专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案 (1)

专题十三 推理与证明

第三十九讲 数学归纳法

答案部分

1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >

当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，

那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此0n x >()n ∈*

N

所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>

因此10n n x x +<<()n ∈*

N

（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得

记函数2

()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥

函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2

111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为 所以112

n n x -≥得 由

1

122

n n n n x x x x ++-≥得 所以

12111111112()2()2222

n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故2

1

2n n x -≤

综上，1211(N )22

n n n x n *

--∈≤≤ ．

2．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．

当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；

当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．

故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．

令1x n =，得1

11e n n +<，即1

(1)e n n

+<． ①

（Ⅱ）

11111(1)1121b a =⋅+=+=；222121212121

22(1)(21)32

b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43

b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：

12

12(1)n n

n

b b b n a a a =+． ② 下面用数学归纳法证明②．

（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立． （2）假设当n k =时，②成立，即

1212

(1)k k

k

b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1

111(1)(1)1

k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 1

112112

112

112

11(1)(1)(1)(2)1

k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++． 所以当1n k =+时，②也成立．

根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．

（Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得 12e e e n a a a <++

+=e n S ，即e n n T S <．

3．【解析】（Ⅰ）由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛

⎫'===

- ⎪⎝⎭

于是21223

cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛

⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

所以1223

4

216(),(),2

2f f π

ππππ=-

=-+ 故122()() 1.2

22

f f ππ

π

+

=- （Ⅱ）证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得

122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，

2333()()cos sin()2

f x xf x x x π+=-=+，

344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.

下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.

(i)当n =1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.

因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]222

2

k k k k x x x x π

πππ+''+=+⋅+=+

， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2

k x π

+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.

令4

x π

=

，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).

所以12()()444n n nf f πππ-+=n ∈*N )．

4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明

（1）当2p =时，2

2

(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立。 （2）假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k

x kx +>+成立 当1p k =+时，1

(1)

(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++

所以1p k =+时，原不等式成立。

综合（1）（2）可得当1->x 且0≠x 时，对一切整数1p >，不等式px x p

+>+1)1(均成立。

（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明1p

n a c >。

（1）当1n =时由假设11p

a c >知1p n a c >成立。 （2）假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式1

p

k a c >成立 由p

n n n a p

c a p p a -++-=111易知0,*n a n N >∈