专题：圆周运动中的临界问题探究1 水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(讲义)

重点：

1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；

2. 会用极限法分析临界条件。

难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。

一、水平面内圆周运动临界产生原因

1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。

2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。

二、水平面内圆周运动的两种模型

1. 圆台转动类

小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R ，圆台对小物块的静摩擦力（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）提供小物块做圆周运动所需的向心力。水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”。

临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax ＝R

g

μ，当ω<ωmax 时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax 时，小物块脱离圆台轨道。

下图均为平台转动类

甲

乙

丙

2. 火车拐弯类

如图所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg 和轨道支持力N 的合力F 提供火车拐弯时所需的向心力。圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”。

临界条件：若v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；

若v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。

火车转弯问题类变形：

1 2 3

4

5

【方法指导】临界问题解题思路

1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。

2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

3. 对研究对象进行受力分析。哪些力存在临界？（摩擦力、弹力）

4. 运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F 。

5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。 例题1 如图所示，半径为

4

l

、质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a 、b 连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A 、B 两点上，A 、B 两点相距为l ，当两轻绳伸直后，A 、B 两点到球心的距离均为l 。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a 、b 与杆在同一竖直平面内）。求：

（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆。

（2）小球离开竖直杆轻绳a 的张力F a 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。 思路分析：（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a 与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝

41，r ＝4

l

沿半径：F a sin α＝mω2r 垂直半径：F a cos α＝mg 联立解得ω＝2

l g

15

1 （2）由（1）可知小球恰离开竖直杆时，F a ＝

15

4mg

若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b 恰伸直前，设轻绳a 与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r ＝l sin β

沿半径：F a sin β＝mω2r 垂直半径：F a cos β＝mg 联立解得F a ＝mω2l

当轻绳b 恰伸直时，β＝60°，此时ω＝l

g

2 故有F a ＝mω2l ，此时

15

4

l

g ≤ω2≤l g 2

若角速度ω再增大，轻绳b 拉直后，小球做圆周运动的半径为r ＝l sin 60° 沿半径：F a sin 60°＋F b sin 60°＝mω2r 垂直半径：F a cos 60°＝F b cos 60°＋mg

联立解得：F a ＝

21mlω2＋mg ，此时ω2≥l

g

2 答案：（1）2l

g

151 （2）0≤ω2≤154l g 时，F a ＝

154mg ；154 l g ≤ω2≤l g 2时，F a ＝mω2l ；ω2≤l g 2时，F a ＝2

1

mlω2＋mg

例题2 如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A 和B 水平放置，两轮半径R A ＝2R B ，当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上。若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为（ ）

A.

4

B

R B.

3

B

R C.

2

B

R D. R B

思路分析：根据A 和B 靠摩擦转动可知，A 和B 边缘线速度大小相等，即R A ωA ＝R B ωB ，

ωB ＝2ωA ，又根据在A 轮边缘放置的小木块恰能相对静止得μmg ＝mR A 2

A ω，设小木块放在B

轮上相对B 轮也静止时，距B 轮转轴的最大距离为R B ′，则有：μmg ＝mR B ′2

B ω，解上面式子可得R B ′＝

2

B

R 。 答案：C 【易错警示】

易错点：匀速圆周运动与非匀速圆周运动合外力方向的区别 满分训练：

如图所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 方向沿半径指向圆心，a 方向与c 方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）

A. 当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为c

B. 当转盘匀速转动时，P 不受转盘的摩擦力

C. 当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为a

D. 当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为b

思路分析：圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力（摩擦力）提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心O 点，A 正确，B 错误；当转盘加速转动时，物块P 做加速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b ，故C 错误；当转盘减速转动时，物块P 做减速圆周运动，不仅有沿c 方向指向圆心的向心力，还有指向a 相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d ，故D 错误。

答案：A