材料力学第三章-剪切与扭转

关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 铆钉与螺栓 A d 2 4
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Abs l h 2
Wt

（3）确定载荷
Tmax Wt
举例
例3-3 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分 别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直 径d。
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
D
477.5N· m Tn 637N· m
Tnmax=955N· m
T GI p
许用单位长度扭转角
以每米度为单位时
T 180 GI p
例3—4 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动 轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢， []=40MPa,G=80×103MPa, = 1º /m。
由强度条件得 T WT [ ] T 3 0 .2 d [ ]
d3
T 543 3 0.0407 m 4.07cm 6 0.2[ ] 0.2 40 10
选取轴的直径 d=4.5cm。 （3）校核轴的刚度
CC rdj g AC dx
CC rdj g AC dx
GG dj g EG dx
（2）物理关系
dj Gg G dx
（3）静力学关系

A
dA T
2
dj A dA A G dx dA T
dj 2 G dA T dx A
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为扭矩
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
m
Mn
M
X
0
Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定 确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 指向截面
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
例2-1 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉 杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。 构件受力和变形分析： 假设下板具有足够 的强度不予考虑 上杆（蓝杆）受拉 d b P
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图
扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示
例3-2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB TC TA TD 计算外力偶矩 D N TA 9550 A 1592N m n N TB TC 9550 B 477.5 N m n ND TD 9550 637N m n m 作扭矩图 Tnmax=955N·
拉杆危险截面 t P
最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。 N P 80 1000 拉杆强度计算： 125MPa A b d t 80 16 10 铆钉受剪切 工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4 铆钉强度计算:
4Q 4 P / 4 80 1000 2 99.5 MPa 2 2 d d 16
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样，
与坐标轴同向为正，反向为负
离开截面
例3-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入 功率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 B A C x 先计算外力偶矩
m A 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
螺栓连接

P
内力外力要平衡
二、键类
F M d
单键连接
花键连接
单键连接的受力分析
2-2 剪切的实用计算
1、剪切变形的内力计算
剪切面
F

P


X 0
P
P
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：
F P 0
FP
F为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力.
2、剪应力及剪切强度计算
由于变形区域较小，应力计算采用假定计算法。
剪切与扭转
本单元主要讨论：
键连结和铆钉连接件 应力计算
2-1 剪切
1、剪切变形的特点
（1）外力特点：大小相等，方向相反，作用线平行且距离很近。
（2）变形特点：两外力作用线之间的横截面发生相互错动。
我们将错位横截面称为剪切面
2、受剪切构件的主要类型
一、铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
2-2 挤压及其实用计算
1、挤压的概念
两构件相互接触，且在接触面上有较大力传递时，在 两接触面上所发生的局部相互压紧现象。
挤压破坏的特点：
在构件相互接触的表面，因承受了较大的压力， 在接触处的局部区域发生显著的塑性变形或挤碎。
作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面。
铆钉或螺栓连接 挤压面为上半个圆周面 挤压面为下半个圆周面
键
A bl
第三章
扭 转
本单元主要内容
#
#
# # 扭转变形的特点
外力偶矩的计算
扭矩的计算 扭转剪应力的计算
3-1 扭转变形的特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是 绕轴线发生转动。
（1）计算扭矩
马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个 车轮所消耗的功率为
N k轮 N k 3.7 1.85k W 2 2
轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶 矩T轮，则
N k轮 1.85 T T轮 9550 9550 543N•m n 32.6
（2） 计算轴的直径
是倾斜了一个角度
结论：横截面上没有正应力，只 有剪应力。
由于壁很薄，可以假设剪应力 沿壁厚均匀分布。
包括横截面取出一个单元体。
各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
2、剪应力互等定理


由静力平衡条件的合力矩 方程可以得到
'
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
（1）计算抗扭截面模量
d 0.945 D cm3 WT 0.2 D 3 (1 4 ) 0.2 8.9 3 (1 0.9454 ) 29
（2） 强度校核
max
T WT 1930 6 2910 6 66.7 10 Pa 66.7MPa [ ] 70MPa
由强度条件设计轴直径：
Tnmax 16Tnmax max [ ] Wp d 3
16Tnmax d 49.5mm [ ]
3
选：d = 50 mm
例3-4 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N· m, 传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为 20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。
B
C 955N· m
A
477.5N· m Tn 637N· m
3-4 薄壁圆筒的扭转
1、薄壁圆筒扭转时的应力
观察一个实验 将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分。 两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变
观察到： # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只
圆截面上任意一点剪应力
T
ρ
T Ip
Ip
R
定义： Wt
Ip R
m
T m R Ip
极惯性矩
圆截面上最大剪应力 剪应力具有最大值
称之为抗扭截面模量
T m Wt
3、抗扭截面模量
实心圆截面
Wt
d
3
16
空心圆截面 Wt
D
3
16
1
4
4、扭转轴内最大剪应力
3-2 外力偶矩的计算
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W 60N1000 60000N
W m m 2n 1 2nm
W W'
N m 9550 n
Nm
单位
3-3 圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
假设：假设剪力在剪切面上呈均匀分布。
F A
上式称为剪切强度条件
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
受剪切螺栓剪切面面积的计算：
A
d
4
2
d
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析 假设单键长宽高分别为 l b h 则受剪切单键剪切面面积： h 剪切面 剪切力 外力 b 合力 l
对于等截面轴，轴内 最大剪应力发生在扭 矩最大的截面的圆周 上
d D
max
Tmax Wt
5、扭转强度条件
max
Hale Waihona Puke Baidu
Tmax Wt
6、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
满足强度要求
3-6 扭转变形、扭转刚度条件
1、扭转变形——扭转角
为了描述扭转变形的变形程度， 引入单位长度扭转角的概念。
Tl j GI p
抗扭刚度
物理意义：相距单位长度的两
横截面在扭转变形过程中相对错 动的角度。
T l GI p
或

j
单位
rad / m
/m
2、扭转刚度条件 以每米弧度为单位时
A bl
螺栓和单键剪应力及强度计算：
螺栓 单键
4F 4P 2 2 d d
设合外力为P 则剪应力为： 剪切力为Q
QP
Q P bl bl
单剪切与双剪切
单剪切
杆件在外力作用下只有一个剪切面。 P

P
双剪切
杆件在外力作用下出现两个剪切面。 P/2 P/2 中间段 P/2 P/2 剪切力为P 剪切面面 积2倍 剪切力为P/2 剪切面面 积单倍
令
I p 2 dA
A
是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对形心的极惯性矩。
dj 2 G dA T dx A
I p 2 dA
A
dj T dx GI P
T j dx 0 GI p
l
扭转角
Tl j GI p
dj T T G G dx GI p I p
mA
N 10 mB 9550 B 9550 191 Nm n 500
NC 6 mC 9550 9550 114 .6 Nm n 500
x
Mn1
M
Mn2
X
0
mc
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
键连接
上半部分挤压面
l
h
2
下半部分挤压面
2、挤压应力及强度计算
在挤压面上，单位面积上所具有的挤压力称为挤 压应力。
bs
假定计算法： 假设一：假设挤压力在计算挤压面上呈均匀分布；
假设二：计算挤压面为挤压面的正投影面。
挤压力
P bs bs Abs
许用挤压应力 计算挤压面的面积
dj T T G G dx GI p I p
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
Mn
τ
τ
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、扭转剪应力的计算
3 、剪切虎克定律
在剪应力的作用下，单元体 的直角将发生微小的改变，这 个改变量g 称为剪应变。
g
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称 为剪切虎克定律。
Gg
剪切弹性模量
3-5 扭转剪应力的计算、扭转强度条件 1、扭转剪应力在横截面上的分布规律
在圆周中取出 一个楔形体放 大后见图（b） （1）几何关系