重积分——重积分的概念与性质
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f ( x, y)d f ( ,)
D
下面仅给出结论(5)、(6)的证明。
12
例1 不用计算,百度文库断二重积分
y
ln( x2 y2 )d 的符号。
1 x y 1
2
解 先作出积分区域D :
1 o
在积分区域D : 1 x y 1上, 2
1 2
x
2
除四个顶点外,全部落在圆周x2 y2 1 之内,
的体积(或面积)。
i
任取点Xi i (i 1, 2,L , n),作积f (Xi)vi
(i
1, 2,L
,
n),并作和
n
Σ
i=1
f (Xi)Vi (或
n
Σ
i=1
f (Xi) i)
7
如果当0时，上述和式的极限存在，并且 该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称 该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为
f ( X )dX
其中f(X)称为被积函数， 称为积分区域， 也称函数f(X)在上可积。
特别地，当n=2时函数 f(X)= f(x,y) (x,y)D，
f ( X )dX f ( x, y)d
D
即为函数f(x,y) 在D 上的二重积分，d称为 面积元素。
8
当n=3时函数 f(X)= f(x,y,z) (x,y,z)，
是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分
n
m
D
(x, y)d
lim
0
i 1
(i,i )
i
6
定义8. 1. 2 设是Rn中一个可求体积（n=2时为
面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有
界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意
闭子域
1 , 2 , 3 ,L , n
用表示各i中直径的最大值,vi(或 i)表示
f ( X )dX f ( x, y, z)dv
即为函数f(x,y,z) 在 上的三重积分，dv称
为体积元素。
有了上述定义，空间立体的质量也可以通
过密度函数的三重积分来表示，即
n
m
( x,
y,
z)dv
lim
0
i 1
(i,i , i )vi
可以证明
定理8.1.1
(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；
max
1 i n
xi
2
如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不
妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其
面密度函数为= (x,y)≠常数。 这里(x,y)>0且在D上连续。y
(i ,i )
n
m
lim
0
i 1
(i,i ) i
(2)
• i
o
x
其中 i也表示小闭区域 i的面积,是n个
小闭区域直径中的最大值。
8.1 重积分的概念与性质
1
8.1.1 重积分的定义
回顾在第五章中用定积分计算物体的质量 问题，假定物体的密度是连续变化的。
首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。
不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线
密度为 (x)
l
n
m
0
( x)dx
lim
0
i 1
(i)xi
(1)
其中xi
xi
xi1,
(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。
9
8.1.2 重积分的性质
我们仅给出二重积分的性质，三重积分 的性质完全类似。
假设性质中涉及的函数在相应区域上均可 积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。
(1) 1 d d 表示D的面积
D
D
(2) (关于被积函数的线性可加性）若、为常
1
解 (1)因为在区域D1上 o
0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2
根据性质5，得
1x
( x y)3d ( x y)2d 。
D1
D1
14
(2)因为区域D2是以(2,1)为 y
圆心,以 2为半径的圆域
(x－2)2+(y－1)2 2
该圆域与直线x+y=1相切。
从图形易知在D上除
切点外，处处有
3
如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区
域Ω，其体密度函数为= (x,y,z)≠常数,则其质量
可表示为
n
m
lim
0
i 1
(i,i,
i )vi
(3)
其中vi也表示分割区域 所得各个小闭区域
vi的体积,是n个小闭区域直径中的最大值。
4
定义8. 1. 1 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数，将区域D任意分割成 n 个小区域
闭区域D上的二重积分，记作 f ( x, y)d ,即
n
D
D
f (x, y)d lim 0 i1
f (i,i) i
5
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i ,i ) i
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
式
积 分 和
由二重积分的定义可知，平面薄板的质量
f (x, y)d g(x, y)d
特别地，D 有
D
f ( x, y)d f ( x, y) d
D
D
11
(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭
区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，
则
m f ( x, y)d M
D
(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D
上连续， 表示D的面积，则至少存在一点 (,)，使
因而在区域 1 x y 1上有 ln( x2 y2 ) 0。 2
于是有 : ln( x2 y2 )d 0 。 1 x y 1 2 13
例2 比较 ( x y)2d 与 ( x y)3d的大小。
D
D
(1) D1：x轴、y轴及x+y=1所围； y
(2) D2：(x2)2+(y1)2 2
数，则
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
10
(3)（关于积分区域的可加性） 若D D1 U D2 , 且D1与D2 无公共内点，则
f ( x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2
(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y) g(x,y) ,则
1, 2,L , n
其中 i表示第i个小闭区域,也表示它的面积。
任取点(i,i) i (i 1,2,L , n),作积
n
f (i,i) i (i 1,2,L , n),并求和 f (i,i) i 。 i 1 如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上
述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在
o1 2
x
x+y > 1 (x+y)2< (x+y)3
所以有 ( x y)2d ( x y)3d。
D2
D2
15
例3 利用二重积分的性质，估计积分的值。
( x2 4 y2 1)d , D : x2 y2 1 y
D
下面仅给出结论(5)、(6)的证明。
12
例1 不用计算,百度文库断二重积分
y
ln( x2 y2 )d 的符号。
1 x y 1
2
解 先作出积分区域D :
1 o
在积分区域D : 1 x y 1上, 2
1 2
x
2
除四个顶点外,全部落在圆周x2 y2 1 之内,
的体积(或面积)。
i
任取点Xi i (i 1, 2,L , n),作积f (Xi)vi
(i
1, 2,L
,
n),并作和
n
Σ
i=1
f (Xi)Vi (或
n
Σ
i=1
f (Xi) i)
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如果当0时，上述和式的极限存在，并且 该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称 该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为
f ( X )dX
其中f(X)称为被积函数， 称为积分区域， 也称函数f(X)在上可积。
特别地，当n=2时函数 f(X)= f(x,y) (x,y)D，
f ( X )dX f ( x, y)d
D
即为函数f(x,y) 在D 上的二重积分，d称为 面积元素。
8
当n=3时函数 f(X)= f(x,y,z) (x,y,z)，
是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分
n
m
D
(x, y)d
lim
0
i 1
(i,i )
i
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定义8. 1. 2 设是Rn中一个可求体积（n=2时为
面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有
界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意
闭子域
1 , 2 , 3 ,L , n
用表示各i中直径的最大值,vi(或 i)表示
f ( X )dX f ( x, y, z)dv
即为函数f(x,y,z) 在 上的三重积分，dv称
为体积元素。
有了上述定义，空间立体的质量也可以通
过密度函数的三重积分来表示，即
n
m
( x,
y,
z)dv
lim
0
i 1
(i,i , i )vi
可以证明
定理8.1.1
(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；
max
1 i n
xi
2
如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不
妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其
面密度函数为= (x,y)≠常数。 这里(x,y)>0且在D上连续。y
(i ,i )
n
m
lim
0
i 1
(i,i ) i
(2)
• i
o
x
其中 i也表示小闭区域 i的面积,是n个
小闭区域直径中的最大值。
8.1 重积分的概念与性质
1
8.1.1 重积分的定义
回顾在第五章中用定积分计算物体的质量 问题，假定物体的密度是连续变化的。
首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。
不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线
密度为 (x)
l
n
m
0
( x)dx
lim
0
i 1
(i)xi
(1)
其中xi
xi
xi1,
(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。
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8.1.2 重积分的性质
我们仅给出二重积分的性质，三重积分 的性质完全类似。
假设性质中涉及的函数在相应区域上均可 积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。
(1) 1 d d 表示D的面积
D
D
(2) (关于被积函数的线性可加性）若、为常
1
解 (1)因为在区域D1上 o
0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2
根据性质5，得
1x
( x y)3d ( x y)2d 。
D1
D1
14
(2)因为区域D2是以(2,1)为 y
圆心,以 2为半径的圆域
(x－2)2+(y－1)2 2
该圆域与直线x+y=1相切。
从图形易知在D上除
切点外，处处有
3
如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区
域Ω，其体密度函数为= (x,y,z)≠常数,则其质量
可表示为
n
m
lim
0
i 1
(i,i,
i )vi
(3)
其中vi也表示分割区域 所得各个小闭区域
vi的体积,是n个小闭区域直径中的最大值。
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定义8. 1. 1 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数，将区域D任意分割成 n 个小区域
闭区域D上的二重积分，记作 f ( x, y)d ,即
n
D
D
f (x, y)d lim 0 i1
f (i,i) i
5
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i ,i ) i
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
式
积 分 和
由二重积分的定义可知，平面薄板的质量
f (x, y)d g(x, y)d
特别地，D 有
D
f ( x, y)d f ( x, y) d
D
D
11
(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭
区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，
则
m f ( x, y)d M
D
(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D
上连续， 表示D的面积，则至少存在一点 (,)，使
因而在区域 1 x y 1上有 ln( x2 y2 ) 0。 2
于是有 : ln( x2 y2 )d 0 。 1 x y 1 2 13
例2 比较 ( x y)2d 与 ( x y)3d的大小。
D
D
(1) D1：x轴、y轴及x+y=1所围； y
(2) D2：(x2)2+(y1)2 2
数，则
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d
D
D
D
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(3)（关于积分区域的可加性） 若D D1 U D2 , 且D1与D2 无公共内点，则
f ( x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2
(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y) g(x,y) ,则
1, 2,L , n
其中 i表示第i个小闭区域,也表示它的面积。
任取点(i,i) i (i 1,2,L , n),作积
n
f (i,i) i (i 1,2,L , n),并求和 f (i,i) i 。 i 1 如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上
述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在
o1 2
x
x+y > 1 (x+y)2< (x+y)3
所以有 ( x y)2d ( x y)3d。
D2
D2
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例3 利用二重积分的性质，估计积分的值。
( x2 4 y2 1)d , D : x2 y2 1 y