索末菲模型

z0 zL 0
E
(2 L)3 2sin(
L
2k 2 2m
h2 2mL2
nx
x)sin(
L
n
y
nx2
n
2 y
nz2
y)sin(
L
nz
z)
该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均 速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的 输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。
第二种解法：行波解
如果U(r)不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解
可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式：
(r, t) (r) f (t)
将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 (r) f (t)去除
得到
i df 1 [- 2 2 U (r) ] f dt 2m
上式左边只含 t,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量,
平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内， 需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。
设一金属为立方体，其边长为L。且有：
V
(
x,
y,
z)
0
0 x,y,z L x,y,z 0或x,y,z L
L=N×a
补充
3. 自由粒子的能量 E,动量P,波长,频率满足以下方程： E h
P h n k
由上式可得 : - 22 p2(r, t),即p与算符 i相当.
利用能量动量关系式
E p2 2m
得到
i - 2 2 t 2m
设粒子在力场中的势能 为U(r), 则粒子能量和动量关系 式为
E p2 U(r) 2m
上式两边同乘以波函数 (r, t),并以算符i 和 i分别 t
代替E和p,得到下列方程
t
t
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
进行二次偏微商,得到
同理有
2 t 2
Ap
2 x
2
e
i(
px
x
p
y
y
pz
z
Et
)
px2 2
(r, t)
2 t 2
p
2 y
2
(r, t )
2 t 2
p
2 y
2
(r, t)
将以上三式相加得
同理有
2 x 2
2 y2
2 z 2
2
p2 2
(r, t)
其中是劈形算符, i j k x y z
5.2 索末菲自由电子论
前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一 切由自旋等于半整数的粒子——费米子组成的系统中， 不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。
这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推 动了电子自旋概念的确立。
费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基 础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－狄喇 克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）
3.
金属中能量E
4h2 2mL2
的能级对应多少种量子态，
对应多少种波函数？
nz Z
2nx
I
2ny
J
2nz
K
L
L
L
其中 L Na a为晶格常数
k
2
nx
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
k空间 波矢空间 状态空间
Kx
nx L1
Ky
ny L2
Kz
nz L3
其中
n n
x y
0,1,2
nz
图2.5 K空间的状态分布
由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带
2 2m
2
x2
V x, y, z
E ,定态薛定谔方程
(x, y, z) 粒子的定态波函数
5.2.2 单电子的本征态和本征能量
1.电子气的本征态 设Fˆ为算符，U为一个函数，为常数。 设一金属为立方2若表体有示，空FˆU间其某边点U长处，为单则位L称。 体积为且元算中有符粒：F子ˆ的出本现征的
V ( x, y, z) 几0率函值，数，波U对函0x为,应数 y算,归的zx符,一y粒,F0化zˆ子或的条运件本xL,：动y征,z状函态数2L称d，r为而1本此征时态U 。
3
3.
单位体积对应的量子态数目：2
L
2
3＝4V
3
说明
➢电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
➢故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
波矢k
E
Aeikr Ae i kx xk y ykzz
2k 2 2m
h2 2mL2
nx2
n
2 y
nz2
kx k y kz
Hale Waihona Puke Baidu
2
L
2
L
2
L
nx ny nz
nx Z
0 nx,ny,nz N
ny Z k kxI kyJ kzK
Acos[k r t] 其中k 2 n 2
将其改写成复数形式 : Aei(krt)
将P k和E 代入上式,得到与自由粒子联系
的平面波 :
i ( prEt)
Ae 这种波称为德布罗意波
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
求偏微商,得到
i E t
由上式可得 i E 即E与算符i 相当
上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数,所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 ,
平面波. 它的频率和波矢 (或波长 )都不变,即它是
波长,频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :
Acos[2 ( x t)]
如果波沿单位矢量 n的方向传播,则
Acos[2 ( r n t)]
波与晶面垂直。
➢可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 ➢驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
作业
1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁德模 型的区别.
2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛定谔 方程及电子的波函数,利用周期性边界条件推导金属 中电子的能量.说明量子化成立的条件.
i - 2 2 U (r) t 2m
或
E - 2 2 U (r) [- 2 2 U (r)]
2m
2m
上式称为薛定鄂方程
算符 [- 2 2 U (r)] 称为哈密顿算符,通常以H或Hˆ 表示 2m
于是上式可写成 H E
这种方程称为本征值方 程, E称为算符H的本征值, 称为
算符H的本征函数 .
Hˆ E 在金属内部有：
－ 2 2
2m
E
E
Aeikr 2k 2
2m
Ae i kx xky ykzz
2dr 1 A2dr 1 A2V A2L3 1 A 1 L3/2
V
第一种解法：驻波解
采用分离变量法，并代入固定边界条件：
x0 y0
xL yL
0 0，可得到方程的解为：
2 ( x2
2 y 2
2 z 2
)
V
x,
y,
z, t
i
t
式中Ψ Ψ(x,y, z,t)是粒子在势场V x,y,z,t中运动
的波函数。
2. 定态薛定谔方程：
在恒定势场条件下，即V x, y, z,t V x, y, z
波函数应有以下形式：( x,
y,
z,t)
i
e
E t
其空间部分ψ ψ(x, y, z)应满足如下方程：
所以只有两边都等于同 一常量时,等式才被满足 ,
以E表示这个常量.
由等式左边得到 i df E 即 i df Ef
f dt
dt
由等式左边得到 - 2 2 U (r) E
2m
解出
iE t
f(t) Ce
iE t
则有 (r, t) (r)Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程：
2 2m
fFD(E,T )
1
(EEF )
1 e kBT
PE
k
能量不连续
5.2.1 索末菲自由电子气模型
独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米－狄喇克统计分布 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由 电子的薛定谔方程。
Aeikr Ae i kx xky ykzz
它是自由电子波函 数，是前进的平面 波，称为行波解
x L x eikxL 1 周期性边界条件： y L y eikyL 1
z L z eikzL 1
通 金kkkzxy过属 周中222LLL期电nnn性子zxy 边的nnnz界能xy条量ZZZ件是导不E致连 了续22mk波的2 矢、 2k分mh的立2L2量的n子x2，化每n2y。一 n组z2 nx、
中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能 带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。
由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子， 所以每个能带可以容纳2N个电子。
在k空间中：
1.
每个k点占据的体积： 2
3
8 3
L V
2.（单位体k点积的中分含布有密的度k点数）：
L
2
3
V
8