信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述
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奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级
6．共轭及共轭对称 将一个周期信号 x(t)叏它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭幵迚行 时间反转的结果。即若
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
第三章周期信号的傅立叶级数表示
将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
信号与系统(第3章)信号与线性非时变系统的傅里叶描述
傅里叶变换表示24lim0lim220??jxtkxkxtkxdtetxtttttjk??????????令可证???ttjkdtetxtkx001???????ktjkekxtx0??连续时间傅里叶变换及系数的确定??????????????????ktjkktjkktjkejkxejkxtekxtx000000211???????周期信号非周期信号t????0k?02t??????d???????????dtetxjxtj???????????dejxtxtj212非周期连续信号
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
n)0t]
sin[(k
n)0t]dt
0, k T , k
n n
T 0
x(t )e
jn0t dt
cnT
傅里叶系数：
ck
1 T
x(t)e jk0t dt
T
16
x(t)
ck e jk0t
k
傅里叶系数
ck
1 T
T x(t)e jk0t dt
0
傅里叶级数的其他形式
• 若x（t）是实信号： x(t)* x(t) ck ck
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
信号与系统第三章习题答案
d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)
第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。
试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。
解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。
因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。
又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。
同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。
（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。
3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。
已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。
解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。
信号与系统习题答案第三章
第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。
它是否是完备集? 解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。
又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m和n 。
由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。
3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。
如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得 2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
信号与系统第三章(2)
F n ⋅ 2 πδ (ω − n ω
) )
= 2π
n = −∞
∑
∞
F n ⋅ δ (ω − n ω
0
即周期信号的傅里叶变换为
F (ω ) = 2π ∑ Fn ⋅ δ (ω − nω 0 )
−∞
∞
上式表明：周期信号的频谱函数，是由无限多个冲激组 上式表明：周期信号的频谱函数， 成，这些冲激位于基频整数倍的频率 nω0处，每一冲激的 强度即为 2π Fn 。
3.5.1 单位冲激 δ (t )
由根据傅里叶变换的定义式， 由根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函 数的抽（取）样性质，得 数的抽（ 样性质，
F (ω ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
结论:
1、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 恒定的 谱函数,为常数1,即冲激信号包含相对幅度相等的所 谱函数 为常数 即冲激信号包含相对幅度相等的所 有频率分量,相位都为 相位都为0. 有频率分量 相位都为 2、信号的持续时间与其频带宽度成反比。 反比。 、信号的持续时间与其频带宽度成反比
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ τ e
2 − 2
− jωt
dt =
e
−e − jω
j
ωτ
2
3.5.7 虚指数函数
利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质， 利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质，可得
1 F [δ (ω − ω 0 )] = 2π
−1
∫ δ (ω − ω )e
−∞ 0
∞
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
信号与系统第三章
T
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
信号与系统-第三章周期信号的傅立叶级数表示
特征函数 (Eigenfunction) ❖ 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号 乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特征 函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征值。
7
结论：
❖ 复指数函数 est 、z n 是一切LTI系统的特征函
数。H (s)、H (z)分别是LTI系统与复指数信号相对
27
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
（Convergence of the Fourier series）
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 x(t以) 为T0周期
x(t)
a e jk0t k
k
波分量。
例1：
x(t)
cos0t
1 2
e j0t
1 2
e j0t
11
显然该信号中，有两个谐波分量，
a1
为1相应分 2
量的加权因子，即傅立叶系数。
例2： x(t) cos0t 2cos30t
1 [e j0t e j0t ] e j30t e j30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3,
14
例2 已知
f
(t)
1
sin
1t
2 cos1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为指数形式
f (t) 1 1 2j
e e j1t j1t
e e j1t
j1t
1 2
e j21t
4
e j21t
4
1
1
1 2j
7
结论：
❖ 复指数函数 est 、z n 是一切LTI系统的特征函
数。H (s)、H (z)分别是LTI系统与复指数信号相对
27
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
（Convergence of the Fourier series）
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
若 x(t以) 为T0周期
x(t)
a e jk0t k
k
波分量。
例1：
x(t)
cos0t
1 2
e j0t
1 2
e j0t
11
显然该信号中，有两个谐波分量，
a1
为1相应分 2
量的加权因子，即傅立叶系数。
例2： x(t) cos0t 2cos30t
1 [e j0t e j0t ] e j30t e j30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k 1, 3,
14
例2 已知
f
(t)
1
sin
1t
2 cos1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为指数形式
f (t) 1 1 2j
e e j1t j1t
e e j1t
j1t
1 2
e j21t
4
e j21t
4
1
1
1 2j
[信号与系统作业解答]第三章
![[信号与系统作业解答]第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/4cd40f1ca8114431b90dd8da.png)
3-4 求下图所示周期三角信号的傅里叶级数（三角形式）。
解：从图中可知，周期信号的在[ T / 2,T / 2] 的表达式为
f (t)
2E T
t,
0
t
T /2
2E T
t
T /2 t 0
周期为T ，基频 0
2 T。
1）三角形式的傅里叶级数
f (t) a0
[an cos(n 0t) bn sin(n 0t)]
解：
f (t)cos( 0t)
F1( )
1 2
[F(
0) F(
0 )]
f (t)e j 0t F2( ) F(
0)
f (t)cos( 1t)
F3( )
1 2
[F(
1) F(
1)]
3-39 确定下列信号的最低抽样率与奈奎斯特间隔。
（1） Sa(100t )
（3）Sa(100t) Sa(50t)
解：（1）因为Sa(100t) 50G200( ) ，最高频率为 m 100 rad / s ，所以最低抽样
所以
F [fo(t)] 1 [F( ) 2
1 2F
[f (t)
F *( )]
f *( t)] j Im[F( )]
（2）因为 fr (t)
1 2
[f
(t)
f *(t)] ，
所以
F [fr (t)]
1 2F
[f (t)
f *(t)]
1 [F( ) F *( 2
)]
同样的， fi (t)
1 [f (t) 2j
1因为20010050sa最高频率为100所以最低抽样频率为2002又因为另一个分量1005025sa最高频率为100所以最低抽样频率为200341系统如图所示求最大抽样间隔max100020003000300030001000200010001000300010003000波形如下图所示可知的最高频率为3000要进行无失真的恢复则最低抽样频率为min6000对应的最大抽样间隔为maxmin波形如下图所示其中
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性质证明及应用 Matlab计算
小结
§3.1 引言
一、回顾：时域分析方法的基础
思考：频域分析 是否可以效仿？
LTI系统满足线性、非时变性。 信号在时域的分解，基本单元信号满足以下要求：
本身简单，LTI系统对其响应能简便得到； 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
——LTI系统的冲激响应描述代表了系统的全部时域特征：
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
2）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；
3）输入与输出权重：信号由时域表示转换为频域表示；
与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦 信号对整个信号的贡献。
该函数一般是复函数。
H ( j ) | H ( j ) | e jarg{H ( j)}
LTI系统的输出为
y(t) H ( j )e j t | H ( j ) | e jarg{H ( j )}e j t | H ( j ) | e j( targ{H ( j )})
LTI系统对输入的复正弦信号的响应，分别对输入信号 的振幅和相位进行了调整。
复正弦函数 e jt , e jn是一切LTI系统的特征函数；其
对应的特征值只是频率的函数，即：
H ( j) h( )e j d ,
H[ j] h[k]e jk
k
§LT3I系.2统对正表征弦为信特征号函、数线复性指组合数的信输入号信及号的LT响I应系 输统入的信号频：率M个响复应正弦特征函数的加权和（线性组合）
第三章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述
3.1 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应 3.2-3.8 4种信号的傅里叶描述
建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换 例题分析：信号的计算方法与应用 对比：4种傅里叶描述的区别及含义 数值计算：傅里叶描述的Matlab实现
3.9- 3.18 傅里叶描述的特性
的频率响应
根据时域分析的方法求解：x[n] x[k][n k] y[n] x[k]h[n k]
k
k
离散： x[n] e jΩn
y[n] x[k]h[n k] h[k]x[n k] h[k]e j(nk)
k
k
k
e jn h[k]e jk H[ j]e jn k
频率为ω的复正弦信号经LTI系统后的输出，是只与该 频率有关的复常数与复正弦信号的乘积。
复常数： H[ j]
h[k]e jk , H ( j)
h( )e j d
k
——称为LTI系统对频率ω的复正弦输入信号的频率响应。
2§、频3.率2响应正函弦数信号、复指数信号及LTI系 统——的L频TI系率统响对所应有频率复正弦函数的频率响应的分布。
正弦信号： x(t) Asin(t 0 )
或： x[n] Asin[n 0 ]
复指数（正弦）信号：
x(t) e j t cos(t) j sin(t)
或： x[n] e jn cos[n] j sin[n]
§一3、.2LTI正系统弦对信复号正、弦信复号指的数响应信号及LTI系统
任何信号均可表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加;
任何输入信号经过LTI系统后的输出信号，都可以表示成输入 信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分。
二、历史回顾：频域分析方法的建立
傅里叶分析：利用信号的正弦表示，研究信号与系统在频 域范围内性质的方法。
(Joseph Fourier)
3
正弦信号为何可作为频域分析的基本单元信号？
二、傅里叶分析的引入
“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和（傅里叶级数）。”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示（傅 里叶变换） 。”——傅里叶的第二个主要论点
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
离散时间非周期信号 —离散时间傅里叶变换（ discrete-time Fourier transform, DTFT）
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
§二、3.3傅里四叶种分信析号：信的号傅所里需满叶足表的示条件
狄里赫利（Dirichlet）条件： 1、信号是有界且单值的； 2、任何区间内绝对可积（或绝对可和）； 3、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值； 4、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。
仅取决于频率
连续： x(t ) e jt
y(t) h( )e j(t )d e j t h( )e j d H ( j)e j t
1、信号的复正弦表示的特点
§ 复3正.2弦信正号简弦单信，求号解、LT复I系统指对数其的信响号应容及易LTI系 统 正的弦频响应率：响频率应响应特性
11
§3.3-3.8 四种信号的傅里叶表示
一、从傅里叶分析的角度，信号可分为4种类型
连续时间周期信号 ——傅里叶级数（Fourier series, FS）
离散时间周期信号 ——离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series, DTFS）
连续时间非周期信号 —傅里叶变换（Fourier transform, FT）
幅度响应：| H ( j) | 相位响应： arg{H ( j )}
§3、3特.2征函正数弦与信特征号值、复指数信号及LTI系统 的频如率果响一个应函数 (t)通过系统后变为一个数值 与该函
数相乘，称函数 (t) 是系统的特征函数，数值 称为该
系统与此特征函数相对应的特征值。
H{ (t)} (t)
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应
小结
§3.1 引言
一、回顾：时域分析方法的基础
思考：频域分析 是否可以效仿？
LTI系统满足线性、非时变性。 信号在时域的分解，基本单元信号满足以下要求：
本身简单，LTI系统对其响应能简便得到； 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
——LTI系统的冲激响应描述代表了系统的全部时域特征：
M
x(t) ak ()e jkt k 1 M
输出信号： y(t) ak ()H ( jk )e jkt k 1
特点：
1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；
2）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；
3）输入与输出权重：信号由时域表示转换为频域表示；
与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦 信号对整个信号的贡献。
该函数一般是复函数。
H ( j ) | H ( j ) | e jarg{H ( j)}
LTI系统的输出为
y(t) H ( j )e j t | H ( j ) | e jarg{H ( j )}e j t | H ( j ) | e j( targ{H ( j )})
LTI系统对输入的复正弦信号的响应，分别对输入信号 的振幅和相位进行了调整。
复正弦函数 e jt , e jn是一切LTI系统的特征函数；其
对应的特征值只是频率的函数，即：
H ( j) h( )e j d ,
H[ j] h[k]e jk
k
§LT3I系.2统对正表征弦为信特征号函、数线复性指组合数的信输入号信及号的LT响I应系 输统入的信号频：率M个响复应正弦特征函数的加权和（线性组合）
第三章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述
3.1 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应 3.2-3.8 4种信号的傅里叶描述
建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换 例题分析：信号的计算方法与应用 对比：4种傅里叶描述的区别及含义 数值计算：傅里叶描述的Matlab实现
3.9- 3.18 傅里叶描述的特性
的频率响应
根据时域分析的方法求解：x[n] x[k][n k] y[n] x[k]h[n k]
k
k
离散： x[n] e jΩn
y[n] x[k]h[n k] h[k]x[n k] h[k]e j(nk)
k
k
k
e jn h[k]e jk H[ j]e jn k
频率为ω的复正弦信号经LTI系统后的输出，是只与该 频率有关的复常数与复正弦信号的乘积。
复常数： H[ j]
h[k]e jk , H ( j)
h( )e j d
k
——称为LTI系统对频率ω的复正弦输入信号的频率响应。
2§、频3.率2响应正函弦数信号、复指数信号及LTI系 统——的L频TI系率统响对所应有频率复正弦函数的频率响应的分布。
正弦信号： x(t) Asin(t 0 )
或： x[n] Asin[n 0 ]
复指数（正弦）信号：
x(t) e j t cos(t) j sin(t)
或： x[n] e jn cos[n] j sin[n]
§一3、.2LTI正系统弦对信复号正、弦信复号指的数响应信号及LTI系统
任何信号均可表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加;
任何输入信号经过LTI系统后的输出信号，都可以表示成输入 信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分。
二、历史回顾：频域分析方法的建立
傅里叶分析：利用信号的正弦表示，研究信号与系统在频 域范围内性质的方法。
(Joseph Fourier)
3
正弦信号为何可作为频域分析的基本单元信号？
二、傅里叶分析的引入
“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和（傅里叶级数）。”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示（傅 里叶变换） 。”——傅里叶的第二个主要论点
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
离散时间非周期信号 —离散时间傅里叶变换（ discrete-time Fourier transform, DTFT）
傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶 变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。
§二、3.3傅里四叶种分信析号：信的号傅所里需满叶足表的示条件
狄里赫利（Dirichlet）条件： 1、信号是有界且单值的； 2、任何区间内绝对可积（或绝对可和）； 3、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值； 4、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。
仅取决于频率
连续： x(t ) e jt
y(t) h( )e j(t )d e j t h( )e j d H ( j)e j t
1、信号的复正弦表示的特点
§ 复3正.2弦信正号简弦单信，求号解、LT复I系统指对数其的信响号应容及易LTI系 统 正的弦频响应率：响频率应响应特性
11
§3.3-3.8 四种信号的傅里叶表示
一、从傅里叶分析的角度，信号可分为4种类型
连续时间周期信号 ——傅里叶级数（Fourier series, FS）
离散时间周期信号 ——离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series, DTFS）
连续时间非周期信号 —傅里叶变换（Fourier transform, FT）
幅度响应：| H ( j) | 相位响应： arg{H ( j )}
§3、3特.2征函正数弦与信特征号值、复指数信号及LTI系统 的频如率果响一个应函数 (t)通过系统后变为一个数值 与该函
数相乘，称函数 (t) 是系统的特征函数，数值 称为该
系统与此特征函数相对应的特征值。
H{ (t)} (t)
§3.1 引言
——自然界一种重要而普遍的信号存在形式；
——最容易产生和控制的一种信号；
——人类最容易应用的一种标准信号；
——目前应用最多和最有效应用的信号。
——特点是什么？
——作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？
——任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件 是什么？
§3.2 复正弦信号及LTI系统的频率响应