二次函数与一元二次方程的关系

(1)求这个二次函数的解析式以及它的图象与 x轴的交点M,N(M在N的左边)的坐标;
(2)若以线段MN为直径作⊙G,过原点O作⊙G 的切线OD,切点为D,求OD的长;
(3)求直线OD的解析式;
(4)在直线OD上是否存在点P,使得△MNP是 直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如 果不存在,请说明理由.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标是(m,0)、(n,0)(m<n).
例4.已知二次函数 y=x2+(2m+1)x+m2的图象与x 轴有两个公共点.
(1)求m的取值范围;
(2)当这两个交点横坐标的平方 和等于7时,求m的值.
例5.已知抛物线
y=x2-(m+2)x+m+1与x轴交 于A、B两点，A点在原点 左边，B点在原点右边，且 AB=3，抛物线与y轴交于C 点.求C点的坐标.
一、二次函数与一元二次方程的关系
❖如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0没有实数根。
❖反之，根据一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的情况，可以知道 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 位置关系。
例1.求下列二次函数的图象与x轴的 两个交点间的距离:
二次函数
一、二次函数与一元二次方程的关系
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关 系：
❖ 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
❖ 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 一个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
有公共点,并说明理由.
(1) y=x2-x;
(2) y=-x2+6x-9;
(3) y=3x2+6x+11.
例3.求下列二次函数的对称轴：
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标是(-7，0)、(-3，0)；
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 点 (2，5)、(4，5)；
(1) y=-x2-5x
(2) y=-x2+5x-3
例2.二次函数y=x2-4x-5的图象与x 轴的交点坐标是A(m,0)、 B(n,0)(m<n),与y轴交于点(0,k),则 m-n+k=____.
❖练习：
1.不画图象,说出函数y=-x2+x+6
的图象与x轴的交点坐标. 2.判断下列函数的图象与x轴是否
例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2. (1)判断此抛物线与x轴有无交 点；
(2)当抛物线的顶点到x轴的距 离为1.25时，求函数解析式.
例7.已知下表.
(1)求a,b,c的值,并在表内空格处填入 正确的数.
(②2)画请你出根函据数上y=面a的x2结+b果x判+c断的: 图象,由 ①图aa实x是象x2数2+否+确b值b存xx定;++在若cc,当实不的>0x数存值?取x在为,什使，0?么二请若实次说存三数明在项值理,求式由时出.,这个
x
0
ax2
ax2+bx+c 3
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
3
例8.已知二次函数 y=2x2-4x-6. (1)求它的图象与x轴的交点; (2)X为何值时,y>0?
例9.已知函数y=x2+4x+3,请先画 出这个函数的图象,再观察图象, 回答下列问题.
(1)当x在什么范围内取值时,函数 的图象都在x轴的下方?
(2)当x在什么范围内取值时,函数 值y随x的增大而减小?
例10.已知二次函数图象经过点 A(-3,0)、B(1,0)、C(-1,4),交y 轴于D点.直线y=-2x交此二次 函数图象于M、N两点,且M点 在第二象限.
(1)求二次函数解析式;
(2)求D、M、N点的坐标;
(3)求△DMN的面积.
例11.已知一个二次函数的图象经过A(4,3),B(2,1)和C(-1,-8)三点.