大学物理实验(二)误差理论

n

f ( x)dx 1
σ=
2 ( x X ) i i 1
n
随机误差分布的特点：
①单峰性 ②对称性 ③ 有界性 ④抵偿性
lim
n i 1
n
i
0
正态分布函数的特点
（ 1 ）单峰性。绝对值大的误差出现 的可能性（概率）比绝对值小的误差 出现的概率小。 （ 2 ）对称性。绝对值相等的正负误 差出现的机会均等，对称分布于真值 的两侧。 （ 3 ）有界性。在一定的条件下，误 差的绝对值不会超过一定的限度。 （ 4 ）抵偿性。当测量次数很多时， 随机误差的算术平均值趋于零
EX=E1+E2
（2）未定系统误差
是指符号或绝对值未经确定的系统误差 分量， 由于不能知道它的确切大小和正负，故 无法对其进行修正。 砝码 （±2mg）。这种系统误差通常只 能定出它的极限范围，
未定系统误差
●要估计出分布范围。
● 对于未定系统误差在物理实验中我们
一般只考虑仪器测量仪器的（最大） 允许误差△仪
s2
修正值=真值-测量值= 误差
②.相对误差
相对误差是指某一待测物理量的绝对误 差与其测量的最佳值之比，它是没有量纲 的，通常写成百分比的形式。 N
N E＝△g /g本地×100%
＝0.01/9.792×100%
＝0.1%
E
100%
2. 误差来源
①.仪器误差:（仪器零点不准、仪器
水平或铅直未调整、砝码未校准等）
三、直接测量不确定度的计算
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法
Ni的不确定度
S
N的不确定度
SN
2 ( N N ) i i 1 n
四、坏值的剔除
1.极限误差
测量数据在 ( N 3S ) ~ ( N 3S ) 范围内的概率为99.7%
3S:极限误差
lim 3 S
2.拉依达准则
凡是误差 ( Ni N ) lim 3S 的数据为坏值，应当 删除，平均值N和误差S应剔除坏值后重新计算。 拉依达准则是建立在 n 的条件下，当n较 注意： 少时，3S的判据并不可靠，尤其是 n 10 时更 是如此。
对某一长度L测量11次，其数据如下：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L(cm) 10.35 10.38 10.30 10.32 10.35 10.33 10.37 10.31 10.34 20.33 10.37
试用拉依达准则剔除坏值。
解：
S
2 ( L L ) i i 1
1 )系统误差 在一定条件下（指仪器、方 法和环境）对同一物理量进行多次 测量时，其误差按一定的规律变化， 测量结果都大于真值或都小于真值。
3. 误差的分类
1)系统误差
特点：总是使测量结果向一个 方向偏离，它有固定的大小，或是 按一定规律变化。
螺旋测微计测小球直径 电压表测电压
②.偶然误差
特点： 随机性
（1）已定系统误差
◆电表、螺旋测微计的零位误差 ◆伏安法测电阻电流表内接、外 接由于忽略表内阻引起的误差。 ◆标准值为50毫克的三等砝码，
●替代法
△= -0.02mm
●交换法
待测电阻与标准电阻交换位置
●异号法
对实验方法进行改进，在实验时采 取一定的措施对系统误差进行补偿 和消除 E1=EX-E0, E2 = EX+ E0
10 1 解：L Li 10 i 1 1 ( 42.32 42.34 42.35 42.30 42.34 10
42.33 42.37 42.34 42.33 42.35 )
42.34( cm )
S
L
10 i 1
I
L

2
10 1
0.0188562 0.02( cm )
真值: 任何一个物理量在一定条件下都存在
着一个客观值，这个客观值称为真值。
△N（误差）=Ni（测量值）—N（真值）
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差 测量重力加速度
T 2 l
单摆:
g
2
g 本地 9.792 m
g 测量值 9.782 m
s
2
s
g 9.782 9.792 0.01 m
i 1
i
0
1 m N N i N （近真值） m i 1 N N N （偏差）
i i
二、误差的估计——标准偏差
高斯分布 多次测量中任意一次测量的标准偏差
S
N
n i 1
i
N
wk.baidu.com
2
2
n1
（贝塞尔公式）
算术平均值对真值的标准偏差
SN
N
n i 1
i
N
②.方法误差: 实验理论近似或方法不 完善 ③.环境误差:实验环境、测量条件不 合要求 ④.人员误差:操作者生理或心理因素
Rx R Rx 1 Rv

1
RA R Rx 1 R x

1
电流表外接
电流表内接
3 误差的分类 1).系统然误差:系统误差的确 定性可用特定方法来消除. 2).随机误差(偶然误差)随机 性可通过多次测量来减小.
10
10 1 3 S 3.16 3 9.48cm
L10 Li L
=20.33 —10.72 = 9.61>3S
3.16cm
当数据为 11 个时可以 用拉依达准则剔除
本节小结
一.算术平均值
二.标准偏差 三.置信度 四.坏值的剔除
第三节 实验不确定度
一、不确定度的概念：
对于不同的置信限，真值被包含的概率P不同。 在 ( N 2S N ) ~ ( N 2S N ) 范围内 p=95.4% 在 ( N 3S N ) ~ ( N 3S N ) 范围内 p=99.7%
曲线下的总面积大小表示各种大小(包括正负) 误差出现的总概率，当然应该是100％。 由 △x=－σ到△x＝＋σ之间的曲线下的面积可以 计算出来．为总面积的68.3％，它表示随机误 差值落在区间 〔－σ，σ〕内的概率。
(4)随机误差的处理
1)测量的平均值：
xi 1 x x ( x1 x2 xn ) n i 1 n
n
2)标准偏差： 测量列的标准偏差：
Sx
2 ( x x ) i i 1 n
n 1
平均值的标准偏差：
2 ( x x ) i i 1 n
Sx
◆表征合理地赋予测量之值的分散性与测量 结果相关联的参数（JJF1059-测量不确定 度评定与表示） 1999年5月1日实行
• 目前已经获得国际公认的主要原则有以下三点： ①测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分 量可按其数值的评定方法归并成A、B两类； A类不确定度:是指对多次重复测量结果用统计 方法计算的标准偏差. B类不确定度是指用其它方法估计的近似相当 于标准偏差的值。 ②如果各分量是独立的，测量结果的合成标准不确 定度是各分量平方和的正平方根。 ③根据需要可将合成标准不确定度乘以一个包含因 子K(取值2~3),作为展伸的不确定度,使测量结果能 以高概率(95%以上)包含真值.
SL
L
10 i 1
i
L


1010 1
S 10
0.005972 0.01( cm )
三、置信概率和置信限
S N 只是一个通过数理统计估算的值，表示真值的一 定的概率被包含在 ( N S N ) ~ ( N S N )范围内，可算 出这个概率是68.3%。称之为置信概率或置信度。 S N是一个误差范围，称为“误差限”或“置信 限” 真值落在 ( N S ) ~ ( N S ) 内的置信度也是68.3%
正态分布函数：
1 f ( x) exp( x 2 / 2 2 ) 2

f ( x)dx 1
在一定测量条件下对同一量进行 多次测量，随机误差的统计分布是 唯—确定的．即σ有一确定值
正态分布函数：
1 2 2 f ( x) exp( x / 2 ) 2

标准误差：
（大致与 B 类不确定度B 相当）
如：螺旋测微计制造时的螺纹公差 等
2) 随机误差（又称偶然误差）
由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使 测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称 为随机误差。 特点：测量结果的误差大小和符号都不固定 ，其值时大时小，其符号时正时负，就某一次测 量而言没有一定的规律，但在测量次数很大时， 随机误差整体上服从正态分布的统计规律。

Sx n

n(n 1)
多次测量可以减小随机误差
系统然误差与偶然误差的关系
偶然误差
随机性 可通过多次测量来减小
系统误差
确定性
可用特定方法来消除
4. 误差的几个基本概念
①. 精密度 ：重复测量数据相互分散 偶然误差 的程度
②. 正确度 ：实验结果与真值的符合 系统误差 程度
③. 准确度 ：精密度与正确度的综合 反映
• 直接测量 • 间接测量 按条件分类： • 等精度测量 • 非等精度测量
√
按方法分类
●直接测量：指用仪器或量具，直接测得 （读出）被测量数值的测量，该物理量称 为直接测量量。
●间接测量
由若干直接测 量的量经过一定 函数关系运算后 得出的待测量。 这种测量称为间 接测量，需要通 过间接测量求得 2 结果的物理量称 l 4 l T 2 g 2 为间接测量量。 g T
我们以打靶为例来比较说明精密度、正确度、 准确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标， 相当于真值，每次测量相当于一次射击。 精密度高 正确度低 精密度低 正确度高 准确度高
图(A)
图(B)
图 (C)
本节小结
•一 •二
测量的含义，要素，分类 绝对误差，相对误差，修正值
•三
•
误差的来源，误差的分类, 精度
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值 范围内的评定。
不确定度用
u表示
_ _
误差以一定的概率被包含在量值范围(u ~ u) 中
真值以一定的概率被包含在量值范围 ( N u) ~ ( N u) 中
一 测量不确定度的定义
◆不确定度表示由于测量误差存在而对被测 量值不能确定的程度（《JJF027-1991测量 误差的处理》）
二、不确定度的分类
A类不确定度 u A ：
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
uA
B类不确定度 u B ：
2 B1
u
2
u u u Am A1 A2 A3
2
2
2
不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差)
uB u u
2 B2
u u
2 B3
2 Bn
B类
B类
第一节 测量与误差
一.测量
• 1.测量的含义 • 2.测量的分类
1. 测量的含义
1. 测量的含义
• 测量就是把待测物理量与作为计量单 位的同类已知量相比较，找出被测量 是单位的多少倍的过程。
• 倍数→ 读数+单位→数据 • 测量的要素：对象，单位，方法，准 确度。
2. 测量的分类
按方法分类：

n( n 1 )
例: 用标准米尺测某一物体的长度共 10 次，
其数据如下：
2 3 次数 1 4 5 6 7 8 9 10 L(cm) 42.32 42.34 42.35 42.30 42.34 42.33 42.37 42.34 42.33 42.35
试计算算术平均值 L
某次测量值的标准偏差S 算术平均值的标准偏差S L
螺旋测微器测钢丝直径
四 误差的修正 • 误差的产生有其必然性和普遍性， 误差自始至终存在于一切科学实验 中，一切测量结果都存在误差
1 系统误差的修正
• 系统误差的处理是一个比较复杂的 问题，它没有一个简单的公式 ， 主要取决于实验者的经验和技巧并 根据具体情况来处理。从实验者对 系统误差掌握的程度来分，又可分 为已定系统误差和未定系统误差两 类
第二节
直接测量偶然误差的估计
一、用算术平均值表示测量结果
m次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nm
任一次的测量误差：
m
（m→m ∞） ( N 1 N ) ( N 2 N ) ... ( N m N ) N i mN 0
Ni Ni N
'
N
' i 1
按条件分类：
◆等精度测量—若多次测量都是在
相同的条件下进行的，称为等精 度测量 ◆不等精度测量—若多次测量是在 测量条件发生变化的条件下进行 称为不等精度测量
二. 误差
• 1. 绝对误差与相对误差 • 2．误差来源 • 3．误差的分类 • 4．误差的几个基本概念
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差