武林秘籍与代数几何

武林秘籍与代数几何

这篇文章的作者是位在Stanford念代数几何的博士，网名Quillen。引至博士家园。笔

者是代数几何工作者..认为代数几何比微分几何有趣得多. 虽然微分几何的重要性是无

庸置疑,但是代数几何有更多巧妙得构思,也有更有趣的问题.. 让我来说几本代数几何的

好书: ( 在书号后是金庸小说密籍的类比,书评之后有两个星号数.第一个是困难度.第二

个是重要(趣味)性, 第三个是读了投资报酬率从1 到5 是易到难(无聊到有

趣) .. )

1 武当长拳( 基本功夫) Atiyah&McDonald 的Introduction to Commutative Algebra

和Matsumura 的Commutative Algebra 是代数几何中代数部份的背景知识. 两本书只

重视代数而不提及几何,但第一本书的习题有很多引出几何背后意义的好问题. 事实上任

何一个交换代数的定理都有几何意义. A&M 的书写的很短, 但是把所有的内容都做了简介, Matsumura 的书内容非常丰富,如果念完她就可以开始交换代数的现代研究,可以开

始看文章,这本书比A&M 多了一些重要的章节如"flatness" 和"Struture 定理".

-----------------------------困难度中趣味性***

2 梯云纵(练了想进哪个分支都可以...) Robin Hartshorne 的Algebraic Geometry

是代数几何的经典教科书.任何一个年纪不到五十的代数几何学家都是学这本书长大的.

这本书是Grothendick 的EGA 和SGA 一部分的一个非常有系统的总结. Grothendick

的书包含的内容很齐全但是失于不实际: 也就是讨论的对象过于一般有时没有几何意

义, 这一点十分不好. 但是Hartshorne 的书把整个Grothendick 的Scheme 纲领作

了一个最恰当的诠释.这本书的习题也非常重要不管将来对算数几何或复几何或更

深入的代数几何这本书的习题都是永远有用的.本书的菁华在前三章,很好的处理了scheme的基础性质,最重要的大定理是第三章的最后一节"上同调与基转换" 定理, 是一

个来自复几何的定理. 四五章分别是曲线和曲面, 但是这两个专题都有更好的专书介

绍.

-----------------------------困难度中等趣味性***

3 一套武术服饰(行走江湖要穿衣服)

Gunning 的Lectures on Riemann surface 或Forster 或Farkas 或Jost 的Riemann Surface: 黎曼曲面是数学的核心. 跟一切的数学分支都有重大关系. 上述四个作者的书都有相当深度. 笔者只念过Gunning 的, 是一本比较重视"上同调群" 的好书. 其他几本又或重视黎曼面的"双曲几何" 或"黎曼曲面的自同构" 或"曲线上的特殊线性系", 都非常有意思. 很多中国人还喜欢伍鸿禧写的黎曼曲面引论. 但笔者并不是非常喜欢. Gunning 书的优点是把层的上同调做了很快但很详尽的介绍,该书证明Serre对偶定理和Riemann Roch 定理的方法使用了广义函数,和一般的证明不大一样,适合喜欢广义函数多过椭圆方程的读者.

------------------------------困难度易趣味性***

4 全真派基本内功(一定要练) Griffith& Haris 的Principles in

Algebraic Geometry. 这本书是经典中的经典.是复几何的基本教材. 这本书的每一章都

写的很完美. 第一章是Hodge 理论..是复几何中最深奥的理论. 第二章是Kodaira 嵌入

定理复流形的嵌入比实流形的嵌入有趣很多. 第三章是current 和spectral sequence, 是很

现代的工具. 第四章是曲面论. 写的很详尽但是有更好的书(见6).第五张是特殊专题对袋鼠几何中不同方向的人有不同功用.这本书是学习复几何的必备教材.但是学袋鼠几何的人如果读了这本书,却能对袋鼠几何有一个更全盘更清晰的认识.也就是所谓站在更高的角度.

-------------------------------困难度中等趣味性**** 投资报酬率****

5 九阳神功Barth & Hulek & Peters 的Compact complex surfaces. 这本书是经典中的经典中的经典. 讲的是代数曲面的各种专题. 每个章节都写的无限完美. 可以说如果学代数几何没念过这本书. 甚至是学几何没念过这本书..可以考虑换行.是百年难得一见的好书. 内容包括曲面里的曲线,相交数,霍奇分解,pojectivity,有理曲面分类,Kodaira分类,general 曲面,K3&Enrique曲面. 笔者以为此书新版的最后两张写的尤其好. 一是K3 曲面另一个是Doanaldson 和Seiber Witten 理论. 后者是来自模空间的不变量理论.现在都是热门的专题.

------------------------------困难度中等趣味性***** 投资报酬率*****

6 少林派罗汉拳(如果没事可以练练) Robert Friedman 的Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles 这本书是讲曲面和上面的向量丛. 曲面的部分讲得有点乱,事实上没有人把曲面讲的比Barth 还好的. 向量丛的部分有"稳定性条件"的介绍和刻画,值得一看.

--------------------------------困难度易投资报酬率***

7 双手互博(可以连结两样功夫) William Fulton 的Intersection Theory 相交理论是代数几何1960-1990发展的一套基本理论,阅读很多的专门书籍都需要用到他,本书是相交理论的大家Fulton 的代表作, 介绍了Chow Group 的性质,代数陈省身类, 还有Fulton 发现的deformation to normal cone, 用它来做子簇的香蕉理论,还有很多专题,这些专题都很现代,相交理论是Gromov Witten 不变量,Donaldson 不变量,模空间理论等的基本知识, 基于这些不变量和模空间是现代袋鼠几何的发展潮流, 这本书前六章的必读性并不亚于Griffith & Harris 或是Hartshorne 的书.

------------------- 困难舵一点点难, 趣味性***(主要趣味在应用) 报酬率*****

8 吸星大法(练完就可以吸取微分拓墣学家的内功以为己用) Donaldson & Kroheimer 的The Geometry of Four manifold. 这是微分拓墣中的圣经.两人都是大家. 此书引出了四维流形的Gauge Invariant (规范不变量), Donaldson因为他在此书的工作,对四维流行的微分结构增加了了解,因而获得菲尔兹奖,而复曲面是四维流形中的一大类..因此也属于代数几何. 现代做这个领域的人不多,但是却是将来几盒和拓墣发展的重大方向,Aityah 曾说"21世纪的数学是规范理论的世纪".

--------------------------------困难度难趣味性***** 投资报酬率0 (本书效益在五十年后)

9 乾坤大挪移(练到一半就够强了全部练完你也吐血而亡) John Morgan 和Robert Friedman 的Smooth four manifold and Complex surfaces. 这本书讲得是椭圆曲面和其上Donaldson 规范不变量理论.作者利用此理论得到了曲面的一个大定理, 证明了最多只能有有限个复变形类共用一个微分结构. 是一本很专门的书, 内容非常紧凑而且很不容易念,笔者还在努力学习.