人教全国各地中考模拟试卷数学分类:锐角三角函数综合题汇编附详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈)
【答案】AB 的长约为0.6m .
【解析】
【分析】
作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可.
【详解】
解:作BF CE ⊥于F ,
在Rt BFC ∆中, 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈=,
3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈=,
在Rt ADE ∆E 中,3 1.73tan 3
AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣=
由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈,
答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,33
米,
∵AB=AE-BE=6米,
则x-
3
3
x=6,
解得:x=9+33.
则BE=(33+3)米.
在直角△BEQ中,QE=3
BE=
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20
【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.
试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
考点:切线的判定
4.许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走,走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为200米,求A,B两点之间的距离(结果保留一位小数)