一线三等角

直角形一线三等角的应用

——在直角坐标系构造一线三直角求点坐标

例：如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标为（1，2），三角形OAB沿直线OB翻折，点A落在点D处，求点D的坐标。

例：如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

求过点A、O、B的抛物线的表达式

一线三等角的应用——求解等腰三角形存在性问题

例：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B。∠MEN的定点E在边BC 上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，联结AF。

（1）设BE=x,DF=y,试建立y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）若等腰三角形，求出BE的长。

一线三等角的应用——中点型的证明

例：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=6，AD=3.点M为边BC的中点，以M为定点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF.

（1）求证：；

（2）若以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

（3）若EF⊥CD，求BE的长.

例：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=3，CD=6,BE⊥BC交直线AD于点E，

（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长度；

（2）当点E 在边AD 上时，（E 不与A 、D 重合），设AD=x ，ED=y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）问：是否可能是△ABE 、△CDE 、△BCE 都相似？若能，请求出此时AD 的长；若不能，请说明理由.

一线三等角与图形的运动结合

例：把两块边长为4的等边三角板ABC 和DEF 先如图1放置，使三角板DEF 的顶点D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，射线DE 与射线AB 相交于点M ，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF 由图11-1所示的位置绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF 与线段BC 相交于点N （如图2示）．

（1）当0°＜α＜60°时，求AM ?CN 的值；

（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x ，两块三角形板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式并求定义域； （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积

B C

D

E A

C

C F

C

E

A E

A

B

一线三等角与图形的翻折

例：如图，已知等边的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠，使得点恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在变AB 、AC 上）. （1）当，求BD 的长； （2）当ED ⊥BC 时，求的值；

（3）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与相似时，求BE 的长.

一线三直角的应用

——在几何综合题中的应用

例：已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2，点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C。设线段AP的长为x。

（1）当AP=AD时，求线段PC的长；

（2）设?PDC的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当?APD??DPC时，求线段BC的长.

例：如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10,tanD= ,E是要AD上一点，且AE：ED=1：3.如图，在梯形ABCD中，求梯形ABCD的面积；

（1）当AB:CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；

（2）当∠ABE=∠BCE，求线段BE的长；

（3）当三角形BCE是直角三角形时，求边AB的长.

A

D C

E

B