[理学]中南大学数理统计课件

为估计 ,我们需要构造出适当的样本
的函数T(X1, X2 , … , Xn)，每当有了样本，
就代入该函数中算出一个值,用来作为 的
估计值 .
T(X1,X2,…Xn)称为参数 的点估计量，
把样本值代入T(X1, X2, … , Xn) 中，得到
的一个点估计值 .
二、寻求估计量的方法
1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法 .
这类问题称为参数估计.
点估计
参数估计
区间估计
一、点估计概念及讨论的问题 例1 已知某地区新生婴儿的体重X~ N (, 2 ), , 2未知, 随机抽查100个婴儿得100个体重
数据,得100个体重数据9, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 而全部信息就由这100个数组成.
据此,我们应如何估计 和 呢?
)
2
u ) Var(
X
)
Biblioteka Baidu
[E(
X
)]2


2


2
由此列出方程组:
aa12((
, ,
2) 2)

A1 A2
u X
即

2

2

1 n
n i 1
X
2 i
求解得
uˆ
ˆ
X 21
n
n i 1
X
2 l

X
2

1 n
n
（X i
i 1

X )2
∴均值,方差2的矩估计是:
uˆ
ˆ
X 21
n
n
（X i
i 1

X
)2
即 n1 S2 n
例如 求正态总体 N(,2)两个未知参
数和2的矩估计为
uˆ
ˆ
X 21
n
n
（X i
i 1

X )2
又如 总体均匀分布 X ∼ U(a,b).
求:两个参数a,b的矩估计
解:
E( X ) 1 x( 1)x dx 0
( 1) 1 x 1dx 1
0
2
由矩法, X 1
2
从中解得 ˆ 2X 1 , 即为 的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(
x)

1
第七章 参数估计
总体是由总体分布来刻画的.
总体分布类型的判断──在实际问题中, 我们根据问题本身的专业知识或以往的经验 或适当的统计方法,有时可以判断总体分布 的类型.
总体分布的未知参数的估计──总体分 布的参数往往是未知的,需要通过样本来估 计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估 计,它是统计推断的一种重要形式.

1 n
n i 1
X
2 i
解得 ˆ X
1 n
n i 1
(Xi

X )2
ˆ
1 n
n i 1
(Xi

X )2
ˆ ,ˆ 即为参数, 的矩估计.
例3 求均值,方差2的矩估计
设总体的均值为,方差为2 ,于是
a1( a2 (
, ,
2) 2)

E(X E(X
(m= 1,2, ,k)记之为:
am (1,2,,k) (m=1,2, ,k)
步骤二、 算出m阶样本原点矩:
Am

1 n
n

X
i
m
i 1
m 1,2,, k
步骤三、令 am (1,2,,k) = Am
(m=1,2, ,k)得关于 1,2,,k的 方程组 步骤四、解这个方程组,其解记为
1.矩估计
矩是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak

1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
解:
写出方程组
E( X ) ˆ Var( X ) ˆ 2
其中
uˆ
ˆ
X 21
n
n
（X i
i 1

X
)2
但是

E
(
X
)


Var( X )
a
b 2 (b a)2
12
即有

ab 2
(b a)2 12
X
ˆ
2
由方程组求解出a,b的矩估计:
ˆi ( X1 , X2 ,, Xn )，i 1,2,, k
它们就可以做为1,2 ,,k的估计.这 样求出的估计叫做矩估计.
例1 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
样本k阶中心矩为
Bk
1 n
n
(Xi X )k
i 1
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法.
方法 设总体X的分布函数中含有k个未知参数
1 ,, k
步骤一、 我们把总体X的m阶原点矩E(Xm)记 为 am ,m=1,2, ,k
一般地,am (m=1,2, ,k)是总体分布中 的参数 1,2,,k的函数. 故应该把am
aˆ X 3ˆ bˆ X 3ˆ
其中 ˆ :
ˆ 2
1 n
n
（X i
i 1

X )2
例4:设某电子元件的寿命（以小时计）T服从
双参数的指数分布，其概率密度为
f
(t)

1

e(t c)/
,t

c
0, 其他
其中 c, (c, 0) 为未知参数，从这一批元
本章讨论:
参数估计的常用方法. 估计的优良性准则. 若干重要总体的参数估计问题.
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2 , … , Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g( ) .
件中随机地抽取n件进行寿命试验，得它们的
失效时间依次为 x1 x2 xn

e (
x
)

,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解: 由密度函数知
X 具有均值为 的指数分布
故 E(X- )= 即 E(X)=
Var(X- )= 2
Var(X)= 2
令 X
2
(
)2