2019-2020数学高考一模试卷(含答案)

级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取
_______名学生．
17．已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3) 两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为__________．
18．如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使
用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
种（用数字作
答）．
19．如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 AB AC =______．
20．已知 OA 1 ， OB 3 ， OA • OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30 ，设
OC
mOA
nOB
g
x
1 x0
；④
f
x
x2
2x 1与
g t
t2
2t
1．
A．① ②
B．① ③
C．③ ④
D．① ④
8．若 a,b R,i 为虚数单位，且 (a i)i b i ，则
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
9．在如图的平面图形中，已知 OM 1,ON 2, MON 120 , BM 2MA,CN 2NA,
解析：B 【解析】
双曲线的离心率为
a2 b2
3 ，渐进性方程为 y b x ，计算得 b
2 ，故渐进性
a
a
a
方程为 y 2x .
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】 本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选 项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
一致，所以②不是同一函数；
③中
f
x
x0 与 g x
1 x0
定义域都是x|x
0，且
f
x
x0
1， g x
1 x0
1对
应关系一致，所以③是同一函数；
④中 f x x2 2x 1与 g t t2 2t 1定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选 C 【点睛】 本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
ln 3 1.10
3
e2 4.48
e2 7.39 ）
25．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ， B 的极坐标分别为
4
，π 2
，
2
2
，5π 4
，曲线
C
的方程为
r
（
r
0
）．
（1）求直线 AB 的直角坐标方程；
（2）若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值．
(
1 2
,
0）且单调递增，各选项均不符合.综上，选
D.
【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是
不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
12．B
解析：B
【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于 60 分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20， 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于 60 分的人数是 15 人， 所以该班的学生人数是 15÷0.3=50. 本题选择 B 选项.
9．C
解析：C 【解析】 分析：连结 MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结 MN，
由 BM 2MA,CN 2NA 可知点 M , N 分别为线段 AB, AC 上靠近点 A 的三等分点，
则 BC 3MN 3 ON OM ，
由题意可知：
OM 2 12 1 ， OM ON 1 2 cos120 1 ，
（）
A．
B．
C．
D．
12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
20, 40,40,60,60,80,[80,100]. 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是( )
A． 45
B． 50
C． 55
D．
二、填空题
13．复数 i 1 i 的实部为 ．
14．已知复数 z=（1+i）（1+2i）,其中 i 是虚数单位，则 z 的模是__________
2019-2020 数学高考一模试卷(含答案)
一、选择题 1．在复平面内， O 为原点，向量 OA 对应的复数为 1 2i ，若点 A 关于直线 y x 的对
称点为点 B ，则向量 OB 对应的复数为( )
A． 2 i
B． 2 i
C．1 2i
D． 1 2i
2．已知二面角 l 的大小为 60°， b 和 c 是两条异面直线，且 b , c ，则 b 与
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量 OA 对应的复数为 1 2i ，得到点 A 的坐标，结合点 A 与点 B 关于直线 y x 对称得到点 B 的坐标，从而求得向量 OB 对应的复数，得到结果.
【详解】
复数 1 2i 对应的点为 A(1,2) ， 点 A 关于直线 y x 的对称点为 B(2,1) ， 所以向量 OB 对应的复数为 2 i ．
（2）若 E 是 PB 的中点，且二面角 P AC E 的余弦值是 6 ，求直线 PA 与平面 EAC 3
所成角的正弦值.
24．已知函数 f (x) x ln x .
（1）若函数 g(x) f (x) 1 ，求 g(x) 的极值； x2 x
（2）证明： f (x) 1 ex x2 .
（参考数据： ln 2 0.69
所以 b, c 分别是平面, 的法向量， 二面角 l 的大小为 60°，
b, c 的夹角为 600 或1200 ，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以 b 与 c 所成的角为 600 .
故选:C. 【点睛】 本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C42 6 个； 第二类：与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C14 4 个； 第三类：与信息 0110 没有位置上的数字相同有 C04 1个， 由分类计数原理与信息 0110 至多有两个数字对应位置相同的共有 6 4 1 11个，
一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20 种
B．30 种
C．40 种
D．60 种
7．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① f x 2x3 与 f x x 2x ； f x 2x3与y x 2x ② f x x 与
g x x2 ；
③
f
x
x0 与
结合数量积的运算法则可得：
BC OM 3 ON OM OM 3ON OM 3OM 2 3 3 6 .
本题选择 C 选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的 几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
10．B
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
因为 (a i)i b i ， 即 1 ai b i ， 因为 a,b R,i 为虚数单位，所以 a 1,b 1，
故选 C. 【点睛】 本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】
①中 f x 2x3 的定义域为 ,0 ， f x x 2x 的定义域也是 ,0 ，但
f x 2x3 x 2x 与 f x x 2x 对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中 f x x 与 g x x2 定义域都是 R，但 g x x2 x 与 f x x 对应关系不
，
(m,
n
R)
，则
m n
__________．
三、解答题
21．已知曲线 C ：
（t 为参数）， C ：
（ 为参数）．
（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线
（t 为参数）距离的最小值．
22．已知 2x
c 所成的角的大小为（ ）
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
3．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字
相同的信息个数为
A．10
B．11
C．12
D．15
4．设集合 M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则 M N 中元素的个数为( )
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分 3 种情况讨论，计算可得 其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案． 解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有 3 种分配方法，即甲在星期一、二、 三； 分 3 种情况讨论可得， 甲在星期一有 A42=12 种安排方法， 甲在星期二有 A32=6 种安排方法， 甲在星期三有 A22=2 种安排方法， 总共有 12+6+2=20 种； 故选 A．
y 2 0
15．已知实数 x, y 满足不等式组 x y 1 0 ，则 y 的取值范围为__________．
x y 3 0
x
16．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年
当0
a
1 时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递减，则函数
y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递
增，函数
y
loga
x
1 2
过定点
(
1 2
,
0)
且单调递减，D
选项符合；当
a
1时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递增，则函数
y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递减，函数
y
loga
x
1 2
过定点
256 且 log2
x
1 ，求函数 2
f (x) log2
x log 2
2
x 的最大值和最小值． 2
23．如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PC 底面 ABCD ， AB AD ， AB / /CD ，
AB 2 ， AD CD 1， E 是 PB 上一点.
（1）求证:平面 EAC 平面 PBC ；
A．2
B．3
C．5
D．7
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩Biblioteka Baidu乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
6．甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加
故选 B．
4．B
解析：B 【解析】
试题分析： M N {1, 2, 6) .故选 B.
考点：集合的运算.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到 低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则 甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正 确，不符合题意，故选 A． 【点睛】 本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知 识、逻辑推理能力的考查．
则 BC·OM 的值为
A． 15
C． 6
B． 9
D．0
10．若双曲线 x2 a2
y2 b2
1 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x
B．y= 2x
C． y 1 x 2
D． y 2 x 2
11．在同一直角坐标系中，函数
y
1 ax
,
y
loga
x
1 2
(a
0
且
a
1)
的图象可能是
故选 A． 【点睛】 该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
b , c ，直线 b, c 的方向向量 b, c 分别是平面, 的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线 b, c 的方向向量 b, c ， b , c ，