝α，m－1＝α，即 1/β－1/α＝1 故应选
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
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【解析】由题意可得－1＋i 为特征方程 λ2＋aλ＋b＝0 的根，故（i－1）2＋a（i－1） ＋b＝0。可得 a＝2，b＝2，故应选（D）。
高数测试题十（微分方程）答案
高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。
高等数学2习题集
的通解。
2
2. 求微分方程 y − xy ′ = 2( y + y ′) 的通解。 3. 求微分方程 x (1 + y ) dx + ( y − xy ) dy = 0 的通 解。 4. 求 微 分 方 程 ( x −1) y ′ + 2 xy = 0 满 足 条 件
2 2
( x, f ( x)) 处 的 切 线 在 Oy 轴 上 的 截 距 等 于 1 x f (t )dt ，求 f ( x) 的表达式。 x ∫0
2
6.
x −1 y + 1 z 在 平 面 = = 9 −4 −7 2x − y − 3z +6 = 0 上的投影直线的方程。
求 直 线
（1） lim
x →0 y →0
x2 + y2 x2 + y2 + 1 −1 ln( x + e xy ) x2 + y2
.
;（2） lim
sin x3 y ; x →2 y y →0
5. 若 y = 3, y = 3 + x , y = 3 + x + e 都是某二
阶非其次线性微分方程的解，求此方程的通解。 第七节 常系数齐次线性微分方程（04） 1. 求微分方程 y ′′ − 3 y ′ −10 y = 0 的通解。 2. 求微分方程 9 y ′′ + 6 y ′ + y = 0 的通解。 3. 求微分方程 9 y ′′ − 4 y ′ +13 y = 0 的通解。 4. 求 微 分 方 程 y ′′ − 5 y ′ + 4 y = 0 满 足 条 件
3. 验 证 y1 = e
2
x2
y x=0 = 1 的特解。
成教高等数学(理工类本科)作业复习题-2014最新版 (1)
《高等数学》作业复习题（成教理工类本科）第六章 常微分方程一、选择题1、微分方程23d 2d 0y x x y +=的阶是[ ]．A 、 2,B 、 1,C 、0,D 、3．2、2'()()y x x y x x +=是[ ]．A 、一阶线性微分方程,B 、 可分离变量的微分方程,C 、齐次微分方程,D 、 二阶线性微分方程．3、下列微分方程中，[ ]是二阶线性微分方程. A 、2d sin d y y x x x +=， B 、222d d y y x x=， C 、d d 0x y y x -=， D 、2''3'2y y y x ++=．4、下列函数中, [ ]是方程7120y y y '''-+=的解.A 、3y x =，B 、1e x y +=，C 、3e x y =，D 、2y x =．5、 下列函数中，[ ]是方程'2y y -=-的通解.A 、e x y C =，B 、e 2x yC =+，C 、e x y =，D 、e 2x y =+．二、填空题1、若曲线上任意点(,)M x y 处切线的斜率为x 2,则y 满足的微分方程为 .2、微分方程e xy '=的通解为_________．3、微分方程d d 0x x y y +=的通解为________.4、已知二阶线性齐次方程的两个解为1e x y =，22e x y =，则该微分方程的特征根为 .5、设1e x y =，22e x y =都是微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的解，则该微分方程的通解为________.三、计算题1、求下列微分方程的通解：（1）d d y x x y=； dy/dx=x/yydy=xdx2ydy=2xdxd(y^2)=d(x^2)y^2=x^2+C（2）d 0d y y x-=；Dy/y=-P(x)dx=dx p(x)=-1两边积分 ∫Dy/y=∫dx得 ln 丨y 丨= -∫P(x)dx+c=∫d(x)+c=x+c即y=±e^(x+c)=±e^x * e^c=C*e^x（3）d20 dyyx+=；Dy/y=-P(x)dx=-2dx p(x)=2两边积分∫Dy/y=∫-2dx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=-∫2d(x)+c=-2x+c 即y=±e^(-2x+c)=±e^-2x * e^c=C*e^-2x（4）d30 dxxy y-=；（5）ddyxyx=；Dy/y=-P(x)dx=xdx p(x)=-x两边积分∫Dy/y=∫-xdx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=∫xd(x)+c=x^2/2+c即y=±e^(x^2/2+c)=±e^(x^2/2) * e^c=C*e^(x^2/2)（6）2d 2d y xy x =．2、求下列微分方程满足初始条件的特解: (1) d 1,(0)0d yy y x -==；Dy/dx=y+1 令t=y+1 则dt/dx=dy/dx=t dt/t=-P(x)dx=dx p(x)=-1 Ln 丨t 丨= -∫p(x)dx+c1=∫dx+c1=x+c1即 t=±e^(x+c1)=±e^c1*e^x=C*e^x=y+1Y=c*e^x-1由题得 y(0)=c*e^0-1=c-1=0 即c=1Y=e^x-1(2) d11,(1)1 dyy yx x-==；(3) d1,(1)0d2y xy yx x-=-=；(4) d22,(0)0dyxy x yx+==；（5）d 13,(1)0d yy y x x x -==．3、求下列微分方程的通解：(1) ''20y -=；(2) ''20y x -=；(3) ''sin y x =；（4）2''e x y =．4、求下列微分方程的通解：(1) ''4'30y y y -+=；(2) ''2'0y y y -+=；（3）''6'0y y -=．参考答案：一.选择题1-5 BADCB ．二、填空题1、'2y x =,2、e x y C =+，3、22x y C +=，4、121,2r r ==，5、2112=C e e x x y C +． 三、计算题1、（1）22y x C =+；（2）=Ce x y ；（3）2=Ce x y -；（4）3x Cy =；(5)212=Ce x y ；（6）21y x C=-+． 2、(1) e 1x y =-；(2) (1ln )y x x =+ ；(3)21122y x x =-；（4）2=1-e x y -；（5）33y x =-+． 3、(1) 2y x C =+；（2）31213y x C x C =++；（3）12sin y x C x C =-++e x ；（4）2121e 4x y C x C =++． 4、（1）1e x y C =+32e x C ；（2）()x C C y 21+=e x ；（3）1y C =+62e x C ．第八章 多元函数微分学一、选择题1、设函数(,)f x y xy =，则(,1)f y =[ ]．A 、,B 、xy ,C xy ,D y ．2、已知()22,f x y x y x y -+=+，则()1,1f -=[ ]. A 、 0, B 、 1-,C 、1,D 、2．3、设函数 u xyz =，则 []du =．A 、yzdx ，B 、xzdy ，C 、xydz ，D 、yzdx xzdy xydz ++．4、 点(0,0)是函数z xy =的[ ]．A 、极大值点，B 、驻点，C 、非驻点，D 、极小值点．5、设函数(,)f x y =则点(0,0)是函数(,)f x y 的[ ]. A 、最小值点，B 、最大值点，C 、驻点，D 、间断点．二、填空题1、函数z =的定义域是 ，其中r 为常数.2、()(),0,0lim x y →= .3、()()22,0,11lim x y xy x y →-=+ . 4、(,)(0,0)sin lim x y xy x →= . 5、函数z = .三、计算题1、求下列函数的定义域：（1）求函数x z y =的定义域；（2）求函数z =（3）求函数z =.（4）求函数z=的定义域.2、求下列函数的极限：（1）22 (,)(2,0)limx yx xy yx y→+++；（2）22 (,)(1,1)limx yx yx y→--；（3）(,)lim x y →（4）(,)(0,0)1lim sin()x y xy xy →；（5）(,)(,)1lim 1xyx y xy →+∞+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（6）(,)(,)1lim sin x y x xy →+∞+∞．3、求下列函数的一阶偏导数：（1）2z x y =+；（2）z xy =；(3) y z x= ；（4）e xy z =；（5）sin()z xy =；（6）()22ln z x y =+．4、已知2x z y =，求22z x ∂∂，22z y ∂∂，2z x y∂∂∂.5、求函数z xy =在点()0,0处，当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的全增量和全微分.6、求下列函数的全微分：（1）22z x y =+；（2）()sin z y x y =+；（3）221ln()2z x y =+；(4)求33z x y y x =-在点(1,1)处的全微分．7、求下列函数的极值：（1）22z x y =+；（2）221z x y =--；（3）222z x xy y x y =-+-+；（4）333z x xy y =-+.参考答案：一.选择题1-5 DCDBA ．二、填空题1、(){}222,|x y x y r +<,2、12y =，3、1，4、0，5、(0,0)． 三、计算题1、(1) {}(,)|0D x y y =≠；（2）{}{}(,)|0,0(,)|0,0D x y x y x y x y =>>⋃<<；（3）{}(,)|0D x y x y =+>；（4）{}22(,)|14D x y x y =≤+<．2、(1) 2 ；（2）2；(3)6；（4）1，（5）=e y ；（6）0．3、（1）2,1z z x x y ∂∂==∂∂；（2）,z z y x x y ∂∂==∂∂；（3）21,z y z x x y x∂∂=-=∂∂； (4) e ,e xy xy z z y x x y ∂∂==∂∂；（5）cos(),cos()z z y xy x xy x y∂∂==∂∂； （6）222222,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+． 4、220z x ∂=∂,2246z x y y ∂=∂,232z x y y∂=-∂∂. 5、0.72z ∆=，0.7dz =.6、（1）22xdx ydy -；（2）()cos (sin()cos())dz y x y dx x y y x y dy =+++++，（3）22xdx ydy z x y+=+；（4）22dx dy -． 7、（1）极小值(0,0)1f =；（2）极大值(0,0)1f =；（3）极小值(1,0)1f =-；（4）极小值(1,1)1f =-．第九章 多元函数积分学一、选择题1、二重积分()22221x y x y dxdy +≤--⎰⎰的值[ ]．A 、小于零，B 、大于零，C 、等于零，D 、等于1-．2、 设D 是由2214x y ≤+≤围成，则Dd σ=⎰⎰[ ]．A 、π，B 、2π，C 、3π ，D 、4π．3、设积分曲线L ：,(01)y x x =≤≤，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰[ ]． A 、0， B 、1， C 、－1， D 、3．4、设L 是圆周222x y +=，则对弧长的曲线积分22()L x y ds +=⎰ [ ]． A 、π4， B 、π24， C 、π28， D 、π8．5、下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为[ ]．A 、(2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰，B 、(2)d (2)d Lx y x y x y ++-⎰， C 、(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰， D 、(2)d (2)d Lx y x x y y ++-⎰．二、填空题1、设D 是由曲线224x y +=与两坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分d d Dx y ⎰⎰= .2、设积分区域D 由,1,0y x x y ===所围成，将二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________．3、设平面曲线L 为半圆周y =22()d Lx y s +=⎰ ．4、已知曲线积分(,)d 2d Lf x y x x y +⎰与路径无关，则(,)f x y y ∂=∂__________． 5、若曲线积分d d L P x Q y +⎰在G 内与路径无关，则沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分d d CP x Q y +=⎰ __________．三、计算题1、在直角坐标系下计算下列二重积分：(1)D xd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 01x ≤≤，02y ≤≤；(2)Dyd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 11x -≤≤，01y ≤≤；(3) 2D y d x σ⎰⎰，其中D 是矩形闭区域: 12x ≤≤，01y ≤≤；（4）D yd ⎰⎰σ，其中D 是由直线,0,1y x y x ===所围成的闭区域；（5）()32D x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；（6）()22D x y y d σ+-⎰⎰，其中D 是由y x =，2x y =和2y =所围成的区域；（7）3Dxy d ⎰⎰σ，其中D 由曲线2y x =，1x =及0y =围成的区域；（8）计算二重积分2e x Dd -σ⎰⎰，其中积分区域D 是由直线,1y x x ==及x 轴所围成的区域．2、利用极坐标计算下列二重积分：（1）22(1)Dx y d +-⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（2）Dσ⎰⎰，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（3）()221d Dxy σ--⎰⎰，其中D 是由圆0y =，y x =和422=+y x 所围成的区域.（4）22e x y Dd +⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域224x y +≤；3、计算下列对弧长的曲线积分： （1）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（2）计算2d Ly s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（3）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的线段；4、计算下列对坐标的曲线积分： （1）计算d Ly x ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（2）计算d Lx y ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（3）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（4）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2x y =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（5）利用格林公式计算2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-⎰ ，其中曲线L 为取正向的圆周229x y +=；（6）利用格林公式计算()()2222Lxy dx y x dy ++-⎰ ，其中L 是由0y =，1x =，y x =所围成的闭曲线的正向.（7）计算L ydx xdy+⎰，积分路径L：从点(),0R-沿上半圆周222x y R+=到点(),0R．（请用格林公式和与路径无关两种方法计算）参考答案： 一.选择题 1-5 ACABC ． 二、填空题1、π,2、10(,)xdx f x y dy ⎰⎰，3、π，4、2，5、0．三、计算题 1、（1）1； （2）1；(3) 14；（4）16；（5）203；（6）323；（7）140；（8）11(1-e )2-．2、（1）2-π；（2）23π；（3）16π；（4）4(e 1)π-．3、（1）12 ；（2）1；(3) 2． 4、（1）13；（2）23；（3）1；（4）1；（5）18-π，（6）1-；（7）0．第十章 无穷级数一、选择题1、对级数∑∞=1n na，“0lim =∞→n n a ”是它收敛的[ ]条件．A 、充分，B ．必要，C ．充要，D ．非充分且非必要．2、设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中一定发散的是[ ]．A 、11nn u∞=+∑， B 、11n n u∞+=∑，C 、1(3)nn u ∞=+∑， D 、16nn u∞=∑．3、若lim 1n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑[ ]．A 、发散，B 、不一定发散，C 、收敛，D 、绝对收敛．4、若级数∑∞=1n na条件收敛，则级数∑∞=1n na必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、条件收敛．5、 若级数∑∞=1n na收敛，级数∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、敛散性不定．二、填空题1、已知无穷级数231123333n n u ∞==+++∑ ，则通项n u =__________.2、 若级数∑∞=+-1)1(n n n a收敛，则常数=a ．3、级数1n ∞=________.4、级数112nn ∞=∑的敛散性为________.5、 幂级数0nn x∞=∑的收敛半径为______.三、计算题1、用级数的性质判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=-1)1(n n；（2）21n n∞=∑；（3）21113n n n∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑； （4）21223n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（5）1112n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（6）1222n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．2、用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1112n n ∞=+∑；(2) ()∑∞=-+1212n nn；(3) 2111n n ∞=+∑；(4) 12nn n∞=∑．3、用比值判别法判定下列级数的敛散性：（1）13n n n ∞=∑；（2）∑∞=+1212n n n ；（3） 212nn n ∞=∑；（4）1!3n n n ∞=∑．（5）12!nn n∞=∑4、判定下列交错级数的敛散性：（1）()111nn n ∞=-+∑；（2）11nn ∞=-；（3）()112nn n ∞=-∑；（4）()11n n n ∞=-∑．5、求下列级数的收敛半径:（1）1n n nx ∞=∑；（2）21(1)n n n x ∞=+∑；（3）1nn x n∞=∑；（4）212nn x n ∞=∑；（5）31(3)nn n x n ∞=-∑；（6）12nn n x n ∞=∑．参考答案：一.选择题1-5 BCABB ．二、填空题1、3nn , 2、0，3、发散，4、收敛，5、1R =． 三、计算题1、(1) 发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）发散；（6）发散．2、（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．3、（1）收敛；(2) 收敛；（3）发散；（4）发散；（5）收敛．4、(1) 收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．5、（1）1R =；（2）1R =；（3）1R =；（4）1R =；（5）13R =；（6）2R =．。
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
高等数学第七章微分方程试题及答案汇编
第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
高等数学微分方程习题(最新整理)
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
高等数学_第7章___常微分方程
第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。
高等数学 微分方程
第十二章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成)y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. e y=e 2x+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x1yy 2，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )A. 2πB. πC. 4e π 4eππ5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4π解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=4π得：22C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dxdy +=-+满足y(0)=π的特解。
高等数学微分方程试题(可编辑修改word版)
1 21 2 1 2 第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2x (c 的任意常数)是 y ' =2x 的特解。
() 2.y=( y ') 3 是二阶微分方程。
() 3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 。
2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线 y=(c +c x)e 2x 中满足 y x=0=0,y 'x=0=1 的曲线是 。
三、选择题 1. 下列方程中是常微分方程2 2 2darctan x∂ 2a ∂ 2a' 2 2（A ）、x +y =a(B)、 y+(e) = 0(C)、+=0 （D ）、 y =x +ydx2. 下列方程中是二阶微分方程∂x 2∂y 2（A ）（ y ' ）+x 2 y ' +x 2=0(B) ( y ' ) 2+3x 2y=x 3 (C) y '' +3 y ' +y=0(D) y ' -y 2=sinx3. 微分方程 d 2 y dx 2+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx2 4. C 是任意常数，则微分方程 y ' = 3y 3的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1. y = Cx 2 + C 2 （其中C 为任意常数）2. y = C e 2x+ C e 3x （其中C , C 为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
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第6章 常微分方程习题一一、填空题： 1、 微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、 设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、 通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、 满足条件()()=+⎰dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、 设()n c c c x y y ⋅⋅⋅=,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、 设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e yx ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，4π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dxdy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy xln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
五、验证函数22x x y -=是微分方程x y y x =-''22的解。
习题二一、填空题 ：1、设)(x y *是)()(x q y x p y =+'的一个特解，)(x Y 是该方程对应的齐次线性方程0)(=+'y x p y 的通解，则该方程的通解为.__________；2、已知xe x y =*)(是x y x p y x =+')(的一个特解，则________)(=x p ，该一阶线性方程的通解为_______+=xe y ； 3、齐次方程xyy dx dy xln =作变换__________可化为分离变量的微分方程__________，且通过此方法可求得该齐次方程的通解为___________；4、微分方程yx xy y dx dy --=2不是一阶线性微分方程，但是将x 看作因变量，而将y 看作自变量，则可化为一阶线性微分方程____________，进而用此方法可求得该方程的通解为_____________。
二、求解下列微分方程：1、xxe y y e ='+)1( 2、xyx y y x tan=-' 3、0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x 11==x y三、求下列微分方程的通解1、0)sin (2=-+dx y y x xdy2、232++=+'x x y y x 3、xex y y sin cos -=+' 4、()0223=--ydx dy y x四、求一曲线的方程：这曲线过原点，并且它在点()y x ,处的切线斜率等于y x +2。
习题三一、填空题：1、 已知x y sin 1=和x y cos 2=是0=+'+''qy y p y （q p ,均为常数）的两个解，则该方程的通解为__________。
2、 02=+'-''y y y 的通解为___________。
3、 042=+'-''y y y 的通解为____________。
4、 067=+'-''y y y 的通解为____________。
5、 设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为i r 211+=，i r 212-=，则该二阶常系数齐次线性微分方程为____________。
6、 设4,321==r r 为方程0=+'+''qy y p y （其中q p ,均为常数）的特征方程的两个根，则该方程的通解为____________。
7、 微分方程xxe y y y =+'+''2的特解可设为形如 __________)(=*x y 8、 设x xey e y x y -===321,,均是)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,都是常数）的三个特解，则该方程的通解为 ________________9、 已知)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,都是常数）有特解21xy =，且其对应的齐次方程=+'+''qy y p y 有特解xe y x e y x x sin ,cos 32--==，则_________)(_________,________,x f q p ==10*、已知q p ,都为常数，设)(1x y 为)(1x f qy y p y =+'+''的一个特解。
)(2x y 是)(2x f qy y p y =+'+''的一个特解，则)()(21x y x f qy y p y +=+'+''用)(1x y 和)(2x y 表示的一特解为__________________ 二、求下列方程的通解：1、02=-'+''y y y2、0=+''y y3、044=+'-''y y y4、02='-''y y5、04='-''y y6、0136=+'+''y y y 三、求下列方程的通解1、x y y y 2345-=+'+''2、xe x y y y 3)1(96+=+'-''3、125522--='+''x x y y 4、xe y y y 22=-'+'' 四、求下列方程的特解： 1、10;6,03400='==+'-''==x x y yy y y2、15;0,029400='==+'+''==x x y y y y y3、5;2,02500='==+''==x x y yy y4、 0;2,04400='==+'+''==x x y yy y y五、求下列方程的特解： 1、1;0,400='==-''==x x x y yxe y y2、2;1,52300='==+'-''==x x y yy y y 3、1;1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y习题四一、填空题：1、方程023=+'-''y y y 的通解是__________。
2、求微分方程x ey y y xcos 442-=+'+''的一个特解*y 时，应设特解的形式为___________*=y3、124322+=+'+'''x y x y x y x 是______阶微分方程。
4、以2cx y =为通解的微分方程是__________。
5、xyx y dx dy tan +=的通解为___________。
6、微分方程xyx y y x 2cos +='的通解是__________。
二、选择题：1、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)22、在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ） (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)xe y = 3、下列方程中是一阶线性方程的是（ ） (A)()0ln 3=--xdy xdx y (B) ()x y y dxdyxln ln -=(C) x x y y x sin 22+=' (D)02=-'+''y y y 4、方程的3=+'y y x 通解是（ ）(A)3+=x c y (B) c x y +=3 (C)3--=x c y (D)3-=xc y 5、微分方程0=+xdyy dx 满足初始条件43==x y 的特解是（ ）(A)2522=+y x (B)c y x =+43 (C)c y x =+22(D)722=-x y 6、微分方程()012='--y x y x 的通解是（ ） (A)21x c y -= (B)21x c y -=(C)22x cxey -= (D)cx x y +-=321 7、微分方程()112+=+'x x x y y 的通解是（ ） (A)c x +arctan (B)()c x x +arctan 1(C)c x x +arctan 1 (D)xc x +arctan 8*、微分方程ydy x xdx y ln ln =满足初始条件11==x y 的特解是（ ）(A)0ln ln 22=+y x (B)1ln ln 22=+y x (C)y x 22ln ln = (D)1ln ln 22+=y x 三、求下列方程的通解或特解： 1、y x e dxdy+= 2、()dx x xy y dy x 222+-= 3、01221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x e dx e y xy x 4、x e y dx dy -=+ 5、x y dxdyx22=- 6、221y x dx dy += 7、02=-'-''y y y 8、xey y y -=+'+''2659、x e y y y x2sin 52=+'-'' 10、()()10,00,1684='==+'-''y y e y y y x11、()()50,00,043-='==-'-''y y y y y四、已知函数()()∞<<∞-x x f 满足（1）)()(x f x f ''='；（2）2)0(,1)0(='=f f ，求()x f 。