垂径定理解题应用举例

垂径定理解题应用举例

垂径定理及其推论是《圆》一章的重要考点，定理告诉我们，对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。它反映了圆的重要性质，是证明线段相等．．．．、角相等．．．、垂直关系．．．．

的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，下面分类举例说明。

一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系

例1 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，

∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）

A.80°

B. 50°

C. 40°

D. 20°

【析解】本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，

从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。

解：∵直径CD 平分弦EF ， ∴ ED DF =，

∴ ∠DCF ＝12∠EOD ＝20°。 故选（D ）．

二、利用垂径垂直平分弦，证相关线段相等

例2 (南京市)如图2，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .

【分析】本题上手有点不知所措，其实利用矩形和垂径定理相关知识可以得到解决。分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，即可求出EF 的长。

解：如图2，分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，则根据矩形的性质可得：NC ＝GB ＝8，DN ＝AG ＝1，GN ∥OM ∥BC ，

∵ OM ⊥EF ， ∴ EM ＝MF ，

∵ OG ＝OB ，GN ∥OM ∥BC ， ∴ MN ＝MC ， ∴ CF ＝NE ， ∵ DE ＝2，∴ NE ＝DE －DN ＝DE －AG

＝1， ∴ EF ＝NC －NE －CF ＝8－2＝6．

三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定

理 例3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截

面．

图1 O G F

E D C N M O G

F E D C B A 图2 图3

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

分析：（1）要补全输水管道的圆形截面，需要画出图3所在的圆，因此首先确定所在圆的圆心和半径.⑴任作两条弦，⑵分别作出两弦的垂直平分线，⑶两弦的垂直平分线的交点为圆心，⑷以交点为圆心,交点到圆上任意一点为半径作圆，所作出的圆即为所求.作图过程:略.

（2）本题的解题关键是作垂直于弦的半径,然后构造直角三角形,应用勾股定理列方程求解.

解：（1）正确作出图形，并做答．

（2）如图4,解：过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，

∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝2

1×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．

设半径为x C m ，则OD ＝（x －4）cm ．

在Rt △BOD 中，由勾股定理得：

OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．

∴x ＝10．

四、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形

例4 （四川省）如图5，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 的长（ ）

A ．4 cm

B ．5 cm

C ．6 cm

D ．8 cm

【分析】要求半径OA 的长，可通过垂径定理构造Rt △，于是过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，则可得矩形ADOE 。

解：如图5，过O 分别作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， 则得矩形ADOE ，∴ OD ＝AE ，

又∵ AD ＝12AB ＝4，OD ＝AE ＝12AC ＝3； ∴ AO ＝2234 ＝5cm ．故选（B ）．

O E

D

C B A 图5 图4