数学分析(3)复习题(-简)2011

数学分析(3)复习题(-简)2011

数学分析（3）复习题

一、 多元函数的极限、连续、微分学

1．讨论二元函数

⎩⎨

⎧<<=其它

,00 ,1),(2

x y y x f

在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。

（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等 2．证明:

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+≠++=0

,00,)(),(22222

3222

2y x y x y x y x y x f

在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。 3．证明函数

⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(222

22222y x y x y x y x y x f

在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在)0,0(可微． 参见：P117习题7

4．设(,)x y u f y z =，其中f 为可微函数，求,,u u u

x y z

∂∂∂∂∂∂． 参见：P123习题1

5．设(,)u u x y =可微，在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==下，求

2

2

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u 的表达式。参见：P120例2

6．设函数

(,)

z f x y =在点

(1,1)

处可微，且

(1,1)(1,1)

(1,1)1,

2,3,f f

f x y ∂∂===∂∂

()(,(,))x f x f x x ϕ=，求

3

1

()x d x dx ϕ=．

7．设2

3

(,,)f x y z x y z =++，求f 在点0

(1,1,1)P 的梯度及沿方

向

:(2,2,1)

l -r

的方向导数．

8．利用二元函数的泰勒公式证明:

0,0

x y ∀>>和01θ<<有,

1(1)x y x y

θθθθ-≤+-.

进一步证明下面的Yong ’s 不等式: 若

11

1(0,0)p q p q

+=>>, 则对

0,0

a b ∀>>有

11p q ab a b p q

≤

+.

提示: 对函数1x

y θ

θ

-在(1,1)点展开为一阶泰勒公

式,再利用雅可比矩阵的半负定性. 最后取1,,p

q x a y b p

θ===

即可.

9．求函数3

322(,)339f x y x

y x y x

=-++-的极值点和极植.

提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极

植的必要条件和充分条件.

10．求二元函数2

(,)(4)z f x y x y x y ==--在直线6x y +=,x 轴

和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 提示: 先求在区域D 内的驻点,再求函数在直线6x y +=上的最值点,最后比较.

11．在xy 平面上求一点,使它到三直线0x =,0y =及

2160

x y +-=的距离平方和最小.

提示: 见教材P141习题 11.

二、隐函数定理及应用 1．已知：sin 10

x

y e

xy +--=，求

x dy dx

=和

22

x d y dx =

提示：利用隐式方程求导法。答案：1-，3-。

2．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z

=，求dz 。 提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案：

1212

()z

dz F dx F dy xF yF ''=

+''+。

3．设函数(,)u u x y =由方程组(,,,),(,,)0,(,)0u f x y z t g y z t h z t ===所确定，求

u x

∂∂和u y

∂∂。 （见教材P158习题 6）

4．已知：2

(,)(,)

u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨

=-⎩

，求u x ∂∂和v

x ∂∂。（见教材P158习题 2（3）） 5．求球面2

2250

x

y z ++=与锥面2

22

x

y z +=所截出的曲线

的点(3,4,5)处的切线和法平面方程。（见教材P161例 2） 6. 求旋转抛物面1

22

-+=y x z 在点)4,1,2(P 处的切平

面及法线方程。 7．教材P163 习题 9 8．求旋转抛物面2

2

y x z +=与平面22x y z +-=之间的最

短距离。

提示：点到平面的距离公式2

2

2

C

B A D Cz By Ax d ++-++=，求

在约束条件下2

d 的极值。

答案：)8

1

,41,41(0

P ，6

47min

=

d

9．在过点)31,1,2(的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。

提示：设平面方程1=++c z b y a x ，则体积6

abc

V =，求V

的极值可转化为求

c

b a

c b a f ln ln ln ),,(++=的极值

答案：3

,1,3,6min

====V

c b a