垂径定理的应用

垂径定理的应用

二、方法剖析与提炼

例1.已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD，AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离.

【解答】∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm,OM= 22

- =12cm.在Rt△OCN中，

OA AM

CN=12cm,ON=22

- =5cm.∵MN=OM-

OC CN

ON,∴MN=7cm

MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.

【解析】(1)当AB、CD在O点同侧时,如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.

（2）当AB、CD在O点________时，如图②

需要分类讨论

所示，

由（1）中，可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.

∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.

【解法】先画图，充分考虑到两条弦在圆心同侧和异侧这两种情况，再根据垂径定理求出弦心距，从而考虑MN的长度既可以是弦心距的和，也可以是弦心距的差。

【解释】

考查的知识点是垂径定理，大部分同学至少一个答案是肯定能够得

出的，而能否两个答案都得出就要看学生分类讨论思想的接受程

度，这道题比较经典，平日踏实的学生其正确率也是比较高的。

例2.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”

【解答】设直径CE 的长为2x 寸，则半径OC=x

寸．

∵CE 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CE 于D ，AB=10寸，

∴AD=___________=5寸，

连接OA ，则OA=x 寸，在RT △ADO 中，222AO DO AD =+ 根据勾股定理得方程___________，

解得x=13，CE=2x=2×13=26（寸）．

故所求直径为26寸．

【解析】与例1不同的是，例1中题目和所求十分明显，本题是九章算数中的问题，以文言文的形式出题，很多学生是定理都懂，题目看不懂，无从下手。所以要先翻译成现在的数学语言表述是：“如图所示，CE 为⊙O 的直径，CE ⊥AB ，垂足为D ，CD=1寸，AB=1尺，求直径CE 长是多少寸？”再通过垂径定理和勾股定理如上述解答。

【解法】尝试用勾股数去猜测也是得到答案的快速的方法。

【解释】1、与例1相同的是，本题也没有图象，所以既考察了学生的审题能力和作图能力，把文言文转化为“已知，求”的形式再来解答，又考察了学生的作图能力。

2、同样考察了方程的思想，在圆当中大部分的线段长度的计算，都是归结在由半径、弦、弦心距构成的直角三角形当中，所以这个方程式必须要掌握的。 特别要强调格式的规范。这类题目最容易出现的问题就是只有一个方程和答案，中间说理过程统统忽略。所以过程的规范是必须要的。 用含x 的代数式表示DO

例3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE 为正方形。

【解答】由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,

∴四边形ADOE为矩形.

再由垂径定理;AE=1

2AC,AD=1

2

AB,且AB=AC,

∴AE=AD,

∴矩形EADO为正方形.

【解析】（1）条件当中的文字部分总是容易被遗漏，所以首先要把文字语言转换为数学语言。既AB、AC为互相垂直，转换为AC⊥AB。

（2）越是熟悉的图形，证明方法学生越是混乱，因为先入为主，在本题中，三个内角是直角的四边形是矩形，这个判定方法是非常明显的。

【解法】严谨的证明，利用矩形的判定方法，垂径定理，正方形的判定方法。

【解释】1、利用垂径定理来求线段的长度是学生掌握的最熟练的，所以当学生看到证明题就会忘记垂径定理这一利器。

2、正方形的证明方法非常多，正因为如此，所以很多学生会把条件搅在一起，没有明确的思路，这题给了一个很好的示范作用，先证明矩形，再添加一组邻边相等这一条件，从而证明是正方形，而矩形的证明方法选择用三个角是直角，这个最直观的方法。

3、把圆的知识和四边形的知识综合在一起，考察了学生的综合能力，也是这题的一个难点。

例4.（2020内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆

过点A（13，0），直线4

y与⊙O交于B、C两点，则弦BC的

=k

kx

-

3+

长的最小值为

【解答】∵直线4

y必过点D（3，4），

kx

3+

-

=k

∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的

弦，

∵点D的坐标是（3，4），

∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），

∴圆的半径为13，∴OB=13，

∴BD=12，

∴BC的长的最小值为24；

【解析】根据直线必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案.

【解法】关于字母系数的函数经过定点问题一直是许多学生头疼的问题，其实如果用特殊值法，即使得k为1或0（或者任意两个数）时得到关于x,y的方程，其解就是定点的横纵坐标。若把参数k看做未知数，那么只需要k的系数为0即可。

【解释】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置

综上所述，本节课的四个题目非常简单，但是包含了垂径定理应用中的难点的三大类，1、漏解，没有融入分类讨论的思想；2、不会应用，即不会审题，同时考察了学生的作图能力；3、不会证明，把垂径定理理解为简单的计算线段长度，而不会融入到几何证明中。4、