上海市浦东新区届高三数学一模试卷(有答案)

上海市浦东新区２018届高三一模数学试卷

一. 填空题(本大题共12题，１-６每题４分，7-12每题5分,共54分) 1. 集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =

2. 不等式

1

1x

<的解集为 3． 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -,则1(5)f -=

４. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为

5. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)1z ⋅=,则||z =

6. 在5(21)x +的二项展开式中,3x 的系数是

7． 某企业生产的1２个产品中有10个一等品，２个二等品，现从中抽取４个产品，其中恰好

有1个二等品的概率为

8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数,若(1)(4)f a f +≤,则实数a 的取值范围是

9． 已知等比数列11,,1,93

⋅⋅⋅前n 项和为n S ,则使得2018n S >的n 的最小值为 １０． 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23

π

的扇形,则此圆锥的表面积为

11． 已知函数()sin f x x ω=(0ω>),将()f x 的图像向左平移

2π

ω

个单位得到函数()g x 的 图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ,都有

()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为

12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22

124

x y -=上的两个动点，动

点P 满足2OP OM ON =-,直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、 2F ,使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为

二. 选择题（本大题共４题，每题5分,共２0分） 13. 若实数,x y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨

>⎩”是命题乙“2

2

x y >⎧⎨>⎩”的( )条件

Ａ. 充分非必要 B. 必要非充分

Ｃ. 充要 D. 既非充分又非必要 １４. 已知ABC ∆中，2

A π

∠=

,1AB AC ==,点P 是AB 边上的动点,点Q 是AC 边上的

动点,则BQ CP ⋅的最小值为（ ）

A. 4-

B. 2-

C. 1- D ． 0 1５. 某食品的保鲜时间y （单位:小时）与储存温度x (单位:℃）满足函数关系kx b y e += ( 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,k 、b 为常数），若该食品在０℃的保鲜时间是19２小 时,在２2℃的保鲜时间是4８小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ )小时 A. ２2 B ． 23 C. 2４

D. ３３

１6. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222

123x x x ++=

（ )

A ． 1 B. 2 Ｃ．

2

2

π Ｄ.

22π

三． 解答题（本大题共5题,共14+１4+14+16＋１8=76分)

17． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB =，1AD =，11A A =. (1)求异面直线1BC 与1CD 所成的角； (2)求三棱锥1B D AC -的体积．

18. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =,

(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n ⊥.

（1)求C ;

(2）若227c b =，且23ABC S ∆=，求b 的值.

19. 已知等差数列{}n a 的公差为2,其前n 项和2

2n S pn n =+(*n N ∈，p R ∈).

(1）求p 的值及{}n a 的通项公式；

(2)在等比数列{}n b 中,21b a =,324b a =+，令(21)

(2)

n n n

a n k c

b n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈),

求数列{}n c 的前n 项和n T .

2０. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ,设点(0,)A b ,

在12AF F ∆中,1223

F AF π

∠=，周长为4+．

(1)求椭圆Γ的方程;

(2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点,若直线AB 与AC 的斜率之和为

1-,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标;

（3)记第（2)问所求的定点为E ,点P 为椭圆Γ上的一个动点,试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围,讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.

21. 已知函数()f x 的定义域为D ,值域为()f D ,即(){|(),}f D y y f x x D ==∈, 若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭．

(１）分别判断函数2017()2017log x

f x x =+，2

()1

x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；

(2）函数()f x k =的定义域为[,]D a b =,且存在反函数1()y f x -=,若函数()f x

在D 上封闭,且函数1()f x -在()f D 上也封闭,求实数k 的取值范围；

(3)已知函数()f x 的定义域为D ,对任意,x y D ∈，若x y ≠,有()()f x f y ≠恒成立， 则称()f x 在D 上是单射,已知函数()f x 在D 上封闭且单射,并且满足()x f D D ，其中

1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈),1()()f x f x =,证明：存在D 的真子集, n D 1n D - ⋅⋅⋅ 3D 2D 1D D ,使得()f x 在所有i D (1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭.